习 题 课.

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1 习 题 课

2 一、主要内容 原 函 数 不 定 积 分 积分法 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 直接 积分法 第一换元法
原 函 数 不 定 积 分 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 积分法 直接 积分法 第一换元法 第二换元法 几种特殊类型 函数的积分

3 3、积分法：三法一表 1、原函数 2、不定积分 (1) 定义 (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. (3) 不定积分的性质
基本积分表 分项积分法 换元积分法 分部积分法

4 4、基本积分表（24个公式） 5、直接积分法（分项积分法） 6、第一类换元法（凑微分法） 凑微分法的主要思想：
将不同的部分——中间变量与积分变量——变成相同，使之能套用基本积分公式。 此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。

5 常见类型:

6 7、第二类换元法 引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之 化简并变成容易的积分。 常用代换:

7 5.根式代换 被积式如含 则令 被积式如含 则令 6.指数代换 被积式如含 通常可令

8 反、对、幂、指、三 8、分部积分法 选择 u、v 的有效方法:ILAET选择法 分部积分公式 I----反三角函数； L----对数函数；
排序在后者优先进入积分号

9 9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 待定系数法化有理真分式为部分分式 四种类型最简分式的不定积分 有递推公式

10 （2） 三角函数有理式的积分 （3） 简单无理函数的积分 注意 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号． 某些初等函数的原函数不是初等函数 如
俗称“积不出来”

11 二、典型例题 例1 解

12 例2 解

13 例3 解

14 例4 解一 (倒代换)

15 解二 令 1

16 例5 解

17 例6 解一 分子拆项

18 解二 分子分母同乘以 令

19 令 解三 倒代换

20 解四 凑微分 例7 解

21

22

23 例8 解

24 例9 解一 直接分部积分

25 解二 作双曲代换 令

26 解三 用三角代换 令 注意 计算过程稍繁

27 例10 解一

28 解二

29 解三 令

30 解四 万能代换 不易得出正确结果

31 例11 解一 分子分母同乘 令 解二

32 而 令

33 1

34 例12 解

35 例13 注意到 解一 解二

36 而

37 例14 解一 解二

38 例15 解 令 对 我们用多种解法来解

39 ①分子拆项 再移项 ②分母和差化积

40 ③分子分母同乘

41 ④分子分母同除以 再令

42 ⑤分子分母同除以 再令 解法与④完全类似 令 ⑥万能代换 分母不易分解因式，直接用万能代换不妥 ⑦按分子分母都是 的一次式来解

43 ⑧分母是两项之和，分子是两项中之一项 令

44 则 解得