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1 谢朝德 浙江金融职业学院 cdxie106@hotmail.com
线性代数自学考试典型题型讲解 谢朝德 浙江金融职业学院

2 ? 之向量组求秩及极大无关组 线性代数自考典型题型讲解 设 试求向量组 的秩和一个极大无关组. 问题引入:
（2013年1月线性代数（经管类）自学考试试题第23题） 设 试求向量组 的秩和一个极大无关组. ? 线性代数自考典型题型讲解

3 Part 1: 矩阵的秩 定义1：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 定义2：设矩阵A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数 线性代数自考典型题型讲解

4 例1：求矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶 非零子式． 解析：在A中，2阶子式 ． 解决方法： 定理1：若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． A 的3阶子式共有 (个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的． 应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行 阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．

5 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列．

6 R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．

7 Part 2: 线性无关组、向量组的秩 定义3：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量 满足 向量组 线性无关；
向量组 线性无关； 向量组A中任意r + 1个向量（如果A中有r + 1个向量的话）都线性相关； 那么称向量组 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组A的秩，记作RA或R(A)． 线性代数自考典型题型讲解

8 Part 2: 线性无关组、向量组的秩 定理： 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ； 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组． 向量组的最大无关组一般是不唯一的． 线性代数自考典型题型讲解

9 Part 3:应用 举例？ 例2：已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性． 解：
可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关，同时， R(a1, a2, a3 ) = 2， 故向量组 a1, a2, a3 线性相关，从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无 关组．事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组． 线性代数自考典型题型讲解

10 Part 4: 问题解答 23．设 试求向量组 的秩和一个极大无关组. 解： 行阶梯形矩阵有 2个非零行，可见 故向量 线性无关。同时
（2013年1月线性代数自学考试第23题） 解： 行阶梯形矩阵有 2个非零行，可见 故向量 线性无关。同时 故向量 线性相关。所以 是 的极大无关组。 线性代数自考典型题型讲解

11 Part 5: 问题延伸 19．求向量组 秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出． 解：
（2014年4月线性代数（经管类）自学考试试题第19题） 19．求向量组 秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出． 解： 行阶梯形矩阵有 4个非零行，可见 故向量 线性无关，同时 故向量 线性相关，所以 是 的极大无关组。 线性代数自考典型题型讲解

12 Part 5: 问题延伸 19．求向量组 秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出． 解：
（2014年4月线性代数（经管类）自学考试试题第19题） 19．求向量组 秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出． 解： 故向量用极大无关组的线性表示方式为 最简阶梯型矩阵 线性代数自考典型题型讲解

13 Part 6:举一反三 精选历年真题练习 3. 求向量组的 4．求向量组： 的秩，并给出该向量组的一个 1. 求向量组
（2013年10月） 1. 求向量组 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线 性无关组线性表出. , 2. 设向量组 求该向量组的秩和一个极大线性无关组。 （2012年10月） 3. 求向量组的 一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。 （2012年7月） 4．求向量组： 的秩，并给出该向量组的一个 极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合。 （2011年7月） 线性代数自考典型题型讲解

14 谢谢，多多交流！ The End！ THANK YOU THANK YOU THANK YOU THANK YOU THANK YOU
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