小学数学知识讲座 ------应用题.

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1 小学数学知识讲座 ------应用题

2 一、相关知识 1.相关知识 关 系 公 式 部总关系 部分数和总数关系 部分数+部分数=总数 总数-部分数=另一部分数 份数和总数关系
关 系 公 式 部总关系 部分数和总数关系 部分数+部分数=总数 总数-部分数=另一部分数 份数和总数关系 每份数×份数=总数 总数÷份数=每份数 总数÷每份数=份数 比较关系 大小关系 大数-小数=相差数 大数-相差数=小数 小数+相差数=大数 倍数关系 大数÷小数=倍数 大数÷倍数=小数 小数×倍数=大数

3 2常用公式 包括：行程问题、工效问题、比重问题、价格问题、产量问题、利率问题

4 二、基本概念 1.分类： 文字题：用数学名词、术语表达数与数之间关系的题目，叫做文字题。
简单应用题：有两个条件一个问题组成一个基本数量关系，用一步运算（加、减、乘、除）进行解答的应用题 复合应用题：由若干个互相联系的简单应用题复合而成的应用题 典型应用题：用两步或两步以上运算解答的，具有特殊结构的、有一定解答规律的应用题 2.解题步骤： 审题：弄清题意，并找出已知条件和所求的问题 分析：分析题目中数量间的关系，确定先算什么，再算什么……最后算什么 解答：确定每一步该怎样算，列出算式，并求出结果

5 检验：检查计算是否有误，答案是否符合题意
写答：根据题目要求，写出答案

6 三、解答应用题的方法 1。基本方法 分析法：从应用题的问题出发，推到已知条件，找到解决问题的主要数量关系，逐步解决问题
综合法：从已知条件入手，把间接条件逐步转化为直接条件，最后解决所求问题 “分析法”和“综合法”是分析应用题数量关系的两种基本方法，综合法以分析为基础，分析法以综合为指导，两种方法总是相互结合、相互渗透的。在解应用题时，若解题过程简单，则分析法、综合法可以任意选用；若解题过程复杂，则可以依据已知和所求相互推导的繁简情况来选择方法，或分析法或综合法或分析__综合法

7 2.常用方法 图解法：运用线段或其他图形，把抽象的、隐蔽的数量关系表示出来，从而找到解题的途径 逆推法：从已知的结果出发，利用已知条件从后往前逐步展开，直到求出答案 假设法：应用题中含有两个或两个以上的未知量时，先把要求的几个未知量假设为其中的一种数量，这样算与实际数量肯定会出现一个差，再根据条件找到解决这个差的办法，最后求出答案。例如明明计算20道数学竞赛题，做对一题得5分，做错一题扣3分，结果他得了60分，问明明做对了几题？分析：假设明明20道题全做对，可得100分，实际他少得40分，少得的原因是错一题与对一题相差8分。列出算式：20-（5×20-60）÷（5+3） 演示法：借助实物演示，发现隐蔽的数量关系，找到解题途径不变量法：在诸多数量的变化过程中，依据题中固定不变的数量及其数量关系，找到解题的途径。如年龄问题。

8 3.列方程解应用题 意 义 步 骤 用字母或含有字母的式子表示未知量，根据题中的等量关系列出方程，求解方程，得出未知数的值
意 义 步 骤 用字母或含有字母的式子表示未知量，根据题中的等量关系列出方程，求解方程，得出未知数的值 1.弄清题意：分析数量关系，找到已知条件和未知条件； 2.假设x：把其一个未知数量假设为x； 3.列方程：根据题中的等量关系，列出方程； 4.解方程； 5.验算：检验x的值是否符合原方程的题意； 6.写答语：答语要写完整。

9 4.方程解法与算术解法的区别 名称 共 同 点 不 同 点 算术解法
不 同 点 算术解法 都是以四则运算和常见的数量关系为基础，分析题里已知量与未知间的数量关系，最后根据运算的意义列式解题 未知数处于特殊的地位，始终作为解题的目标，不参加列式，运算算式中全是已知数，整个算式就表示要求的未知数。求出算式的值就是所求的未知量 方程解法 未知数处于和已知数平行的地位，可以直接参加列式和计算，未知数和已知数组成一个相等的关系，未知数可以在方程中任何位置

10 四、应用题的题型 1.文字题（略） 2.简单应用题 （1）两数相并的关系：求总数；求和；求部分数；求剩余。
（2）两数相差的关系：求两数的差；求比一个数少（多）几的数。 （3）每份数、份数、总数的关系：求几个相同加数的和；等分除法；包含除法。 （4）两数的倍数关系：求一个数的几倍是多少；求倍数；求一倍数是几

11 3.典型应用题 和差问题：已知大、小两个数的和与它们的差，求这两个数各是多少
和倍问题：已知大、小两个数的和与它们的倍数关系，求大、小两个数各是多少 差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少 平均数问题：已知几个不同的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求一份是多少 归一问题：在解决实际问题时，有时需先求出一份是多少，再求其它结果（总数或份数） 归总问题：已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总量求得单位数量 的个数 相遇问题：两个物体以不同的速度从两地同时出发相向而行并且相遇。 追击问题：两个物体同时从两地同向而行，速度慢的在前面行，速度快的在后面追，直到追上为止。

12 4.分数、百分数应用题 求一个数是另一数的几分之几（或百分之几） 求一个数的几分之几（或百分之几）是多少
已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数 工程问题：把工作量看做单位“1”，几个单位时间完成，工作效率就是几分之几 折扣问题：百分数应用题的一种。 利率问题：它表示一定时间内利息数与本金的比值

13 典型例题 一、典型应用题 解决此类应用题有两大“法宝”：一是线段图；二是方程。对此类题型的训练可以提高学生对数量关系的理解，更为重要的是可以提高学生解题的基本策略。 例1.甲乙两人年龄的和是29岁，已知甲比乙小3岁，甲乙两人各多少岁？（和差问题） 解答：（29+3）÷2=16（岁） （29－3）÷2=13（岁） 变式：甲乙两箱共有水果50千克，若从甲箱中取6千克放到乙箱中，这时甲箱比乙箱还多2千克，求这两箱原有水果各多少千克？ 解答：甲比乙共多 6×2+2=14（千克） （50+14）÷2=32（千克） （50－14）÷2=18（千克） 例2.甲乙两厂某月共生产电脑664台，甲厂的产量是乙厂的3倍，求这个月甲乙两厂各生产多少台电脑？（和倍问题） 变式：甲乙两数的和是30，甲数的小数点向左移动一位后等于乙数的一半，那么甲数是多少？ 例3.某彩票销售点既出售福利彩票又出售体育彩票。已知购卖体育彩票的人数是购卖福利彩票人数的4倍，且比购卖福利彩票的人数多720人。求该销售点购卖两种彩票的人数各有多少人？（差倍问题） 变式：父亲今年比儿子大36岁，3年后父亲的年龄是儿子的5倍，那么儿子今年多少岁？ 注：对“和、差、倍”的题型，不宜让学生记忆解题的模式，在三、四年级训练重心放在应用线段图解题的策略培养，高年级宜采用方程法解题。

14 例4. 某班学习小组有12人，一次数学测验只有10人参加，平均分是81
例4.某班学习小组有12人，一次数学测验只有10人参加，平均分是81.5分。后来，缺考的李明和张红进行补考，李明的补考成绩比原有10人的平均分少1.5分，而张红的补考成绩却比12人的平均分多12.5分。张红考了多少分？（求平均数问题） 平均的基本思想是“移多补少”，很多问题都是从这一角度进行思考。 解答（12.5－1.5）÷（12－1） =95（分） 变式：15个同学分读书卡，平均每人分到7张；又来了若干个同学，大家重新分配，平均每人分到5张，问来了几个同学？ 解答：15×（7－5）÷5=6（人） 例5.有一个长方形的操场，长45米，宽30米，如果沿着它的周围每隔3米种一棵树，一共需要种树多少棵？（植树问题） 解答（45+30）×2÷3=50（棵） 例6.小明的妈妈买来一篮鸡蛋，小明第一天吃了鸡蛋总数的1/7，第二天吃了余下的1/4，第三、四天都吃了上一天余下的鸡蛋数的1/3，第五天吃了余下的1/2，第六天吃了余下的最后2个鸡蛋。小明的妈妈共买了多少个鸡蛋？（还原问题） 年龄问题、归一问题（略）

15 二、分数、百分数应用题 较复杂的分数应用常在以下几个方面进行变化：①多个分率往往没有统一的单位“1”；②单位“1”发生了变化；③分率与量没有对应关系；④对应关系较为隐蔽、复杂等。 例1.某市中小学参加数学竞赛的结果是：小学和初中获奖人数占获奖总人数的7/11；初中和高中获奖的人数比获奖总人数的2/3多3人；已知初中获奖的有43人，获奖总人数是多少？（关键在寻求量与分率的对应） 解答（43－3）÷（7/11+2/3－1）=132(人) 例2.六年级有两个班，把一班人数的2/15调入到二班，这时二班人数的3/5是一班人数的3/4，原来一班人数占全年级人数的份数是多少？（重在单位“1”的统一） 此题并未出现具体的量，将一班人数作为单位“1”时，可得出各个分率，就可看作相应的“量”进行计算。这种能力是我们的在校生比较薄弱的。 解答：1÷（13/12－2/15+1）=20/39

16 现代经济中的热点问题 例1.某食品店将进货单价为12元/千克的水果糖按单价15元/千克出售时，每天可售出90千克。现该店想提高售价，增加利润。但市场规律是：水果糖每千克提价1元，其销售量每天就减少6千克。问商家定价为多少时，每天获利最大？ 例2.某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名；乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想：哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的优惠大？ 例3.小周购买了一部手机想入网。朋友小王介绍他加入中国联通130网，收费标准是：月租费30元，每月来电显示费6元，本地电话费每分钟0.4元；朋友小李向他推荐中国电信的“神州行”储值卡，收费标准是：本地电话每分钟0.6元，月租费和来电显示费全免了。小周的亲戚朋友都在本地，他也想拥有来电显示服务，请问该选择哪一家更为省钱？ 1.某商店把一批存货当作处理品出售，若降低定价的5%出售，可盈利430元；若降低定价的25%出售，亏损250元。商品购入价应是多少元？（2800元） 2.某商场原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购卖，不得不按78%的利润重新定价，这样售出了其中的40%.此时，因害怕剩余的水果腐烂，不得不再次降价售出了剩余的全部水果，结果实际获得的总利润是原定利润的30.2%.请问第二次降价后的价格是原定价的百分之几？（得数保留一位小数）（49.2%） 3.新新商贸公司为客户销售货物收取3%的服务费，代客户购买物品时收取2%的服务费，今有一客户委托公司销售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共收取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡，报购置的新设备花了多少元？（ 元）

17 三、工程问题 例1.师徒二人合作加工一批零件，需24天完成。现在先由师傅单独加工10天，再由徒弟单独加工30天，这时共加工了这批零件的75%，问徒弟每天能加工这批零件的几分之几？ 解答（75%－1/24×10）÷（30－10） 例2.一件工作，甲单独做需50天完成，乙单独做需75天完成。先由甲、乙合做，中途乙因故停工，结果经过40天才完成全部工作。问乙做了多少天？ 解答（1－1/50×40）÷1/75 例3.甲乙丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲乙两人合作6天完成了工程的1/3；因甲有事，由乙丙合作2天，完成余下工程的1/4；以后三人合作5天完成了这项工程。按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？ 例4.一项工程，如果乙单独做要17天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整天数完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流的做法要多半天才能完成。如果甲单独做，完成这项工程需要多少天？

18 四、行程问题 例1.自行车出发20分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点12千米的地方追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到出发点后又立即去追继续前进的自行车队，再追上时恰好离出发点24千米。求自行车和摩托车的速度各是多少？（假设自行车和摩托车的速度都是匀速） 例2.甲从A到B需要6小时，乙从B到A的速度是甲的3/4.现在甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后，两人继续以原速前进，各自到达对方出发地后又立即返回，在途中又一次相遇。已知这两个相遇地点相距60千米。求甲每小时行多少千米？

19 五、比和比例的应用 1.A、B、C三根木棒插在水池中，三根木棒长度和是360厘米，A棒有3/4露在水面外，B棒有4/7露在水面外，C棒有2/5露在水面外。水池的水有多少厘米深？（45） 2.王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用时间比原计划少1/9；若每小时少加工16个零件，则所用时间比原来多3/5小时。这批零件共有多少个？ 解答：第一次时间比：8：9 则现在的效率：原来的效率=9：8 故：原效率为12÷（9－8）×8=96（个） 第二次效率比：80：96=5：6 则第二次时间比：6：5 故：3/5÷(6－5) ×5=3（小时） 零件总数：96×3=288（个）

20 六、其它问题 盈亏问题 公约数与公倍数 极值问题 推理问题 ……