4.2 單形法：標準極小化問題 具限制式的極小化問題

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1 4.2 單形法：標準極小化問題 具限制式的極小化問題
在第4.1 節裡，我們提到標準極大化問題的條件為： 目標函數欲尋求極大化。 問題中使用的變數都限定是非負。 每一條限制式都表示成小於等於( )某一非負的常數。 而本節探討的主題是極小化問題。我們先考慮符合上述條件2與3，但是目標函數欲尋求極小化的線性規劃問題。 Tan/管理數學 第4章 第218頁

2 對偶問題 每一個極大化線性規劃問題都對應一個極小化問題，反之亦然。為了做區隔，我們稱初始給定的問題為原始問題(primal problem)，而與之相對的問題稱為對偶問題(dual problem)。我們於例題2示範如何建構對偶問題。 Tan/管理數學 第4章 第220頁

3 例題 2 寫出下列問題的對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第220頁

4 例題 2（續） 解： 我們先針對原始問題產生下面的表格： Tan/管理數學 第4章 第220頁

5 例題 2（續） 解（續）： 將行與列對調後，得到3 列3行的新表： Tan/管理數學 第4章 第220頁

6 例題 2（續） 解（續）： 我們把這表格視為一個標準極大化問題的初始單形表，但最後一列轉換成目標函數時，係數符號維持不變，建立了如下的一個對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第220頁

7 對偶問題 定理1：對偶基本定理 一個原始問題有解若且唯若其對應的對偶問題有解。再者，如果解存在，則有下面性質：
a. 原始問題與對偶問題的目標函數達到相同的最佳值。 b. 原始問題的最佳解，位於對偶問題的最後單形表之最 後一列，就在閒置變數下方。 Tan/管理數學 第4章 第223頁

8 例題 3 寫出下列問題的對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第223頁

9 例題 3（續） 解： 我們先針對原始問題產生以下表格： Tan/管理數學 第4章 第223頁

10 例題 3（續） 解（續）： 將行與列對調後，得到3 列4行的新表： Tan/管理數學 第4章 第 頁

11 例題 3（續） 解（續）： 我們將此表視為一個標準極大化問題的初始單形表，但最後一列轉換成目標函數時，係數符號維持不變。因此，建立如下對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第224頁

12 例題 3（續） 解（續）： 因對偶問題已經屬標準極大化問題，故可採用第4.1節單形法的運算求解。加入閒置變數x, y (請記得使用原始問題的變數符號做為閒置變數的名稱)並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第224頁

13 例題 3（續） 解（續）： 接著建立初始單形表，並開始單形法的運算： Tan/管理數學 第4章 第224頁

14 例題 3（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第225頁

15 例題 3（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第225頁

16 例題 3（續） 解（續）： 至此已得到最後單形表，而對偶基本定理告訴我們，原始問題的解為x = 30, y = 120，且目標函數C的極小值等於1,140。至於對偶問題的解，則與之前讀 取最後單形表的最佳解方式一樣，為 w = 0與極大值P = 1,140。本節例題3 的答案與第3.3 節例題2 角落法所求得的解相同。 Tan/管理數學 第4章 第225頁

17 例題 4 求解下列標準極小化問題： Tan/管理數學 第4章 第225頁

18 例題 4（續） 解： 我們先針對原始問題產生以下表格： Tan/管理數學 第4章 第226頁

19 例題 4（續） 解（續）： 將行與列對調後，得到3 列4行的新表： Tan/管理數學 第4章 第226頁

20 例題 4（續） 解（續）： 我們將此表視為一個標準極大化問題的初始單形表，但最後一列轉換成目標函數時，係數符號維持不變。因此，建立了如下對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第226頁

21 例題 4（續） 解（續）： 由此加上閒置變數x, y並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第226頁

22 例題 4（續） 解（續）： 接著建立初始單形表，並開始單形法的運算： Tan/管理數學 第4章 第 頁

23 例題 4（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第227頁

24 例題 4（續） 解（續）： 我們至此已得到最後單形表，而對偶基本定理告訴我們，原始問題的解為x = 20, y=16，且目標函數C的極小值等於92。 Tan/管理數學 第4章 第227頁

25 5.1 複利 複利公式(複利的本利和) A = P(1 + i)n (3) 這裡的 ，且 A =本利和 P =本金
這裡的 ，且 A =本利和 P =本金 r =年利率 m =一年複利的次數 t =年 n=總期數 25 Tan/管理數學 第5章 第244頁

26 例題 4 依下面的情況，試問1,000元的本金存放3年後的本利和若干？已知年利率8%，且
(a)一年複利一次(compounded annually)； (b)半年複利一次(compounded semiannually)； (c)一季複利一次(compounded quarterly)； (d)一個月複利一次(compounded monthly)；及 (e)一天複利一次(compounded daily)。 26 Tan/管理數學 第5章 第244頁

27 例題 4（續） 解： a. P = 1,000, r = 0.08, m = 1，故i = r = 0.08, n = 3，代
入公式(3)得 即1, 元。 27 Tan/管理數學 第5章 第244頁

28 例題 4（續） 解（續）： b. P = 1,000, r = 0.08, m = 2，故 , n = (3)(2) =
6，代入公式(3)得 即1, 元。 28 Tan/管理數學 第5章 第244頁

29 例題 4（續） 解（續）： c. P = 1,000, r = 0.08, m = 4，故 , n = (3)(4) =
12，代入公式(3)得 即1, 元。 29 Tan/管理數學 第5章 第 頁

30 例題 4（續） 解（續）： d. P = 1,000, r = 0.08, m = 12，故 , n = (3)(12)
= 36，代入公式(3)得 即1, 元。 30 Tan/管理數學 第5章 第245頁

31 例題 4（續） 解（續）： e. P = 1,000, r = 0.08, m = 365，故 , n =
(3)(365) = 1,095，代入公式(3)得 即1, 元。我們將結果彙總於表1。 31 Tan/管理數學 第5章 第245頁

32 例題 4（續） 解（續）： 32 Tan/管理數學 第5章 第245頁

33 連續型複利 連續型複利公式 A = Pert (5) 其中 P = 本金 r = 年利率 t = 年 A = 本利和 (m→∞) 33
Tan/管理數學 第5章 第246頁

34 例題 5 依下面的情況，試問1,000元的本金存放3年後的本利和若干？已知年利率8%，且(a)一天複利一次(假設一年是365 天) 與(b)連續複利。 34 Tan/管理數學 第5章 第247頁

35 例題 5（續） 解： a. P = 1,000, r = 0.08, m = 365, t = 3，故 , n =
(365)(3) = 1,095，代入公式(3)得 即1, 元。 35 Tan/管理數學 第5章 第247頁

36 例題 5（續） 解（續）： b. 將P = 1,000, r = 0.08, t = 3代入公式(5)得 即1,271.25 元。 36
Tan/管理數學 第5章 第247頁

37 有效年利率 有效年利率公式 (6) 其中 reff =有效年利率 r =年利率 m =一年複利的次數 37 Tan/管理數學
第5章 第248頁

38 例題 6 依下面的情況，求出有效年利率。已知年利率8%，且(a)一年複利一次； (b)半年複利一次；(c) 一季複利一次； (d)一個月複利一次；及(e)一天複利一次。 解： a. 將r = 0.08, m = 1代入公式(6)： reff = ( ) 1 = 0.08 即有效年利率8%，其結果與年利率是一樣的。 38 Tan/管理數學 第5章 第248頁

39 例題 6（續） 解（續）： b. 將r = 0.08, m = 2代入公式(6)： 即有效年利率8.16%。 39 Tan/管理數學
第5章 第248頁

40 例題 6（續） 解（續）： c. 將r = 0.08, m = 4代入公式(6)： 即有效年利率8.243%。 40 Tan/管理數學
第5章 第 頁

41 例題 6（續） 解（續）： d. 將r = 0.08, m = 12代入公式(6)： 即有效年利率8.3%。 41 Tan/管理數學
第5章 第249頁

42 例題 6（續） 解（續）： e. 將r = 0.08, m = 365代入公式(6)： 即有效年利率8.328%。 42 Tan/管理數學
第5章 第249頁

43 現值 複利計算的現值公式 P = A(1 + i)n (7) 43 Tan/管理數學 第5章 第250頁

44 例題 7 一銀行的年利率6%，每月複利一次，試問現在應存入多少錢，才能在3 年後獲得2萬元的本利和？ 解：
A = 20,000, r = 0.06, m = 12，故 , n = (3)(12) = 36，代入公式(7)得 即16,713元。 44 Tan/管理數學 第5章 第250頁

45 例題 8 一銀行的年利率10%，每季複利一次，試問現在應存入多少錢，才能在5 年後獲得49,158.6 元的本利和？ 解：
A = 49,158.6, r = 0.1, m = 4，故 , n = (4)(5) = 20，代入公式(7)得 大約為30,000元。 45 Tan/管理數學 第5章 第 頁

46 例題 9 投資選擇 婉珍將投資的範圍縮小到以下二個選項： 購買一個12年期的定存，年利率10%，每天複利(假設一年為365 天)。
例題 9 投資選擇 婉珍將投資的範圍縮小到以下二個選項： 購買一個12年期的定存，年利率10%，每天複利(假設一年為365 天)。 購買一個12年期的定存，到期日之本利和為原投資金額的三倍。 試問婉珍應如何選擇對投資最有利？ 46 Tan/管理數學 第5章 第251頁

47 例題 9 投資選擇（續） 解： 我們先瞭解選項1的結果。因 r = 0.10 m = 365 t = 12
例題 9 投資選擇（續） 解： 我們先瞭解選項1的結果。因 r = 0.10　　 m = 365　　 t = 12 故　　　 , n = (365)(12) = 4,380，代入公式(3)得 大約是3.32P元，即本金的3倍多。由於選項2的結果只得到3倍的本金，因此婉珍應投資選項1比較有利。 47 Tan/管理數學 第5章 第251頁

48 例題 10 個人退休帳戶(IRA) 月娥在一家公司開了個人退休帳戶(IRA) 且帳戶的錢投資於貨幣市場共同基金，每天計息。有兩年期間，月娥完全沒有動她的帳戶，且知其存款從4,500 元增加到5,268.24元。假設一年是365 天，試問這兩年來月娥的IRA有效年利率若干？ 48 Tan/管理數學 第5章 第251頁

49 例題 10 個人退休帳戶(IRA)（續） 解： 令reff 為所求的有效年利率，則
49 Tan/管理數學 第5章 第252頁

50 5.2 年金 年金的終值 50 Tan/管理數學 第5章 第257頁

51 年金的終值 年金的終值 一n期的年金，每期在週期最後一天付款R元，每期利率 為i，則年金到期總額S為 相減得 已知 則 51
Tan/管理數學 第5章 第258頁

52 例題 1 一12 月期的普通年金，每期於月底付款100 元，年利率12%，每月複利一次，試問年金的終值？ 解：
每一期的利率i為 ，又R = 100, n = 12，代入公式(9) 得 52 Tan/管理數學 第5章 第 頁

53 例題 1（續） 解（續）： 若有複利因子表可以查詢(例如以下的表4)，亦可求得如下結果： 即1,268.25 元。 53 Tan/管理數學
第5章 第259頁

54 例題 1（續） 54 Tan/管理數學 第5章 第259頁

55 年金的現值 年金的現值 一n期的年金，每期在週期最後一天付款R元，每期利率 為i，則現值P為 (11) 相減得 已知 則 55
Tan/管理數學 第5章 第260頁

56 公式整理

57 例題 2 一普通年金共24期，每月付款100 元，年利率9%，每月複利一次，試問其現值？ 解：
以R = 100, , n = 24 代入公式(11)求得 故其現值約為2,188.91元。 57 Tan/管理數學 第5章 第260頁

58 例題 3 大學學費儲蓄計畫 定國的父母為了幫他存日後的大學學費，每月月底於銀行固定存入100 元，年利率6%，每月複利一次。若此儲蓄計畫從定國6 歲的時候開始，試問當他滿18 歲時，帳戶內會有多少存款？ 58 Tan/管理數學 第5章 第260頁

59 例題 3 大學學費儲蓄計畫（續） 解： 當定國滿18歲時，他的父母已存入144筆，因此，n = 144。此外，R = 100, r = 0.06, m = 12，故 。利用公式(9)，我們求得 即21,015元。 59 Tan/管理數學 第5章 第 頁

60 例題 4 購車付款 莫林付了6,000元的頭期款買車，爾後每月付600元以償還未付的車款，共付36期，所付利息以6%／年計算，每月複利一次。試問莫林當初購買的車款為若干？莫林總共付了多少利息？ 60 Tan/管理數學 第5章 第261頁

61 例題 4 購車付款（續） 解： 我們先求36 期付款所相當的現值
例題 4 購車付款（續） 解： 我們先求36 期付款所相當的現值 共19,723元，此即買車的尾款。將19,723元加上頭期款6,000元，便是當初購買的車款25,723 元。又莫林為了償還尾款，共付了(36)(600) = 21,600 元，因此，他總共支付了21,600  19,723 = 1,877元的利息。 61 Tan/管理數學 第5章 第261頁

62 例題 5 IRAs 卡洛琳固定於每年1月31日將2000元存入傳統IRA，其有效年利率為5%。
a. 卡洛琳於65歲退休後次年的1月31日剛好繳完25期，試問屆時其IRA共有多少錢？ b. 假設卡洛琳65 歲退休後繳完25期款的同時，將傳統IRA 全數提領出來。如果那 時她的稅率級次是28%，試問繳完稅後，卡洛琳實際領到的金額為若干？ 62 Tan/管理數學 第5章 第262頁

63 例題 5 IRAs（續） 解： a. R = 2,000, r = 0.05, m = 1, t = 25，故 ，
n = 25 代入公式(9) 得 即95,454.20元。 63 Tan/管理數學 第5章 第262頁

64 例題 5 IRAs（續） 解（續）： b. 扣除繳稅的部分，卡洛琳實際領到的金額為
(1  0.28)(95,454.20)  68,727.02 故卡洛琳納完稅後，大約領到68, 元。 64 Tan/管理數學 第5章 第262頁

65 5.3 分期償還及償還基金 分期償還 定期定額分期償還公式 貸款P元，每期繳付R元，預計n期付清，且每期的利率為i，則 (13) 65
Tan/管理數學 第5章 第267頁

66 例題 1 分期償還表 一筆5萬元的貸款於每年年底採定額償還的方式，預計5年還清。若支付利息以年利率8%計算，且固定於年底計息。試問此分期償還每期應付多少錢？列出此分期償還的報表。 66 Tan/管理數學 第5章 第267頁

67 例題 1（續） 解 ： 將P = 50,000, m = 1, i = r = 0.08, n = 5代入公式(13)，得
因此，每年應付款12, 元。分期償還的報表詳見表5，從表中可看出，隨著期數的增加，每年的付款中，支付利息的部分逐漸減少，償還本金的部分逐漸增多。 67 Tan/管理數學 第5章 第268頁

68 例題 1（續） 68 Tan/管理數學 第5章 第268頁

69 例題 2 房貸付款 李先生向銀行貸款12萬元購買房子。銀行收取的利息以年利率5.4%計算，於每月月底計息，且李先生同意以30 年期的分期付款還清銀行貸款。試問李先生每月月底應償還多少錢？ 69 Tan/管理數學 第5章 第268頁

70 例題 2 房貸付款（續） 將P = 120,000, , n = (30)(12) = 360代入公式(13)，得 約673.84元。 70
例題 2 房貸付款（續） 將P = 120,000,　 　 　 , n = (30)(12) = 360代入公式(13)，得 約673.84元。 70 Tan/管理數學 第5章 第268頁

71 例題 3 房屋抵押 保定10年前以20萬元購買一間房子，他先付了20%的頭期款，剩餘款項以房屋抵押貸款，分30 年以月付方式償還，年利率6%計算。房屋現在價值38 萬元。試問保定至今付了120 個月的款項後，房屋抵押貸款所餘的淨值若干？ 71 Tan/管理數學 第5章 第269頁

72 例題 3 房屋抵押（續） 解 ： 由於保定已付了20%的頭期款，因此貸款金額為(200,000)(80%) = 160,000元。將P = 160,000, 　　　　　　　　　 , n = (30)(12) = 360 代入公式(13)，得 約959.28元。 72 Tan/管理數學 第5章 第269頁

73 例題 3 解（續） ： 保定至今付了120個月的款項，剩下240期待繳，其未償付款項相當於240期的分期付款現值。因此，將R = , i = 0.005, n = 240代入公式(11)，得 約133,897 元。所以，保定房屋抵押貸款所餘的淨值為380,000  133,897，即246,103 元。 73 Tan/管理數學 第5章 第269頁

74 例題 4 可負擔房貸 英傑自認付了頭期款後，估計每月最多可負擔2,000元的房貸。已知銀行收取年利率6%的利息，每月月底計息。若貸款以30 年定額月繳的方式分期償還，試問英傑最高可向銀行貸款若干元？ 74 Tan/管理數學 第5章 第269頁

75 例題 4 可負擔房貸（續） 解 ： 將R = 2,000, , n = (30)(12) = 360 代入公式(12)，得
例題 4 可負擔房貸（續） 解 ： 將R = 2,000,　　 　 , n = (30)(12) = 360 代入公式(12)，得 約333,583元。 75 Tan/管理數學 第5章 第269頁

76 償債基金 償債基金付款 假設每期的利率為i，預計n期後的總存款為S元，則每期應存入的金額R為 (15) 76 Tan/管理數學
第5章 第273頁

77 例題 7 償債基金 正興五金行的經營者設立了一個償債基金，預計2年後添購一部卡車，卡車預定的購買價為3 萬元。已知投資的基金帳戶可有10%的年利率，每季複利一次。若以定額的方式存款，試問正興五金行的經營者每季應存入多少元？列出償債基金的報表。 77 Tan/管理數學 第5章 第272

78 例題 7 償債基金（續） 解 ： 我們打算利用年金終值的公式解R： 因此 (14) 78 Tan/管理數學 第5章 第272頁

79 例題 7 償債基金（續） 解（續） ： 將S = 30,000, , n = (2)(4) = 8 代入公式(14)，求得
例題 7 償債基金（續） 解（續） ： 將S = 30,000, 　　　　　　　　 , n = (2)(4) = 8 代入公式(14)，求得 約3, 元，其報表見表6。 79 Tan/管理數學 第5章 第272頁

80 例題 7 償債基金（續） 80 Tan/管理數學 第5章 第272頁