Physical Metallurgy Principles

Physical Metallurgy Principles
物理冶金 Physical Metallurgy Principles 第 5 章差排與塑性變形

第 5 章差排與塑性變形本章要考慮的第一個論題是幾年前提出來的機構，用來解釋為何軟（退火過的）晶體試片受到塑性變形時之應變量，與未變形前之晶體內存在之差排的滑動所產生的應變量相比較，一般會大了許多倍？此事實明顯指出在塑性變形過程中，差排會被創造出。第 5 章差排與塑性變形 p.103

圖 5.1 中，假設位於平面 ABCD 之正刃狀差排與兩條其他刃狀差排相連接，後者垂直延伸到晶體之上表面。
5.1 Frank-Read 差排源圖 5.1 中，假設位於平面 ABCD 之正刃狀差排與兩條其他刃狀差排相連接，後者垂直延伸到晶體之上表面。在外加剪應力τ作用下，此兩垂直刃狀差排不能移動。其係因差排之移動一般會使晶體之一部分相對於鄰近部分移位。當外加應力引起這種移動時，外加應力會移動而做功。第 5 章差排與塑性變形 p.103

圖5.1 圖 5.1 Frank-Read 差排源，在外加應力作用下，差
排 xy 段可在 ABCD面上移動，而端點 x 和 y 則固定。第 5 章差排與塑性變形 p.103

垂直差排線段之移動將使晶體之前面部分與後面部分之間產生剪變移位。施加在晶體之上面及下面之剪應力τ無法產生這種移位。
然而，在水平方向施加到晶體之前面及後面之剪應力會使垂直差排線段移動。因為差排線段 xy 是正刃狀差排，應力τ將傾向使其向左移動，使差排線段形成一弧形而其端點則固定在 x 及 y 點上。此弧形在圖 5.2 中以符號 a 表示。第 5 章差排與塑性變形 p.103

圖5.2 圖 5.2　Frank-Read 差排源產生差排環的幾個階段。第 5 章差排與塑性變形 p.103

繼續施加應力，彎曲之差排會繼續擴展到位置 b 及 c。
在 c 位置時，差排環與其本身交截於 m 點，但因交截線段之一是左手螺旋而另一是右手螺旋，故交截線段在交截點會彼此抵消掉當位在相同平面之相反型式之差排交截時，總是會發生抵消。對於正及負刃狀差排較容易說明此事實，因為它們交截時，會由兩個不完整面形成一完整的晶格平面。第 5 章差排與塑性變形

差排線段在接觸點 m 之消除會使差排變成兩個線段標記為 d ，其中之一呈圓形並擴展到晶體之表面，因而產生一個原子距離的剪變。
另一線段是位於 x 及 y 點之間的再生的正刃狀差排，其可繼續產生圓形差排。依此方法，可在同一滑移面上產生許多差排環，因而可產生足夠大之剪變。故可說明大尺度被觀察到的滑移線。這種的差排產生器被稱為 Frank-Read 差排源（Frank-Read source）。第 5 章差排與塑性變形 p.104

實驗證據顯示 Frank-Read 差排源真正存在於晶體中。
5.2 差排之成核實驗證據顯示 Frank-Read 差排源真正存在於晶體中。這些差排產生器在金屬之塑性變形中有多重要並不知道，但另有證據顯示不需 Frank-Read 或類似之差排源的幫助，差排也可被形成若差排之形成不是藉差排產生器之助，則它們必須以成核（nucleation）方法來產生。像所有成核現象一樣，差排之產生有兩種方法：均質地與異質地。第 5 章差排與塑性變形 p.104

對於差排而言，均質成核意謂在簡單的應力作用下，不需應力之外的其他作用，差排即可在完美的晶格內形成。
另一方面，異質成核意指差排之形成係藉助於晶體中之缺陷，可能是雜質粒子。缺陷可降低形成差排所需之施加應力而使差排之形成更容易。一般同意差排的均質成核需要極高的應力，理論上此應力約為晶體剪變模數的到。第 5 章差排與塑性變形 p.104

因為金屬的剪變模數一般在 7 到 70 GPa，故形成差排之應力應該約 0.7 GPa。
然而，金屬晶體藉滑移開始變形之實際應力約 70 MPa。這些數據無疑贊同下述之意見：若差排不是藉由 Frank-Read 差排源來形成，則它們必是藉由異質成核而形成。應注意到，差排也可異質成核於晶體表面且其臨界應力比晶體內均質成核所需之應力小很多。此外，當晶體表面並非完美平坦且含有異質性，如原子尺度之表面步階時，臨界應力可進一步減少。第 5 章差排與塑性變形 p.104

在這種差排的成核中，應力集中於不均質處及熱的起伏被認為是關鍵的因素。金屬晶體特別不適合拿來做成核現象的研究。
例如：Guanshui Xu 及其共同研究者在最近的原子尺度的計算中指出，螺旋差排在具有表面步階之表面上成核所需的臨界應力，比起在完美平坦的表面上，其大小約減少了一個數量級。在這種差排的成核中，應力集中於不均質處及熱的起伏被認為是關鍵的因素。金屬晶體特別不適合拿來做成核現象的研究。當金屬藉由凝固或其他方法製備時，它們通常具有相當高的差排密度，這些差排多少形成無規則的網線且延伸到整個試片。第 5 章差排與塑性變形 p.104

已存在之差排的高度集中使得成核現象的觀察變得複雜。
若拿氟化鋰晶體來研究差排成核，則這些實驗上的困難幾乎可全被消除，氟化鋰是一種離子塩，其結晶成簡單立方晶格（岩鹽）。此材料可被製備成高度完美的單晶，故具有低密度。其生長出的差排（每立方公分有 5 × 104 公分的差排）。第 5 章差排與塑性變形 p.104

此外，LiF 晶體在室溫下足夠剛硬，處理過程中不會變形扭曲，且在此溫度下它們僅有微小的塑性。
因此，施加短時間的小應力（5 到 7 MPa）可在晶體內形成可控制的小數目之差排。觀察晶體中之差排，最好且最簡單的方法之一是使用蝕刻劑，其可在晶體之表面上形成蝕坑，蝕坑是差排與表面的交截點。此方法並非沒有其困難，因為時常沒有方法知道蝕刻是否顯露出所有的差排，或者，某些蝕坑是否由於其他缺陷所造成。第 5 章差排與塑性變形 p.104

兩排水平排列之大的方形的蝕坑與新形成的差排有關。水平列顯示出這些差排的滑移面與表面的交截所在。
對於氟化鋰，蝕坑法似乎是高度可信賴。幾種蝕刻溶液已被發展出來用於 LiF，其中之一可以分辨出已生成的差排與新形成的差排。此溶液之作用可由圖 5.3 看出。兩排水平排列之大的方形的蝕坑與新形成的差排有關。水平列顯示出這些差排的滑移面與表面的交截所在。除了大蝕坑之外，另有兩條彎曲且緊密相隔的較小蝕坑。這些蝕坑顯露出所謂的低角度晶界（low-angle grain boundary）的輪廓。第 5 章差排與塑性變形 p.105

圖5.3 圖 5.3 水平排列的方形大蝕坑是常溫下生成於LiF 內的差排，排列成彎曲曲線較小而密的蝕坑是製備晶體時即存在的差排。
第 5 章差排與塑性變形 p.105

晶界實際上係由許多緊密相隔的差排所形成。應注意到，此指定的蝕刻溶液在新的差排處形成大蝕坑，而在網線差排處形成小蝕坑。
此蝕刻溶液為何有能力分辨這兩種差排，原因並不知道，但可能與雜質原子傾向集合到差排附近有關。在低溫下且在合理的時間內，雜質原子的偏析一般不會發生，因為在低溫下，固體中之原子的擴散或移動不夠快，無法集合到差排的附近。第 5 章差排與塑性變形 p.105

然而，在較高溫時，雜質原子可相當快速移動到差排處。因此，高溫下形成之差排比室溫下形成之差排較容易使雜質原子在其附近偏析。
蝕刻溶液可以分辨已生長出及新形成的差排，此獨特之優點可提供給 LiF 用來研究成核之現象。利用蝕刻來觀察 LiF 之差排另有其他有趣的一面，即是，利用合適的技術，可以追蹤差排在外加應力作用下的移動。第 5 章差排與塑性變形 p.105

因此，首先對試片表面蝕刻以顯露差排在一特性時間時的位置，形成之蝕坑通常出現在｛001｝表面：LiF 晶體容易沿｛001｝面劈裂。
此通常需要數次重複的蝕刻過程。因此，首先對試片表面蝕刻以顯露差排在一特性時間時的位置，形成之蝕坑通常出現在｛001｝表面：LiF 晶體容易沿｛001｝面劈裂。在此種表面上，蝕坑具有四邊錐面的形狀且其下面是個尖點。此時，若應力施加到試片上，則差排將移動離開其蝕坑。第 5 章差排與塑性變形 p.105

第二次蝕刻將顯露出差排的新位置並擴大原來位置上之舊有的蝕坑。
這兩種蝕坑之外貌有明顯的不同。真正與差排相連的蝕坑永遠具有尖銳的端點，而差排已經離開的蝕坑則具有平坦的底端，參見圖5.4。第 5 章差排與塑性變形 p.106

圖5.4 圖 5.4　重複蝕刻顯示 LiF 晶體中差排的移動。第 5 章差排與塑性變形 p.106

Johnston 及 Gilman 利用他們的技術來追蹤差排在 LiF 中之移動，且量測差排在一固定外加應力下的移動速度。
他們簡單地以時間來畫分差排移動的距離，該時間係應力脈衝施加到含有差排之晶體的時間。對氟化鋰之研究已顯示出，在這特別的材料中，已生長出的差排通常被固定住而不參與塑性變形之過程。網狀差排不能移動，一般相信是由於偏析在各差排之附近的雜質原子氛圍所造成。第 5 章差排與塑性變形 p.106

實驗也已經證明，非常大的應力可施加到 LiF 晶體上而不會產生均質成核的差排。
例如：當一個小的且仔細清潔過的球體（玻璃製成）壓在 LiF 晶體表面沒有差排的地方，有可能得到高達 760 MPa 之剪應力，而仍不會產生差排。應注意到，此應力比使此材料降伏所需之正常應力的 100 倍還多。此外，也相信縱使此高應力也無法弄清楚在LiF 中均質成核之差排所需之應力，高應力因玻璃球破裂所造成之實驗上的困難而被限制。第 5 章差排與塑性變形 p.106

無論如何，明顯地，僅憑應力要使差排成核實在是非常困難。
因為降伏應力，或是差排開始移動之應力，遠小於均質成核差排所需之應力，因此，大部分差排顯然是異質成核所生成。 Gilman 有此結論：在 LiF 中，小的外來異質造成大部分的差排成核。最重要的異質可能是小的雜質粒子。差排形成在 LiF 晶體中的夾雜物處，已得到實驗上的證明。第 5 章差排與塑性變形 p.106

晶體可被塑性彎曲且此種塑性變形係滑移所造成。晶體之彎曲可利用 Frank-Read 或其他的差排源來解釋。
5.3 彎曲滑動晶體可被塑性彎曲且此種塑性變形係滑移所造成。晶體之彎曲可利用 Frank-Read 或其他的差排源來解釋。施加相等的力偶（大小為 M）到晶體的兩端，如圖 5.5 所示。這些力偶的效應是在整個晶體長度上產生均勻的彎曲力矩（M）。第 5 章差排與塑性變形 p.106

圖5.5 圖 5.5 (A) 晶體兩端受到相同力矩時產生的彈性變形，(B) 截面 aa 上正應力的分布情形。 p.106

達到晶體之降伏點之前，變形是彈性的。任何切面，像 aa，其上之應力分布可由下列獲得
其中，y 是距離晶體之中立軸（加點的水平中心線）的垂直距離，M 是彎曲力矩，而 I 為晶體切面的慣性矩（圓切面之晶體是πr4/4）。 5.1 第 5 章差排與塑性變形 p.106

圖 5.5B 顯示應力分布，此應力均勻變化，由上表面的最大壓應力，經中立軸的零應力，到下表面的最大張應力。
圖 5.6 表示一樣的晶體，其中，線 mn 代表滑移面的形狀。為了方便起見，另假設滑移面垂直於紙面且線 mn 也是滑移方向。線 mn 旁邊之水平向量表示如圖5.5B 所示之相同的應力分布。第 5 章差排與塑性變形 p.107

圖5.6 圖 5.6　相當於圖5.5 所示之彈性變形時滑移面上的應力分布。第 5 章差排與塑性變形 p.107

圖 5.6 也顯示，沿著線 op，應力分布之剪應力分量（平行於滑移面）。請注意到，當剪應力越過中立軸時，其方向會改變。
此外，在中立軸處剪應力等於零，而在滑移面之兩端點處剪應力為最大。由於剪應力之分布，第一個差排環將形成在靠近上表面或下表面之 Frank-Read 或其他的差排源處。第 5 章差排與塑性變形 p.107

然而，這些差排環移動之方式決定於差排係位在試片之中立軸的上面或是下面。
對此兩種情形，所有差排環的正刃狀差排分量均移向表面，而負刃狀差排分量則移向試片之中立軸。（參見圖 5.7）。負刃狀差排移向剪應力減小之區域，故最後一定會停下來。另一方面，正刃狀差排位在高應力的區域，如同各差排環之右手螺旋及左手螺旋分量是一樣，在施加應力作用下它們會沿著進入或跑出紙面之方向移動。第 5 章差排與塑性變形 p.107

圖5.7 圖 5.7　應力分布對差排移動的影響，正刃狀差排移向表面，負刃狀差排移向中立軸。第 5 章差排與塑性變形 p.107

這三種分量（正刃狀、右手螺旋及左手螺旋）均可被假設移動到表面而離開晶體。
例如：在施加彎曲應力分布之作用下，源自Frank-Read 差排源之閉合的差排環最後變成移向晶體之中立軸的負刃狀差排。當晶體繼續被進一步彎曲時，負刃狀差排將沿著滑移面一再地被推向晶體之中心。最後，各活動的滑移面將會累積有序排列的差排。第 5 章差排與塑性變形 p.107

這些差排會有大略相等的間隔，其最小的間隔決定於下述之事實：若相同種類也相同符號的差排位於相同的滑移面，則它們會彼此排斥。
圖 5.8 顯示差排分布的一般性質。中立軸附近之窄小區域沒有差排，其係因在中等彎曲應力作用下，此區域之應力會在彈性限制之下，故其變形是彈性的，而非塑性的。第 5 章差排與塑性變形 p.108

圖5.8 圖 5.8　在塑性彎曲的晶體中，額外刃狀差排的分布情形。第 5 章差排與塑性變形 p.108

位於滑移面上的負刃狀差排列的各差排都是終止於滑移面的額外平面。這些額外平面的每一個均位在其滑移面的左邊。
為了調適這些額外的平面（全部位在滑移面之一邊），滑移面必須產生一向下且向左凸出之彎曲，而做為一整體的晶體會產生一向下凸出之彎曲。第 5 章差排與塑性變形 p.108

若圖 5.5 到圖 5.8 中之晶體，其外加力偶之方向相反過來，則過多的正刃狀差排會沿著滑移面產生。
因而，滑移面及晶體會產生與前面所述相反的彎曲。在前面之討論中，晶體被假設具有巨觀的尺度，且彎曲變形被假設均勻分布在整個晶體上。然而，前面所描述的現象並不限制於大的晶體上。第 5 章差排與塑性變形 p.108

因額外相同符號的刃狀差排的累積所造成的晶體的彎曲也會發生在相當小的晶體上，甚至在晶體中非常小的區域上。
許多在金屬晶體上觀察到的有關現象均可以局部的晶格旋轉來解釋。對於各情形，均有相同符號之刃狀差排在晶體之滑移面上的累積。這些現象之例子，有扭結、彎曲面及變形帶等。由於它們經常被觀察到，故必須強調金屬晶體之塑性彎曲是一個重要的變形機構。第 5 章差排與塑性變形 p.108

在此圖中，晶體呈圓柱型且具有一個與其軸垂直之活動的滑移面。
5.4 旋轉滑移圖 5.9 顯示可由差排發展出的第三種類的變形。在此圖中，晶體呈圓柱型且具有一個與其軸垂直之活動的滑移面。可由圖中看出，晶體的上半部已經相對於其下半部逆時鐘方向旋轉了一個角度，此旋轉可由線 abcd 中 b 點與 c 點間的水平移位顯示出來。第 5 章差排與塑性變形 p.108

圖5.9 圖 5.9　單晶可以在含有數個滑移方向的滑移面上以法線為軸旋轉。第 5 章差排與塑性變形 p.109

因此，這種變形相當於晶體在其滑移面上繞一垂直此滑移面之軸所做的旋轉。像這種的扭轉變形可藉位於滑移面上之螺旋差排來解釋。
然而，不同於彎曲之情形，此種變形需要多於一組的差排。此必然也表示滑移面必須含有一個以上之可能的滑移方向。六方緊密堆積金屬的基底面及面心立方金屬的｛111｝平面均具有三個滑移方向，故它們是產生這種變形的理想晶體。第 5 章差排與塑性變形 p.108

藉助於圖 5.10 及圖 5.11，可了解為了解釋旋轉滑移，故需要一組以上的螺旋差排。
這些圖是以類似於圖 4.18 及圖 4.19 之方式來畫出，因此是對應於由簡單立方晶格之滑移面上方向下看的圖。像以前一樣，圓圈表示滑移面正上方的原子，而點是滑移面正下方之原子。圖 5.10 表示一組（水平的）平行的螺旋差排。第 5 章差排與塑性變形 p.108

圖5.10 圖 5.10　一組平行的螺旋差排。圓圈表示滑移面正上方的原子，而點表示正下方的原子。第 5 章差排與塑性變形 p.109

圖5.11 圖 5.11 兩組的螺旋差排，這種排列方式沒有長程應變場；圓圈表示滑移面正上方的原子，而點表示正下方之原子。 p.110
圖 5.11　兩組的螺旋差排，這種排列方式沒有長程應變場；圓圈表示滑移面正上方的原子，而點表示正下方之原子。第 5 章差排與塑性變形 p.110

由圖可看出，這樣的差排排列會使滑移面上面之材料相對於滑移面下面之材料僅在水平方向上產生剪變。
要產生真正的旋轉，另需要垂直此方向的剪變類似分量。一簡單之兩組的螺旋差排顯示於圖 5.11 中，其產生了所需的旋轉變形。此外，應注意到，兩組之彼此成 90° 的螺旋差排所具有的應變場，不論是在滑移面的上方或下方，均傾向彼此互相補償。第 5 章差排與塑性變形 p.110

因此，在離開滑移面任何合理之距離處，雙批螺旋差排的應變場會變得很小，故，其相當於低應變能的一種。
然而，如圖 5.10 所示之單組的螺旋差排並非如此。其個別平行的差排的應變場是互相累加的，故此種排列並非低能量的一種。雖然旋轉滑移沒有被廣泛的研究，它確實是一種可使晶體變形的基本方法。第 5 章差排與塑性變形 p.110

事實上，有可能使 1 cm 直徑的鋅晶體繞其基底面之極點扭轉 4 或更多轉（每公分），或是，10 或更多轉（每吋）。
藉此機構可產生非常大的滑移變形。事實上，有可能使 1 cm 直徑的鋅晶體繞其基底面之極點扭轉 4 或更多轉（每公分），或是，10 或更多轉（每吋）。當然，此變形係發生於分布在量測部分的多個滑移面上，而非在一個滑移面上，如圖 5.9 所示。第 5 章差排與塑性變形 p.110

一個實驗上的事實：金屬晶體中的滑移或滑動，優先發生在高原子密度的平面上。平行晶格間之間隔與面之堆積程度成正比變化，此乃是一般法則。
5.5 滑移面及滑移方向一個實驗上的事實：金屬晶體中的滑移或滑動，優先發生在高原子密度的平面上。平行晶格間之間隔與面之堆積程度成正比變化，此乃是一般法則。因此，晶體最容易在寬間隔的平面上受到剪變。此敘述意指差排較容易在寬間隔之平面上移動，因差排在這種平面上移動時，晶格扭曲較小。第 5 章差排與塑性變形 p.111

不僅滑移傾向發生在較優的晶體平面上，而且與此滑移相關的剪變方向也是由晶體學來決定。
晶體的滑移方向（剪變方向）已被發現幾乎全部是緊密堆積方向，原子一個接觸一個地排成一直線。滑移發生於緊密堆積之方向的傾向比滑移發生於最緊密堆積之平面的傾向更強烈。為了實際之目的，通常假定滑移發生在緊密堆積方向。第 5 章差排與塑性變形 p.111

實驗上決定的滑移方向符合晶體的緊密堆積方向，此事實可以差排來解釋。
當差排移動通過晶體時，晶體被剪變了一個等於差排之 Burgers 向量的量。在差排通過之後，晶體的原子幾何不受改變；亦即，晶體之對稱必須保持。可以達成此條件的最小剪變等於緊密堆積方向上之原子間的距離。為了使這點解釋得更清楚，茲考慮簡單立方晶體結構的硬球模型。圖 5.12A 之線 mn 是緊密堆積方向。第 5 章差排與塑性變形 p.111

圖5.12 圖 5.12 簡單立方晶體剪移後仍保持晶格對稱性的兩個方式：(A) 剪移前；(B) 在緊密堆積方向上剪移；(C) 在
圖 5.12　簡單立方晶體剪移後仍保持晶格對稱性的兩個方式：(A) 剪移前；(B) 在緊密堆積方向上剪移；(C) 在非緊密堆積方向上剪移。第 5 章差排與塑性變形 p.111

在圖 5.12B 中，晶格的上半部已向右剪變了 a 大小，a 是在 mn 方向上之原子間的距離。當然，此剪變並未改變晶體之結構。
考慮圖 5.12A 中一隨意選擇非緊密堆積之方向，如 qr。圖 5.12C 顯示 c 之剪變為（在此方向上原子中心之間的距離）也可保持晶格。然而，c 大於 a（c = 1.414a）。而且，c 與 a 分別等於產生此兩種剪變之差排的 Burgers 向量的大小。第 5 章差排與塑性變形 p.111

對應於緊密堆積方向上之剪變的差排有最小的 Burgers 向量。
然而，與差排有關之晶格扭曲及應變能是Burgers 向量大小的函數，且 Frank 已顯示出，應變能與 Burgers 向量之平方成正比變化。在目前之情形中，Burgers 向量 c 之差排的應變能是 Burgers 向量 a 之差排的兩倍〔即，c2 = (1.414)2a2〕。第 5 章差排與塑性變形 p.111

因此，Burgers 向量等於緊密堆積方向上原子間之距離的差排是特有的。在晶體中移動而不干擾晶體結構的所有差排之中，此差排之應變能最小。
具有最小應變能之事實使得此種差排比其他具有較高應變能之差排更有可能存在於晶體中。此也可用來解釋實驗上看到的事實：晶體的滑移方向幾乎全部是緊密堆積之方向。第 5 章差排與塑性變形 p.111

滑移面與其上緊密堆積方向之一的組合界定了一可能的滑移模式或滑移系統（slip systems）。
5.6 滑移系統滑移面與其上緊密堆積方向之一的組合界定了一可能的滑移模式或滑移系統（slip systems）。若將圖 5.13 之紙面考慮為是一滑移面，則與此緊密堆積平面相關的滑移系統有三個，每一個模式對應於三個滑移方向中的一個。在一特定之滑移面上的所有滑移模式在晶體學上都是等價的。第 5 章差排與塑性變形 p.112

然而，對於不同形式之平面，〔（111）及（110）〕而言，它們的滑移系統所能產生的滑移，其容易程度一般是非常不同的。
此外，在同一形式之平面，，其上的所有滑移系統也都是等價的。然而，對於不同形式之平面，〔（111）及（110）〕而言，它們的滑移系統所能產生的滑移，其容易程度一般是非常不同的。第 5 章差排與塑性變形 p.112

因為滑移係剪應力所引起，故晶體之降伏應力最好以分解在滑移面及滑移方向上的剪應力來表示。
5.7 臨界分解剪應力因為滑移係剪應力所引起，故晶體之降伏應力最好以分解在滑移面及滑移方向上的剪應力來表示。此應力被稱為臨界分解剪應力（critical resolved shear stress）。此應力將使足夠多的差排產生移動，而讓應變可以被觀測到。大部分晶體試片不直接以剪變來測試，而是以拉張之方式。第 5 章差排與塑性變形 p.112

最重要的原因是，若以直接之剪變來測試晶體，則在試片被夾鉗之處不產生彎曲力矩幾乎是不可能的事。
這些彎曲力矩的效應會在不是想要研究滑移之滑移面的其他滑移面上產生剪應力分量。若滑移發生在這些平面上，在量測上，不比發生在所要測試之平面上來得困難的話，則會得到這樣的情況，亦即，滑移會發生在試片被夾鉗附近的數個滑移面上。第 5 章差排與塑性變形 p.112

此變形之影響或許會使試片被夾鉗附近之部分彎曲，因此變形變得非常均勻。
茲將推導一方程式，用來表示施加拉張應力與分解在滑移面及滑移方向上之剪應力之間的關係。令圖 5.14 中圓柱晶體上部分之傾斜平面相當於晶體之滑移面。第 5 章差排與塑性變形 p.112

圖5.14 圖 5.14　推導臨界分解剪應力方程式所用之圖。第 5 章差排與塑性變形 p.113

滑移面之垂直線與滑移方向分別以線 p 及 d 表示。滑移面法線與應力軸之間的夾角以θ表示，而滑移方向與應力軸之間的角度則以表示。
滑移面法線與應力軸之間的夾角以θ表示，而滑移方向與應力軸之間的角度則以表示。沿晶體之軸的拉伸力量則以 fn 表示。第 5 章差排與塑性變形 p.112

試片垂直外加拉伸力量的切面面積等於滑移面面積的餘弦，此餘弦中之角度是此兩平面間的夾角。
此角度也等於此兩平面之法線間的夾角。此角度即是圖中的 θ。因此，或 5.2 第 5 章差排與塑性變形 p.113

上式中，An 是垂直試片軸之切面面積，而Asp 是滑移面之面積。作用在滑移面上之應力等於施加力量除以滑移面的面積
其中，σA 是沿原來力量 fn 之方向的滑移面上的應力。然而，此應力並非作用在滑移方向上之剪應力，而是作用在滑移面上之總應力。第 5 章差排與塑性變形 p.113

此應力平行於滑移方向之分量才是所需的剪應力，其可將 σA 乘上 cos 來求得。其中，是 σA 與分解剪應力 τ 之間的夾角。
上面之結果，可寫成上式中，τ是分解在滑移面及滑移方向上的剪應力。第 5 章差排與塑性變形 p.113

最後，因為 fn/An 是外加拉伸力量除以垂直此力量之面積，故其等於正向拉張應力σ
若拉伸軸垂直於滑移面，則角度等於 90°，而剪應力等於零。類似地，若應力軸位於滑移面上，則角度θ等於 90° 而剪應力也等於零。因此，當平面平行或垂直拉伸應力之軸時，不可能在此平面上產生滑移。 5.2 第 5 章差排與塑性變形 p.114

對此兩個角度的所有其他組合，分解剪應力均小於拉伸應力的一半。
可以得到的最大剪應力是 0.5σ，其係在θ與均等於 45°時發生。對此兩個角度的所有其他組合，分解剪應力均小於拉伸應力的一半。關於 5.3 式：拉伸應力σ所產生之分解剪應力τ決定於兩對方向間之角度的餘弦；亦即，拉伸應力軸與滑移面法線間之角度θ的餘弦及拉伸應力軸與滑移方向間之角度的餘弦。第 5 章差排與塑性變形 p.114

若有一立方晶體且這些三個方向指標均已知，則藉助下列方程式可以容易地算出這些餘弦：
上式中，h1、k1 及 l1 是一個方向的方向指標，而 h2、k2 及 l2 是另一個方向的方向指標。 5.4 第 5 章差排與塑性變形 p.114

因此，為說明 5.4 式之用法，假設要算出〔121〕方向及方向間之角度的餘弦，則得到
因此，為說明 5.4 式之用法，假設要算出〔121〕方向及方向間之角度的餘弦，則得到或是 cos = 且 = 75.04˚。實驗上已證明在某些金屬中對一指定的晶體平面，其臨界分解剪應力與晶體之位向無關。第 5 章差排與塑性變形 p.114

圖 5.15 顯示 Burke 及 Hibbard 對 99.99% 純度的鎂單晶所量測到的臨界分解剪應力的數據。
因此，假設有許多晶體被拉伸，這些晶體只有它們的滑移面對拉伸應力軸的位向不相同，若以上面的方程式來計算它們降伏的剪應力，則可發現到降伏應力是個固定值。圖 5.15 顯示 Burke 及 Hibbard 對 99.99% 純度的鎂單晶所量測到的臨界分解剪應力的數據。曲線之縱座標是所有觀測到的拉伸應力，而橫座標是函數 cosθcos 的對應值。第 5 章差排與塑性變形 p.114

圖5.15 圖 5.15 單晶鎂在不同方位的拉張降伏點，橫座標是 Cosθcos 函數值，平滑曲線對應固定的臨界分解剪應
圖 5.15　單晶鎂在不同方位的拉張降伏點，橫座標是 Cosθcos 函數值，平滑曲線對應固定的臨界分解剪應力 435KPa (63 psi)。第 5 章差排與塑性變形 p.114

通過這些對應於 0.43 MPa 之固定降伏應力（剪應力）的數據，可畫出一條平滑曲線。
對 bcc 金屬所做的一些研究指出，在這些金屬中，臨界分解剪應力可能是位向及應力種類的函數。換句話說，這類晶體的降伏應力可能因施加應力是拉伸的或是壓縮的而有所不同。對於某些金屬，若其晶體具有相同的成分及前處理，則在指定的平面上滑移所需的臨界分解剪應力非常的固定。第 5 章差排與塑性變形 p.114

然而，臨界分解剪應力對於成分與處理的改變很敏感。一般而言，金屬愈純，則降伏應力愈低，由圖 5.16 可以清楚看出，銀與銅單晶就是如此。
銀之數據特別顯示其成分由 % 純度變成 99.93% 時，其臨界分解剪應力上升了超過三倍。第 5 章差排與塑性變形 p.115

圖5.16 圖 5.16　晶體臨界分解剪應力隨純度的變化。第 5 章差排與塑性變形 p.115

其他晶體結構（體心立方，六方及斜方）的金屬顯示出有較大的溫度影響。
臨界分解剪應力是溫度的函數。對於面心立方晶體而言，溫度之影響較小。其他晶體結構（體心立方，六方及斜方）的金屬顯示出有較大的溫度影響。這些晶體的降伏強度隨溫度之下降而上升，溫度下降時，其上升速率通常變得更大。第 5 章差排與塑性變形 p.115

也已得知，若幾個等價系統有相當的應力，則滑移一般會同時在所有的這些系統上開始。
5.8 等價滑移系統的滑移經驗上已得知，當晶體具有幾個晶體學上之等價滑移系統（equivalent slip system）時，首先會在具有最高分解剪應力之系統上開始滑移。也已得知，若幾個等價系統有相當的應力，則滑移一般會同時在所有的這些系統上開始。第 5 章差排與塑性變形 p.115

金屬中的差排數目會隨著應變而增加。差排數目的增加會造成金屬的強化。金屬之硬度或強度隨變形所產生的增加與差排密度的增加有緊密的關係。
5.9 差排密度金屬中的差排數目會隨著應變而增加。差排數目的增加會造成金屬的強化。金屬之硬度或強度隨變形所產生的增加與差排密度的增加有緊密的關係。一般用來表示此量之參數是ρ（差排密度），其定義為單位體積內所有差排線的總長度。因此，其因次為 cm/cm3 或是cm–2。第 5 章差排與塑性變形 p.115

差排密度之量測一般係在已知厚度之金屬薄膜試片之穿透電子顯微鏡照片上估算差排線之長度，此長度要做顯微鏡放大倍率之修正。
另一個不同的方法是量測適當浸蝕過之試片表面的差排蝕坑的數目。在此情形，差排密度是單位面積的蝕坑數目，即，ρ= N/cm2，其中，N 是蝕坑的數目。第 5 章差排與塑性變形 p.115

面心立方金屬面心立方結構之緊密堆積方向是〈110〉方向。這些方向是單位晶胞的面之對角線方向。圖 5.13 顯示最緊密堆積面的一部分。
5.10 不同晶體結構的滑移系統面心立方金屬　面心立方結構之緊密堆積方向是〈110〉方向。這些方向是單位晶胞的面之對角線方向。圖顯示最緊密堆積面的一部分。稱為八面體面（octahedral planes），其指標為（111），及。各八面體面含有三個緊密堆積方向，如圖 5.13 所示，因此，八面體的滑移系統總數是 4 × 3 = 12。第 5 章差排與塑性變形 p.116

圖5.13 八面體的滑移系統總數也可以別種方法算出。
有六個〈110〉方向，且各緊密堆積方向位在兩個八面體平面上，故滑移系統之數目為 × 2 = 12。面心立方結構中唯一重要的滑移系統是有關在八面體面上滑移的系統。原因有幾個：首先，緊密堆積面比原子密度較小之平面較容易發生滑移；即，八面體的滑移所需的臨界分解剪應力小於其他的系統。第 5 章差排與塑性變形 p.116

第二，八面體的滑移有十二種不同的方式，且這十二種滑移系統均勻分布在空間中。
因此，若沒有至少一個｛111｝面讓滑移發生，則幾乎不可能使面心立方晶體產生應變。表 5.1 列出了幾種重要面心立方金屬於室溫下量測到的臨界分解剪應力。表 5.1 也清楚表示出非常純的面心立方金屬；其臨界分解剪應力非常小。第 5 章差排與塑性變形 p.116

表5. 第 5 章差排與塑性變形 p.116

一般而言，面心立方晶體由於具有許多等價的滑移系統，故在塑性變形時會在一個以上的八面體面上滑移。
事實上，甚至在簡單的拉伸測試，若不在幾個平面上同時產生滑動，則很難產生幾個百分比以上的應變。然而，當滑移同時發生在幾個交截之滑移面時，產生增加的變形所需的應力則迅速上升。換言之，晶體應變硬化。第 5 章差排與塑性變形 p.116

圖 5.17 顯示一對面心立方晶體的典型拉伸應力- 應變曲線。曲線 a 對應於其原來位向位於靠近〈100〉的晶體。
在此晶體內，幾個滑移系統具有幾乎相等的分解剪應力。其結果是，塑性變形係因在幾個滑移面上滑移而產生，故曲線在變形之開始起就有很陡的斜率。第 5 章差排與塑性變形 p.116

圖5.17 圖 5.17 面心立方單晶典型的應力－應變曲線。曲線a 表示變形開始時即為多重滑移，曲線b 則是在一段時間的單一滑移（簡易滑
動）後再開始多重滑移，晶體位向被顯示於立體投影三角形中。第 5 章差排與塑性變形 p.116

另一方面，曲線 b 對應於位在立體投影三角形之中心的晶體，在開始變形時，有一滑移面比所有其他的滑移面受到更高的應力。
曲線上標示 1 之區域對應僅在此面上滑移；其他的滑移面是不活動的。曲線在階段 1 之小斜率顯示當滑移僅發生在單一晶體面時，應變硬化是較小的。曲線 b 之階段 2，在幾個百分比之應變後，有一甚陡的斜率，隨著應變的增加，晶體迅速硬化。在此區域，不再僅在單一平面上滑移，而是在幾個交截的滑移面上開始了多重滑動。第 5 章差排與塑性變形 p.116

此時，差排的密度隨著應變的增加而迅速增多。最後，階段 3 表示應變硬化率逐漸減小。在此區域，差排密度的增加率隨著應變的增加而變得較小。
曲線 b 之區域 1，其滑動發生在單一平面上，被稱為容易滑動（easy glide）的區域。容易滑動的區域其範圍決定於幾個因素，其中有試片的大小及金屬的純度。第 5 章差排與塑性變形 p.117

當晶體試片具有大的切面直徑，或者金屬很純時，容易滑動之區域傾向於消失。
在任何情況下，面心立方晶體的容易滑動區域，或單一滑移，很少超過幾個百分比的應變，且為了所有實際目的，可假設這些金屬係藉在許多八面體系統上多重滑動來變形。對於多晶質面心立方金屬，此種變形特別真實。純的面心立方金屬的塑性性質描述如下：在八面體面滑移只需低的臨界分解剪應力，此表示這些金屬的塑性變形開始於低應力。第 5 章差排與塑性變形 p.117

然而，在變形進行時，在交截滑移面上的多重滑移就引起快速的應變硬化。
六方金屬　緊密堆積六方金屬的基底面與面心立方晶格之八面體面｛111｝具有相同的原子排列，故應可期待，六方金屬基底面上的滑移會如同面心立方金屬八面體面上的滑移一樣的容易。對於鋅，鎘及鎂等三種六方金屬而言，它們的確是如此。表 5.2 列出這些金屬於室溫下所量測到的臨界分解剪應力。第 5 章差排與塑性變形 p.117

表5.2 第 5 章差排與塑性變形 p.118

六方基底面之 Miller 指標是（0001），而緊密堆積或滑移方向，是。
表 5.2 明確地肯定了這三種六方金屬藉基底面滑移所產生的塑性變形，其開始時的應力，與面心立方金屬開始滑移所需要的應力有相同的數量級。另兩種有趣的六方金屬是鈦及鈹，它們在室溫時其基底面滑移所需的臨界分解剪應力非常高（鈦約 110 MPa，而鈹約 39 MPa。）此外，鈦在稜柱面沿緊密堆積方向的臨界分解剪應力約 49 MPa。第 5 章差排與塑性變形 p.118

另一種六方金屬「鋯」，其基底面滑移尚未被觀察到。鋯之滑移主要發生在滑移系統。其所需的臨界分解剪應力約為 6.2 MPa。
因此面是鈦較優的滑移面。另一種六方金屬「鋯」，其基底面滑移尚未被觀察到。鋯之滑移主要發生在滑移系統。其所需的臨界分解剪應力約為 6.2 MPa。鎂、鋅與鎘等的滑移行為不同於鈹、鈦及鋯等的滑移行為，它們的差異如何來解釋？對此問題的圓滿解釋尚未得到，但下列之敘述無疑與此問題有關。第 5 章差排與塑性變形 p.118

在此圖中，距離 a 等於基底面上原子間的距離，而 c 是每隔一個基底面的垂直距離。因此，c/a 比值是對基底面之間隔的一種沒有因次的量測。
第 1 章之圖 1.16 顯示六方晶格的單位晶胞。在此圖中，距離 a 等於基底面上原子間的距離，而 c 是每隔一個基底面的垂直距離。因此，c/a 比值是對基底面之間隔的一種沒有因次的量測。若六方金屬之原子為真正的球形，則所有金屬的 c/a 比值應該都相同（1.632）。然而，表 5.3 顯示此值並不相同，而是由鎘的變化到鈹的 1.586。第 5 章差排與塑性變形 p.118

表5.3 第 5 章差排與塑性變形 p.118

只有鎂的原子近乎真正的球形，其 c/a = 1.624。鎘與鋅的基底面間隔大於堆積的球之間隔，而鈹、鈦及鋯則有較小的間隔。
六方金屬若基底面的間隔較小，則基底面滑移所需的臨界分解剪應力就非常高。六方金屬鋅及鎘已經被觀察到，當其以非常小之分解剪應力在基底面上變形時，其滑移系統是唯一的。此變形可藉由如將拉伸應力軸置放在幾乎平行於基底面之方向來完成。第 5 章差排與塑性變形 p.118

所觀察到的這種變形的滑移面是，而其滑移方向為。圖 5.18 顯示這些滑移面之一與這些滑移方向之一在六方單位晶胞內之位置。
所觀察到的這種變形的滑移面是，而其滑移方向為。圖 5.18 顯示這些滑移面之一與這些滑移方向之一在六方單位晶胞內之位置。這種模式或變形之重大特徵在於方向並不是六方晶體結構的最緊密堆積方向。在觀察到滑移系統之前，所有金屬中被觀察到的滑移方向幾乎一律是最緊密堆積方向。此種二級稜錐面滑動首次由 Bell 及 Cahn 在巨觀的鋅晶體上觀察到，而 Price 也利用穿透電子顯微鏡在鋅及鎘上證實了這種滑動。第 5 章差排與塑性變形 p.118

圖5.18 圖 5.18　六方金屬的｛1122｝滑移。第 5 章差排與塑性變形 p.118

六方金屬的容易滑動金屬鋅、鎘及鎂是獨特的，因它們具有低的臨界分解剪應力及單一主要滑移面、基底面。
六方金屬的容易滑動　金屬鋅、鎘及鎂是獨特的，因它們具有低的臨界分解剪應力及單一主要滑移面、基底面。若此滑移面相對於應力軸之方位適當，則可由基底面滑移產生非常大的應變。在這些具有單一滑移面的金屬中，同時在多個交截的主要滑移面上滑移並不是問題，因此，其應變硬化率比面心立方晶體小很多。在拉伸應力 - 應變曲線之容易滑移區域，可以超過 100 個百分比，而非只有幾個百分比。第 5 章差排與塑性變形 p.119

事實上，很有可能將鎂晶體拉伸成原長度的四到六倍的條帶。這三種六方金屬的單晶，其非常大的塑性並不出現在它們的多晶體。
多晶質鎂、鋅或鎘具有低的延展性。單晶的大的延展性係由於滑移發生在單一晶體平面上。在多晶材料中，其塑性變形比在單晶時複雜很多。第 5 章差排與塑性變形 p.119

各個晶體必須使其變形順應鄰邊晶體形狀的改變。只有單一滑移面的晶體，沒有足夠的塑性自由度，來應付發生於多晶金屬之情況下大量的變形。
體心立方晶體　體心立方晶體的特性是有四個緊密堆積方向──〈111〉方向，但沒有像面心立方晶格的八面體面，或像六方晶格的基底面等一樣的緊密堆積面。圖 5.19 顯示體心立方（110）面的硬球模型，其是此晶格中最緊密的堆積面。第 5 章差排與塑性變形 p.119

圖5.19 圖 5.19　體心立方晶格的（110）面。第 5 章差排與塑性變形 p.119

在體心立方晶體上所觀察到的滑移現象，與對具有緊密堆積方向但無真正的緊密堆積平面之晶體所期待的滑移有密切的對應。
有兩個緊密堆積方向位在此平面上，及。在體心立方晶體上所觀察到的滑移現象，與對具有緊密堆積方向但無真正的緊密堆積平面之晶體所期待的滑移有密切的對應。體心立方晶體的滑移方向是緊密堆積方向──〈111〉；然而，滑移面不明確界定。體心立方之滑移線起伏沒有規則，滑移面之鑑定非常困難。第 5 章差排與塑性變形 p.119

｛112｝及｛123｝，而對鐵單晶的研究顯示出包含緊密堆積方向〈111〉的任何平面均可以做為滑移面。
體心立方晶體的滑移面經確認有｛110｝、｛112｝及｛123｝，而對鐵單晶的研究顯示出包含緊密堆積方向〈111〉的任何平面均可以做為滑移面。另外，與缺少緊密堆積平面相符合的是，體心立方金屬的滑移需要高的臨界分解剪應力。室溫下的鐵，其值約 28 MPa。第 5 章差排與塑性變形 p.119

當晶體內有兩個或更多的滑移面具有共同的滑移方向時，會發生交叉－滑移現象。
5.11 交叉－滑移當晶體內有兩個或更多的滑移面具有共同的滑移方向時，會發生交叉－滑移現象。例如：六方金屬鎂在低溫時，可在基底面上或在稜柱面上滑移，這二種平面有共同的滑移方向──緊密堆積方向。圖 5.20A 及 5.20B 顯示基底面與一稜柱面的相對位向，其中，各圖表示晶體位在相同的基本位向（基底面平行於頂面及底面）。第 5 章差排與塑性變形 p.120

圖5.20 圖 5.20 六方金屬的交叉－滑移的示意圖；(A)基底面滑移，及(B) 稜柱面滑移，(C) 基底面與稜柱面上的交叉－滑移。
圖 5.20　六方金屬的交叉－滑移的示意圖；(A)基底面滑移，及(B) 稜柱面滑移，(C) 基底面與稜柱面上的交叉－滑移。第 5 章差排與塑性變形 p.120

在第一個圖中，晶體在基底面上受剪變，而在第二個圖中，晶體在稜柱面上受剪變。第三個圖，圖 5.20C，顯示交叉－滑移之性質。
此處，可觀察到實際的滑移表面並不是單一平面，而是有幾個部分合成，其中一部分位在基底面而一部分位在稜柱面。滑移表面呈現樓梯的外形。交叉－滑移可被簡單類比為傢俱的抽屜。第 5 章差排與塑性變形 p.120

抽屜之側邊與底面相對於傢俱之框架等的滑動，基本上很像交叉－滑移所造成的剪變移動。
顯示交叉－滑移之鎂晶體的照片被顯示於圖5.21，其中，照片的面相當於圖 5.20 所示之晶體的前面。此試片之滑移主要發生於稜柱面，但基底面之交叉－滑移片斷仍然清楚可見。在交叉－滑移時，產生變形之差排必須由一個滑移面轉到另一個滑移面。第 5 章差排與塑性變形 p.121

圖5.21 圖 5.21 鎂的交叉滑移，垂直的滑移面痕跡表示稜柱面，而水平滑移面痕跡為基底面（0002）。 p.120
圖 5.21　鎂的交叉滑移，垂直的滑移面痕跡表示稜柱面，而水平滑移面痕跡為基底面（0002）。第 5 章差排與塑性變形 p.120

差排由一個平面到另一個平面的實際移轉僅能發生於螺旋差排。如前面之指出，刃狀差排之 Burgers 向量垂直於差排線。
圖 5.22 顯示螺旋差排在滑移面上產生步階之方式。第 5 章差排與塑性變形 p.121

圖5.22 圖 5.22 螺旋差排在交叉滑移時的移動，上圖之差排是在垂直面上移動，下圖差排則改變滑移面而作水平移動。 p.121
圖 5.22　螺旋差排在交叉滑移時的移動，上圖之差排是在垂直面上移動，下圖差排則改變滑移面而作水平移動。第 5 章差排與塑性變形 p.121

滑移帶是一群緊密靠在一起的滑移線，在低倍放大時，滑移帶看起來像一條大的滑移線。
5.12 滑移帶滑移帶是一群緊密靠在一起的滑移線，在低倍放大時，滑移帶看起來像一條大的滑移線。在許多金屬中，滑移帶之外形傾向於起伏不規則；此證實了在這些金屬中產生滑移帶的差排並不限定在單一平面上移動。差排由一個滑移面到另一個滑移面的轉移通常是螺旋差排之交叉－滑移所造成。第 5 章差排與塑性變形 p.121

要分辨滑移帶之各別滑移線通常要利用到電子顯微鏡。
然而，當滑移帶在幾乎平行於活動的滑移面之表面上被觀察時，有時候利用光學顯微鏡也有可能分辨出滑移帶中的滑移線。圖 5.23 顯示金在變形之後，其上面的滑移痕跡及相對應的差排陣列。第 5 章差排與塑性變形 p.121

圖5.23 圖 5.23　金在輕微變形之後的滑移條紋 (A) 及差排蝕坑陣列 (B) 。第 5 章差排與塑性變形 p.122

最適合用來解釋差排增殖的是雙重交叉─滑移（double cross-slip）。 LiF 中之差排顯現於雜質粒子處成核。
5.13 雙重交叉－滑移最適合用來解釋差排增殖的是雙重交叉─滑移（double cross-slip）。 LiF 中之差排顯現於雜質粒子處成核。這些已成核的差排所造成的滑移過程，首先會形成狹窄的滑移面，而後隨著繼續應變生長成有限寬度的滑移帶。這些滑移帶進而擴展到整個晶體，由圖 5.24 之照片可以看到，幾個頗為狹窄的滑移帶，以及一些已成長為中等寬度的滑移帶。請注意到，滑移帶係由成列的蝕坑所顯現。第 5 章差排與塑性變形 p.122

圖5.24 圖 5.24　LiF 在 –196˚C 及 0.36% 應變所形成的滑移帶。第 5 章差排與塑性變形 p.122

圖 5.25 顯示雙重交叉－滑移之機構的發展，其係先由 Koehler 再由 Orowan 提出。
在 A 圖中，差排環正在主要滑移面上擴展開來。在 B 圖中，差排環中之ㄧ段螺旋差排交叉－滑移到交叉－滑移面上。最後，在 C 圖中，差排在移回到平行於原來滑移面之平面上。請注意到，此差排之形狀類似於圖 5.1 所示之 Frank-Read 差排源之形狀，由點 b 開始而終止於點 c 。第 5 章差排與塑性變形 p.122

圖5.25 圖5.25 雙重交叉滑移。第 5 章差排與塑性變形 p.123

事實上，這是一典型的差排產生器，而差排可以藉它在新的滑移面上產生。
其實，此種差排的形狀也可在原來差排環之滑移面上當作一個 Frank-Read 差排源。雙重交叉－滑移機構的一個重要特徵是，與此機構有關的 Frank-Read 差排源伴隨有新形成的差排；亦即，沒有足夠時間被雜質原子固定住差排。具有此種差排的 Frank-Read 差排源，比具有已生長成的差排之 Frank-Read 差排源更有效力。第 5 章差排與塑性變形 p.123

雖然 fcc 金屬之完整差排＜110＞可以容易地在一對八面體面之間交叉－滑移，但擴展差排則非如此，如圖 5.26 顯示。
5.14 擴展差排與交叉滑移雖然 fcc 金屬之完整差排＜110＞可以容易地在一對八面體面之間交叉－滑移，但擴展差排則非如此，如圖 5.26 顯示。在此圖之 A 部分中，顯示完整差排由主要滑移面 ( 111 ) 交叉－滑移到交叉－滑移面。請注意到，此差排之 Burgers 向量位於此兩滑移面共有的方向上，在此圖之 B 部分中，顯示對應的擴展差排正在 ( 111 ) 主要滑移面上移動。第 5 章差排與塑性變形 p.123

圖5.26 圖擴展差排的交叉滑移。第 5 章差排與塑性變形 p.124

如圖 5.26C 之所示，假設此擴展差排的前面部分差排移到交叉－滑移面上。
因為此部分差排的 Burgers 向量是，且此向量並不位在交叉－滑移面上，故差排反應必須發生，以產生兩條新的差排，此反應是這些差排之一是 Shockley 部分差排，其 Burgers 向量是，其可自由地在交叉─滑移面上移動。 5.5 第 5 章差排與塑性變形 p.123

另一條差排不能移動（固著）而停留在主要平面與交叉 ─滑移面之交截線的後面。
此不能動的差排稱為梯桿（stair-rod）差排，其 Burgers 向量是。在本例中之梯桿差排僅是許多不同種類中的一種，當疊差由一個滑移面延伸到另一滑移面，如圖 5.26C 之所示時，總可以發現到梯桿差排。請注意到，圖 5.26C 之梯桿差排，，垂直於兩個滑移面之交截線，且其並不位於任何一個滑移面上。第 5 章差排與塑性變形 p.124

在擴展差排之交叉－滑移中，當後面的部分差排到達兩個滑移面之交截線而要移動進入交叉－滑移面時，梯桿差排會被移除，如下列方程式之所示
此反應表示於圖 5.26C 中。產生與擴展差排之交叉－滑移有關的梯桿差排需要額外的應變能量，故完整差排的交叉－滑移比擴展差排的交叉－滑移容易很多。 5.6 第 5 章差排與塑性變形 p.124

當單晶受到拉伸或壓縮之變形時，晶體結構通常會旋轉，如圖 5.27 之所示。
5.15 拉伸與壓縮變形時晶體結構的旋轉當單晶受到拉伸或壓縮之變形時，晶體結構通常會旋轉，如圖 5.27 之所示。在拉伸時，滑移面與活動的滑移方向傾向平行於拉伸應力軸。通常有可能確認此種旋轉所產生的活動之滑移面與滑移方向。因此，假設 fcc 晶體在變形之前的位向是在圖 5.28 之標準立體投影圖標記 a1 的地方。此晶體受到一小量的應變後，其位向可利用Laue 後向－反射照片來重新決定（在標準立體投影圖中），則應力軸勢必畫在新的位置，如 a2。第 5 章差排與塑性變形 p.125

圖5.27 圖 5.27　拉伸或壓縮時晶格的轉動。第 5 章差排與塑性變形 p.125

圖5.28 圖 5.28 拉伸時晶格旋轉相當於應力軸(a) 朝向滑移方向旋轉，此立體投影圖所示為面心立方晶體的旋轉。 p.126

第二個類似的變形應會產生在 a3 處的第三個應力軸位向。這三個應力軸位置一般會落在一個大圓上，且若此大圓被投影到前面，則其應會通
過活動的滑移方向。在本例中，可由圖 5.28 看出，滑移方向是。如圖 5.29 之所示，此滑移方向位在（111）及兩個平面上。因為（111）極與應力軸夾一個近乎 45˚ 的角度，而極所夾之角度接近 90˚，故可推論，在（111）平面上會有較大的分解剪應力。第 5 章差排與塑性變形 p.125

圖5.29 圖 5.29 在圖 5.28 中的應力軸與（111）面的極點夾角約 45˚，而與距
圖 5.29　在圖 5.28 中的應力軸與（111）面的極點夾角約 45˚，而與距（111）極點夾角約 90˚，這是兩個包含活動的滑移方向之滑移面。第 5 章差排與塑性變形 p.127

請注意到圖 5.28 之例子，其活動的滑移方向係最靠近應力軸之〈110〉方向，其可跨過包含應力軸之立體投影三角形之邊而達到。
此事實可被用來訂立一個可應用到 fcc 晶體之拉伸變形的一般法則。另舉一個例子，考慮一個可能的應力軸的位向。其標記為 b，位在圖之左邊的立體投影三角形內且靠近極。依上面之法則，滑移方向應是。第 5 章差排與塑性變形 p.125

對於 fcc 晶體，一旦得到滑移方向，則可以容易地決定滑移面之極點。
對應的滑移面極點應是。對於 fcc 晶體，一旦得到滑移方向，則可以容易地決定滑移面之極點。其應位於應力軸離開滑移方向的另一邊，且所有三個方向應大約在共同的大圓上。最後，所示的滑移方向與滑移面的組合產生活動的滑移系統，因為在各情形中，它們代表在指定的立體投影三角形中有最高分解剪應力作用其上的滑移系統。第 5 章差排與塑性變形 p.125

考慮晶體受到壓縮變形之情形。如圖 5.27B 所示，滑移面旋轉，使其傾向垂直於應力軸。
在此情形，若將應力軸畫在標準立體投影圖中，則應力軸將循著通過滑移面的極點之路徑。其被顯示於圖 5.30 中，此處再次使用面心立方金屬單晶做為例子。第 5 章差排與塑性變形 p.126

圖5.30 圖 5.30　壓縮時，應力軸 (a) 轉向活動的滑移面之極點。第 5 章差排與塑性變形 p.127

對於在立體投影三角形之中心的位向，有一滑移系統係較受偏好的，因為在此系統有最高的分解剪應力。
5.16 Fcc 晶體變形中滑移系統的符號對於在立體投影三角形之中心的位向，有一滑移系統係較受偏好的，因為在此系統有最高的分解剪應力。此系統被稱為主要滑移系統（primary slip system）。另一個重要的滑移系統被稱為共軛滑移系統（conjugate slip system）。一旦晶體結構相對於其拉伸應力軸旋轉，而使應力軸之位向離開其原本立體投影三角形進入另一個鄰近的三角形時，此共軛滑移系統就變成較優先的滑移系統。第 5 章差排與塑性變形 p.126

圖 5.31 顯示應力軸在立體投影圖上的此種移動，它是標準投影圖的放大圖，其顯示兩個有關的立體投影三角形。
如圖所示，應力軸在立體投影圖上之位置傾向經由位置 a1、a2 及 a3 而移向活動的滑移方向。這種移動會將它帶到像 a4 的位置，該位置位於另一個立體投影三角形，而使滑移系統有較大的分解剪應力。其結果，滑移將發生在此被稱為共軛滑移系統的滑移系統上，而應力軸將會沿著〔110〕滑移方向之路徑移動。第 5 章差排與塑性變形 p.127

圖5.31 圖5.31 當應力軸離開起始的立體投影三角形時，第二的或共軛滑移系統的分解剪應力會大於主滑移系統，之
圖5.31　當應力軸離開起始的立體投影三角形時，第二的或共軛滑移系統的分解剪應力會大於主滑移系統，之後，變形會交替發生在此兩系統上。第 5 章差排與塑性變形 p.128

理論上，一旦應力軸橫跨過分隔兩個立體投影三角形之邊界時，應會發生滑移系統的轉換，但在共軛滑移系統接受之前，總會多少走過頭。
圖 5.31 清楚地顯示在第二個（或共軛）系統之滑移系統將使應力軸返回原來的立體投影三角形，而使主要滑移系統再次變成較優先。因此，可期望主要滑移系統最後會在一個位置如 a5 處占優勢，且應力軸將再次移向主要滑移系統之滑移方向。第 5 章差排與塑性變形 p.128

應力軸之此種擺盪會重複好幾次，而最後會到達〔211〕方向（如圖所示），此方向位在與共軛及主要滑移方向相同之大圓上且在它們的中間。
此位置是晶體最終的穩定位向，一旦得到此位向，進一步之變形再也不會改變晶體相對於拉伸應力軸之位向。在上面的討論中，對於一指定的晶體軸之起始位向，已分別確認其主要、共軛及交叉－滑移系統。第 5 章差排與塑性變形 p.128

這些已包含了面心立方晶體結構之三個可能的滑移面。而第四個面，在圖 5.28 之例子中為，則被稱為臨界面（critical plane）。

圖 5.32 之曲線表示一典型的多晶質純金屬的工程應力－應變曲線。請注意到，金屬在 a 點的比例限之上開始塑性變形之後，應力仍繼續上升。
5.17 加工硬化圖 5.32 之曲線表示一典型的多晶質純金屬的工程應力－應變曲線。請注意到，金屬在 a 點的比例限之上開始塑性變形之後，應力仍繼續上升。流動應力的上升反映出金屬之強度因變形而增加。若在曲線上之 b 點處移除試片的負荷，而後再將負荷加到試片上，則可顯示出材料強度的增加是真實的。第 5 章差排與塑性變形 p.128

圖5.32 圖 5.32 通常當試片變形到應變 εb 再除去負荷之後，除非應力再上升到 σb，試片無法開始變形。應變 εb 使流動應
力由 σa 上升到 σb。第 5 章差排與塑性變形 p.128

若實驗之溫度不會使材料發生快速的回復率，則在巨觀塑性流動再次發生之前，試片上之應力將會返回到移除負荷前之σb值。
因此，使試片變形到塑性應變εb會提高應力，金屬將由σa 處流動到σb 處。茲將扼要顯示，金屬將流動之應力，即流動應力（flow stress），緊密關連到金屬因變形而造成的差排結構的改變。然而，首先必須考慮表示應力－應變數據之不同的方法。第 5 章差排與塑性變形 p.128

工程應力－應變曲線以試片原本之尺寸來表示應力與應變兩者，為了工程設計之目的，此係用來決定強度與延展性之數據的一個非常有用的方法。
另一方面，此種表示方法不適合用來顯示金屬加工硬化過程之性質。一組較好的參數是真正應力與真正應變。真正應力（σt）是負荷除以瞬間的切面面積。或是 5.7 第 5 章差排與塑性變形 p.129

在塑性流動過程中，體積保持固定，則 A0l0 = A1，其中 A0 及 l0 分別是原來的切面面積及標記長度。
上式中，P 是負荷而 A 是切面面積。在塑性流動過程中，體積保持固定，則 A0l0 = A1，其中 A0 及 l0 分別是原來的切面面積及標記長度。而 A 及 l 是後來任何時間點的切面面積及標記長度。利用此關係，可得到 5.8 第 5 章差排與塑性變形 p.129

其中，Δl 是試片長度的增加量，σ是工程應力，而 e 是工程應變。此方程式簡單敘述為真正應力等於工程應力乘上 1 加工程應變。
真正應變之定義如下式此式敘述真正應變等於 1 加工程應變的自然對數。 5.9 第 5 章差排與塑性變形 p.129

只要試片之標記長度內的變形是均勻的，則前面所述之真正應力與真正應變的方程式則為正確。
在此方面，一般假設在工程應力－應變圖之最大應力點（圖 5.33 之 a 點）之前，標記區域之變形都是均勻的。超過此點，試片開始頸縮，應變則被限定在頸縮區域。若僅考慮金屬在頸縮區域之應力－應變行為，則超越此最大負荷點，真正應力與真正應變間之關係也有可能符合 5.8 式及 5.9 式。第 5 章差排與塑性變形 p.129

然而，必須對頸縮產生之溝槽所引起之三軸性應力做修正，且應變必須以試片頸縮處之直徑而非以試片之標記長度來量測。
若這些因素都被考慮了，則可得到圖 5.33 中上面那條應力－應變曲線。請注意到，真正應力隨著應變之增加而繼續上升，一直到斷裂為止。似乎有充分的證據來假定最大負荷點與斷裂發生點之間，其真正應力與真正應變曲線近乎一條直線。第 5 章差排與塑性變形 p.129

圖5.33 圖5.33　工程應力應變曲線與相對應的真正應力－真正應變曲線之間的比較。第 5 章差排與塑性變形 p.129

圖 5.33 之曲線顯示，在簡單的拉伸測試中，金屬之真正強度一般隨應變之增加而增大，直到斷裂為止。

上式中，P 是負荷，A 是切面面積，而st 是真正應力。
5.18 Considère 準則在最大負荷點時上式中，P 是負荷，A 是切面面積，而st 是真正應力。實際上，此關係式敘述對一指定應變增量，試片面積的減小會使切面承受負荷的能力下降一個量，且由於應變硬化，試片強度之增加而使試片承受負荷之能力上升一個相等的量。 5.10 第 5 章差排與塑性變形 p.130

對於塑性變形，可合理假設體積保持不變，所以
上面之關係式可重新排列變成對於塑性變形，可合理假設體積保持不變，所以或者 5.11 5.12 5.13 第 5 章差排與塑性變形 p.130

其中 l 是試片標記長度，而 dl/l 是真正應變εt。因此
此乃頸縮的 Considère 判斷準則。當真正應力 - 真正應變曲線之斜率，dσt/dεt，等於真正應力σt 時，頸縮開始。如目前所顯示的，此關係式可幫助理解面心立方與體心立方金屬之觀測到的應力 - 應變行為間的基本差異。 5.14 第 5 章差排與塑性變形 p.130

由於穿透式電子顯微鏡技術的發展，已能夠對變形過之金屬中的差排構造做直接的研究。
5.19 差排密度與應力間之關係由於穿透式電子顯微鏡技術的發展，已能夠對變形過之金屬中的差排構造做直接的研究。這些研究已指出對於非常廣泛之種類的金屬而言，在差排密度（dislocation density）與金屬之流動應力之間存在一個相當簡單的關係。圖 5.34 顯示一般金屬之應力－應變曲線的形狀，沿曲線標示的各點係表示試片受到不同量的應變。第 5 章差排與塑性變形 p.130

圖5.34 圖 5.34 以拉伸試驗測定差排密度對應變的變化，一組拉伸試片被應變到應力應變曲線上之不同的位置，如 a 至 e
圖 5.34　以拉伸試驗測定差排密度對應變的變化，一組拉伸試片被應變到應力應變曲線上之不同的位置，如 a 至 e 點。而後這些試片再製成穿透式電子顯微鏡的薄片。第 5 章差排與塑性變形 p.131

進而，當各試片達到其特定量之應變時，移除其負荷，並切片做電子顯微鏡的觀察，則試片內之差排密度可被測量出。
圖 5.35 顯示由一組鈦試片所得到之實際的實驗結果。此數據包括三種不同晶粒大小的試片。請注意到，所有的數據均落在相同的直線上。這樣的數據證實了應力與差排密度的平方根成正比變化的假設，或者 5.15 第 5 章差排與塑性變形 p.131

上式中，ρ是每單位體積內差排的公分長度之量測的差排密度，k 是常數，而σ0 是當 ρ 1/2 外插到零所得到的應力。
此結果確認了金屬的加工硬化直接關連到金屬內所累積的差排密度。雖然上述之關係對應於多晶質試片之數據，單晶試片也符合此關係。對於單晶，以活動的滑移面上之分解剪應力τ來表示此關係較合適，其為 5.16 第 5 章差排與塑性變形 p.131

上式中，τ0 是對應於零差排密度的外插剪應力。
實際上，若差排密度為零，則無法使金屬變形。故σ0 或τ0 最好被當做是一個常數，而不要視為一種物性。第 5 章差排與塑性變形 p.132

圖5.35 圖 5.35 鈦在常溫下且以 10–4 sec–1 之應變率變形的流

1934 年 Taylor 提出一個理論的關係式，其基本上相當於實驗上所觀測的流動應力與差排密度間的函數關係式。
在他所用的模型中，其假設所有的差排移動於平行的滑移面上，且差排彼此平行。簡言之，若差排密度以單位面積所交截的差排數目來表示，則差排間的平均距離正比於ρ－1/2。如 4.10 節之所示，差排之應力場隨1/r 變化，或一般寫成 5.17 第 5 章差排與塑性變形 p.132

其中，μ是剪變模數，b 是 Burgers 向量，而 r 是離開差排之距離。
茲考慮兩條位在平行滑移面上之刃狀差排。若它們具有相同的符號，則彼此會施加一排斥力量到對方。若它們具有相反的符號，則力量是吸收的。在任一情況下，為了使差排能夠繼續在它們各自的滑移面上滑動，則此交互作用必須被克服。第 5 章差排與塑性變形 p.132

如上所述，因為差排間之平均距離正比於ρ－1/2，所以
或是上式中，k 是比例常數，等於αμb。 5.18 5.19 第 5 章差排與塑性變形 p.132

茲將推導一個關係式，用來表示差排在測試試片中的速度與外加應變率間的關係。此關係式被稱為 Orowan 方程式。
如圖 5.36A 及 5.36B 之所示，當一刃狀差排完全移動通過其滑移面時，晶體之上半部相對於下半部會有一個等於 Burgers 向量的剪變。另可推導且嚴格證明（圖5.36C）：若差排僅移動Δx 之距離，則晶體之上表面會有一個等於 b（Δx/x）之剪變，其中，x 是通過滑移面的總距離。第 5 章差排與塑性變形 p.132

圖5.36 圖 5.36　晶體上下半部的相對移位正比於差排在滑移面移動的距離。第 5 章差排與塑性變形 p.133

換言之，上表面之移位正比於差排所通過之滑移面的部分，或正比於 b（ΔA/A），其中，A 是滑移面之面積，而ΔA 是差排所通過的部分面積。
因為晶體的剪應變γ等於移位 b（ΔA/A）除以晶體之高度 z，故得到其中，Az 是晶體之體積。對於 n 條長度 l 的刃狀差排若移動一平均距離，則上式變成 5.20 第 5 章差排與塑性變形 p.132

上式中，ρ是差排密度，等於 nl/V。若在時間間隔Δt，差排移動了平均距離，則得到
其中，是剪應變速率，而是平均的差排速度。 5.21 5.22 第 5 章差排與塑性變形 p.133

此式係由平行刃狀差排之特別情況推導出，但其却是一個一般化的關係式，且習慣上認為，ρ是金屬中所有可以移動的差排，其具有的平均速度。
此式係由平行刃狀差排之特別情況推導出，但其却是一個一般化的關係式，且習慣上認為，ρ是金屬中所有可以移動的差排，其具有的平均速度。另外，若是多晶金屬的拉伸應變率，則可合理假設上式中因子 1/2 是一大約的 Schmid 位向因子。 5.23 第 5 章差排與塑性變形 p.133

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