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单缝衍射
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夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826)
夫琅禾费是德国物理学家。1787年3月6日生于斯特劳宾,父亲是玻璃工匠,夫琅禾费幼年当学徒,后来自学了数学和光学。1806年开始在光学作坊当光学机工,1818年任经理,1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授,慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学成才,一生勤奋刻苦,终身未婚,1826年6月7日因肺结核在慕尼黑逝世。
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夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身,把理论与丰富的实践经验结合起来,对光学和光谱学作出了重要贡献。1814年他用自己改进的分光系统,发现并研究了太阳光谱中的暗线(现称为夫琅禾费谱线).
他设计和制造了消色差透镜,首创用牛顿环方法检查光学表面加工精度及透镜形状,对应用光学的发展起了重要的影响。他所制造的大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。他发表了平行光单缝及多缝衍射的研究成果(后人称之为夫琅禾费衍射),做了光谱分辨率的实验,第一个定量地研究了衍射光栅,用其测量了光的波长,以后又给出了光栅方程。
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Fraunhofer单缝衍射实验装置 置于透镜L1焦平面上的缝(或灯丝)光源S(光均匀照射)所发光束通过L1后成为平行光束,照射到狭缝(宽为a,很窄)上,透过狭缝的光束经透镜L2后会聚在置于L2焦平面上的光屏F上,形成衍射花样。 相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是平行光的相干叠加。
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s Fraunhofer单缝衍射条纹的特点 1. 中央有一特别明亮的条纹,两侧排列着一系列强度较小的亮纹;相邻亮纹间是暗纹。
2. 如以相邻暗纹间的距离为亮纹宽度,则两侧亮纹是等宽的,中央亮纹的宽度是两侧亮纹宽度的2倍。
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Fraunhofer单缝衍射强度公式 p点的合振幅Ap 就是各子波的振幅矢量和的模。 将缝等分成 N个窄带
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各个次波的波矢振幅相等,相邻波矢间夹角为Δφ,合矢量的振幅为Aθ
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A0为次波在焦点处合振动的振幅
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用积分方法 P点光来自同一方向,倾斜因子相同。 不同方向的光,满足近轴条件,倾斜因子为常数1。
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Q点发出的次波在焦点所引起的复振幅 通过整个狭缝的次波在焦点上复振幅 为单缝(单元)衍射因子 强度分布 象方焦点处的光强
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三、光强分布特点
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1、主极强(中央亮条纹) 说明各次波到达P0点时,光程、位相均相同, 振动相互加强,形成最大值。
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2、最小值(暗条纹)位置
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π 3π 2π -π 3、次极强位置 其位置由③式,即超越方程u=tanu决定,可用图示法解此方程。 π 3π 2π -π
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-π 3π 2π π 1 0.0472 0.0165 0.0083 P0 光强分布图和衍射花样如右图为:
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a a 衍射花样与缝的位置的关系 ∵ 衍射角相同的光线,会聚在接收屏的相同位置上。
P0 a L ∵ 衍射角相同的光线,会聚在接收屏的相同位置上。 缝平移 P0 a L ∴ 单缝的夫琅和费衍射花样,不随缝的上下移动而变化。
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总光程差为 入射光与光轴不平行,光程差包括两部分
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极值点
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中央明条纹的角宽为中央两侧第一暗条纹之间的区域:
/a -(/a) 2(/a) -2(/a) sin 0.047 0.017 1 I / I0 相对光强曲线 明纹宽度 中央明条纹的角宽为中央两侧第一暗条纹之间的区域: λ I x1 x2 衍射屏 透镜 观测屏 Δx f 令k=1 半角宽
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由上至下,缝宽由窄变宽。 a 增大
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当 时, 只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像 ∴几何光学是波动光学在 /a 0时的极限情形 屏幕 阴 影 屏幕
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角宽度 线宽度 —— 衍射反比定律 在 时 —单缝衍射明纹宽度的特征 其他明纹(次极大)宽度 中央明纹宽度最宽,约为其它各级明纹宽度的两倍
λ I x1 x2 衍射屏 透镜 观测屏 Δx f 其他明纹(次极大)宽度 在 时 —单缝衍射明纹宽度的特征 中央明纹宽度最宽,约为其它各级明纹宽度的两倍
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次极强值是不等间距的,不过随级次的增大时逐惭趋于等间距。
若以白光入射,除中央条纹仍为白色外,其它各级亮条纹均为彩色;随衍射级次的增大,可能发生重叠。 P0
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干涉和衍射的联系与区别 从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠 加。只是 干涉指的是有限多的分立光束的相干叠加。 衍射指的是无限多的子波的相干叠加。 二者又常常同时出现在同一现象中。
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例. 在单缝夫琅和费衍射实验中,垂直入射的光有两种波,波长为 l1=400nm , l2 =760nm. 已知单缝宽度a=1
例.在单缝夫琅和费衍射实验中,垂直入射的光有两种波,波长为 l1=400nm , l2 =760nm.已知单缝宽度a=1.0×10-2cm透镜焦距 f =50 cm,求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。
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3.6 夫琅和费矩孔衍射 同单缝相比,矩孔在两个相互垂直的方向上对光的传播进行限制 两个方向的参数是相互独立的
最后的结果应该是两个方向的单元衍射因子的乘积
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满足近轴条件,倾斜因子为1
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衍射强度分布 矩孔发出的光波在F点产生的光强
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光学仪器的分辨本领 3.1夫琅和费圆孔衍射 爱里斑 波长为λ平行光,通过半径为R的圆孔,汇聚在透镜的像方焦平面上。
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J1(m):一阶贝塞尔函数
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Aivry斑 三个圆屏衍射
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二.衍射花样的特点 同心圆环,明暗交错,不等距。 中央主极大(零级斑):Aivry斑,占总强度的84%,半角宽度 Δθ0
圆孔直径为D,透镜焦距f,则Aivry斑半径Δl
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物 像 可见,爱里斑是点光源通过衍射孔产生。点光源可看作一个物点,爱里斑是该物点通过圆孔产生的像。 一个物点通过衍射孔所成的像不是一个点,而是一个爱里斑。只有 ,才近似认为物点 像点。 光的衍射限制了光学仪器的分辨本领
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光学仪器的分辨本领 眼睛的瞳孔,望远镜,显微镜,照相机 等常用的 光学仪器的物镜,在成象过程中都是衍射孔。 几何光学 : 物点 像点
物点 像点 物(物点集合) 像(像点集合) ( 经透镜 ) 波动光学 : 物点 像斑 物(物点集合) 像(像斑集合) ( 经透镜 ) 透镜成像清楚不清楚,要考虑物镜衍射的因素。
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分辨本领 平行光经透镜成象,由于衍射效应,总有一Aivry斑,而不是一个几何点。 两束光,则有两个Aivry斑。
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二. 瑞利判据 对两个像斑,怎么算可分辨,怎么算不可分辨? 有没有定量的标准? 1.0 0.8
采用Rayleigh判据:两光斑的角距离恰等于一个光斑的半角宽度时,为可以分辨的最小极限。 刚可分辨 不可分辨 非相干叠加 1.0 0.8
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瑞利判据表明:两衍射斑中心之间重叠区的最 小光强是最大光强的73.5%时人眼恰可分辨。
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衍射限制了透镜的分辨能力的示意图
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爱里斑的半角宽为1 假设按瑞利判据的最小分辨角为 它就是两个衍射班的角距离, 也就是等于爱里斑的半角宽: 定义:透镜的 分辨本领 I
D * S1 S2 = 1 爱里斑的半角宽为1 假设按瑞利判据的最小分辨角为 它就是两个衍射班的角距离, 也就是等于爱里斑的半角宽: 定义:透镜的 分辨本领
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D小 D大
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望远镜: 不可选择 , 但可 ▲ 世界上最大的光学望远镜: D = 8 m 建在夏威夷山顶, 1999年建成
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世界上最大的射电望远镜 建在美国 波多黎各岛的 Arecibo 直径305m,能探测射到整个地球表面仅10-12W的功率,也可探测引力波。
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显微镜: D不会很大,可以让 (紫光显微镜) (电子显微镜) 电子的波长很小:0.1 Å~ 1Å, 所以分辨本领 R 很大。
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眼睛: 正常人的眼睛瞳孔的直径约 3mm , 对波长为5500Å 的光,可以得出 最小分辨角为:
在25cm 远处可分辨相距约0.07mm 的两个点; 在大约9m远处可分辨相距约 2mm的两根细丝。
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人眼最小分辨角,黄绿点光源所发波长为550纳米,因此有
1.宇航员声称他恰能分辨在他下面100公里地面上两个黄绿点光源.若瞳孔直径为4毫米,试估算这两个点光源的间距? 解 设恰可分辨的两个点光源的间距为 , 点光源到宇航员距离为L.两个点光源对人眼的张角即为 人眼最小分辨角,黄绿点光源所发波长为550纳米,因此有 (米). 宇航员恰可分辨的两光源点至少相距16.8米.
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才能将它们分辨开?这样的望远镜的正常放大率是多少?
2.一对双星的角距离为 要用多大口径 才能将它们分辨开?这样的望远镜的正常放大率是多少? 解:(1)已知双星的角距离 弧度. 这个值就是所要求望远镜最小可分辨的角距离. 设望远镜的口径为D,取可见光平均波长 纳米,由 可计算出望远镜的口径为 (米).
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(2)仪器可分辨的角间距还需要仪器以适当放大率 与本台望远镜的分辨本领相匹配的视角放大率应为
将它放大为人眼可分辨的的最小角度 与本台望远镜的分辨本领相匹配的视角放大率应为 倍
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