三角形的邊角關係 大綱:三角形邊的不等關係 三角形邊角關係 樞紐定理 背景知識:不等式 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司.

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1 三角形的邊角關係 大綱:三角形邊的不等關係 三角形邊角關係 樞紐定理 背景知識:不等式 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

2 邊的不等關係 (一) 平面上兩點之間的最短距離為直線距離 C A B 三角形的邊角關係 三角形中， 任意兩邊之和 大於第三邊
三角形中， 任意兩邊之差 小於第三邊 三角形中， 另兩邊之差 < 所求邊 < 另兩邊之和 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 例題 1. 已知 中， ， ， ，求 x 的範圍為何 ? 2. 若三角形三邊長由小到大依序為 x、x＋2、10，求 x 的範圍為何 ? 4
三角形的邊角關係 1. 已知 中， ， ， ，求 x 的範圍為何 ? 三角形中， 另兩邊之差 < 所求邊 < 另兩邊之和 [解答：0 < x < 10 ] 2. 若三角形三邊長由小到大依序為 x、x＋2、10，求 x 的範圍為何 ? 三角形中，較短兩邊之和 > 最長邊 4 8 [解答：4 < x < 8 ] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 邊的不等關係 (二) 已知線段長 a、b，另一邊 c 的範圍為何可使得 a、b、c 圍成三角形 ? c > a＋b c ＝ a＋b
三角形的邊角關係 三角形中，任意兩邊之和大於第三邊 已知線段長 a、b，另一邊 c 的範圍為何可使得 a、b、c 圍成三角形 ? c > a＋b c ＝ a＋b c < a＋b b a b c a b c a c a b 已知三個數，若任兩個數的和大於第三個數， 則長度等於此三個數的三條線段可圍成三角形 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 (基本) 判斷下列各小題中的三個數是不是某個三角形的三邊長 ?
三角形的邊角關係 判斷下列各小題中的三個數是不是某個三角形的三邊長 ? (1) 2、4、4 (2) 2、5、3 (3) 0.4、0.9、1.4 (4) 1、 、 2＋4＝6 > 4，4＋4＝8 > 2 2＋3＝5 0.4＋0.9＝1.3 < 1.4 三角形中，任意兩邊之和大於第三邊 (4) [解答： (1) 是 (2) 否 (3) 否 (4) 是 ] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 例題 (進階) 三角形的兩邊長分別為 3 和 6，第三邊的長是方程式 之一根， 則此三角形的周長為何 ? (A) 9 (B) 11
三角形的邊角關係 三角形的兩邊長分別為 3 和 6，第三邊的長是方程式 之一根， 則此三角形的周長為何 ? (A) 9 (B) 11 (C) 13 (D) 11 或 13 解一元二次方程式： 1. 利用因式分解 (1) 提出公因式 三角形中， 任意兩邊之和大於第三邊 (2) 乘法公式 (3) 十字交乘法 2. 配方法 3. 公式解 [解答： (C) ] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 邊角關係 (大邊對大角) 三角形中，若 ，則 A D 3 2 B C 1 三角形的邊角關係 1. 等腰三角形 兩底角相等 證明：
三角形中，若 ，則 1. 等腰三角形 兩底角相等 2. 外角定理 三角形任一外角 等於兩個內對角 之和。 A 證明： 在 上作 則 由三角形外角定理知 D 1 3 2 又 ， 所以 。 B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 邊角關係 (大角對大邊) 三角形中，若 ，則 A E 1 B C 三角形的邊角關係 證明： 1. 兩內角相等的三角形 為等腰三角形
三角形中，若 ，則 A 證明： 1. 兩內角相等的三角形 為等腰三角形 2. 邊的不等關係 兩邊之和大於第三邊 作 交 於 E，使得 E 1 由邊的不等關係知 B C 三角形中 大邊對大角、大角對大邊； 小邊對小角、小角對小邊。 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 例題 (大邊對大角) A B C H 如圖， 中， ， 且 H 在 上。 比較 和 的大小。 比較 和 的大小。 三角形的邊角關係 三角形中
比較 和 的大小。 比較 和 的大小。 三角形中 大邊對大角、大角對大邊； 小邊對小角、小角對小邊。 (1) 在 中， A (2) 因為 所以 B C H [解答： (1) (2) ] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 例題 (大角對大邊) 如圖，甲、乙兩人在同一水平面上溜冰，且乙在甲的正東方 200 公尺處。
三角形的邊角關係 　 如圖，甲、乙兩人在同一水平面上溜冰，且乙在甲的正東方 200 公尺處。 已知甲、乙分別以東偏北 70o、西偏北 60o 的方向直線滑行，而後剛好相遇， 因而停止滑行。請問： (1) 誰的滑行距離較長 ? (2) 兩人滑行的距離會大於、小於或等於 200 公尺 ? C 三角形中 大邊對大角、大角對大邊； 小邊對小角、小角對小邊。 甲 70o 乙 60o A B [解答： (1) 乙 (2) 均大於 200 公尺] 200 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 例題 (綜合練習) 如圖， 中， ， 。若 ，求 的範圍。 C 7 A B 14 7 14 21 三角形的邊角關係
　 如圖， 中， ， 。若 ，求 的範圍。 三角形中， 另兩邊之差 < 所求邊 < 另兩邊之和 三角形中 大邊對大角、大角對大邊； 小邊對小角、小角對小邊。 C 7 A B 14 21 7 14 [解答： ] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

12 樞紐定理 (D) (E) F A 兩三角形 ABC 及 DEF 中， ， ， 若 ，則 。 H B C D E F 三角形的邊角關係 1 2
　 A 兩三角形 ABC 及 DEF 中， ， ， 若 ，則 。 1 2 H 證明： B C D 由三角形邊的不等關係知 兩個三角形中，已知兩邊相等 則夾角越大，所對邊越長； 所對邊越長，夾角越大 E F 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

13 重點整理 大 小 小 大 大 小 大 小 三角形的邊角關係 三角形中， 任意兩邊之和大於第三邊 任意兩邊之差小於第三邊 三角形中
　 三角形中， 任意兩邊之和大於第三邊 任意兩邊之差小於第三邊 三角形中 大邊對大角、大角對大邊； 小邊對小角、小角對小邊。 大 小 小 大 兩個三角形中，已知兩邊相等 則夾角越大，所對邊越長； 所對邊越長，夾角越大 大 小 大 小 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

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