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第六章 積分與其應用.

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1 第六章 積分與其應用

2 6.1 反導數與不定積分 6.2 廣義乘冪律與替代法的積分 6.3 指數與對數的積分 6.4 面積與微積分基本定理
6.1 反導數與不定積分 6.2 廣義乘冪律與替代法的積分 6.3 指數與對數的積分 6.4 面積與微積分基本定理 6.5 兩圖形所圍成區域的面積 6.6 加總極限的定積分 6.7 旋轉體的體積 第六章 積分與其應用 P.6-1

3 6.1 反導數與不定積分 學習目標 了解反導數的定義。 利用不定積分表示反導數。 利用積分法則求反導數。 利用起始條件求不定積分的特解。
利用反導數求解實際生活的問題。 第六章 積分與其應用 P.6-2

4 f (x) = 2, g (x) = 3x2, 和 s (t) = 4t
反導數 到目前為止,本書的重點在於解決這樣的問題:「給定一函數,試求導數」。可是很多微積分的應用卻牽涉反向的問題:「給定一導數,試求原函數」。譬如,已知導數 f (x) = 2, g (x) = 3x2, 和 s (t) = 4t 第六章 積分與其應用 P.6-2

5 反導數 目標是欲求函數 f、g 和 s。對於下列函數的合理猜測是
從導數來求原函數的運算,其實是微分的反向運算,稱為反微分(antidifferentiation)。 第六章 積分與其應用 P.6-2

6 反導數 第六章 積分與其應用 P.6-2

7 反導數 若 F(x) 為 f(x) 的反導數,則 F(x) + C 也為 f(x) 的反導數,其中 C 為任意常數。譬如,
F(x) = x3, G(x) = x3 - 5, 和 H(x) = x 皆為 3x2 的反導數,因為它們的導數都是 3x2。所有 3x2 的反導數都是屬於 x3 + C 的一般式。所以,反微分的過程並不只是找到單一函數而已,而是找到整個函數族,其成員之間只相差一常數。 第六章 積分與其應用 P.6-2

8 在本節中,「F(x) 為 f(x) 的反導數」同義於「F 為 f 的反導數」。
學習提示 在本節中,「F(x) 為 f(x) 的反導數」同義於「F 為 f 的反導數」。 第六章 積分與其應用 P.6-2

9  積分符號 反導數與不定積分的表示法 計算反微分的過程也稱為積分 (integration),記作
 積分符號 稱為積分符號 (integral sign)。 第六章 積分與其應用 P.6-3

10 反導數與不定積分的表示法 下列符號  f (x) dx 不定積分
是 f(x) 的不定積分 (indefi nite integral),代表 f(x) 的整個反導數族;即,對於所有的x,若 F (x) = f(x) 為真, 則可寫成 其中 f(x) 為積分函數 (integrand) 且 C 為積分常數 (constant of integration)。 第六章 積分與其應用 P.6-3

11 反導數與不定積分的表示法 另外,不定積分的微分 dx 可辨識出積分的變數; 即符號 f (x) dx 的意義為「f 對 x 的反導數」。正如同符號 dy/dx 的意義為「y 對 x 的導數」 第六章 積分與其應用 P.6-3

12 探索 試驗算 F1(x) = x2 - 2x,F2(x) = x2 - 2x - 1 和F3(x) = (x - 1)2 皆為f(x) = 2x - 2 的反導數,在相同的座標平面畫出 F1、F2和 F3。它們的圖形有何相關性?至於其他 f 的反導數圖形會是怎樣? 第六章 積分與其應用 P.6-3

13 以積分表示法,就可改寫本節前三個反導數。 a.  2 dx = 2x + C b.  3x2 dx = x3 + C
範例 1 反導數的表示法 以積分表示法,就可改寫本節前三個反導數。 a.  2 dx = 2x + C b.  3x2 dx = x3 + C c.  4t dt = 2t2 + C 第六章 積分與其應用 P.6-3

14 檢查站 1 試以積分表示法來改寫下列的反導數。 第六章 積分與其應用 P.6-3

15 求反導數 積分與微分互為反運算的性質可以符號表示為 也因為它們互為反運算的性質,所以可利用微分公式,直接推導得積分公式。
第六章 積分與其應用 P.6-3

16 求反導數 以下為已學過微分公式所對應的積分公式的整理 第六章 積分與其應用 P.6-3

17 求反導數 請注意,基本乘冪律有個限制:n不能等於 -1,所以不能將該法則應用於積分 若要計算此積分,則須利用 6.3 節的積分對數律。
第六章 積分與其應用 P.6-3

18 在 6.2 節將要研究積分的廣義乘冪律,在 6.3 節則要研究積分的指數律與對數律。
學習提示 在 6.2 節將要研究積分的廣義乘冪律,在 6.3 節則要研究積分的指數律與對數律。 第六章 積分與其應用 P.6-3

19 範例 2 求不定積分 求下列不定積分。 第六章 積分與其應用 P.6-3

20 範例 2 求不定積分 (解) 第六章 積分與其應用 P.6-3

21 範例 2(b) 的積分  1 dx 常簡寫為  dx 的形式。
學習提示 範例 2(b) 的積分  1 dx 常簡寫為  dx 的形式。 第六章 積分與其應用 P.6-3

22 檢查站 2 求下列不定積分。 a.  5 dx b. -1 dr c.  2 dt 第六章 積分與其應用 P.6-3

23 範例 3 求不定積分 求  3x dx。 第六章 積分與其應用 P.6-5

24 範例 3 求不定積分 (解) 第六章 積分與其應用 P.6-5

25 檢查站 3 求  5x dx 。 第六章 積分與其應用 P.6-5

26 求反導數 在求不定積分時,若只依據基本積分法則,很容易產生怪異的積分常數。譬如在範例 3,可能寫成
然而,因為 C 可為任意常數,所以沒有必要將積分常數寫成 3C,只要寫 就行了。 第六章 積分與其應用 P.6-5

27 求反導數 請注意,範例 3 中求積分的過程很類似於計算微分的流程。 第六章 積分與其應用 P.6-5

28 範例 4 積分前先改寫 求下列不定積分。 第六章 積分與其應用 P.6-5

29 範例 4 積分前先改寫 (解) 第六章 積分與其應用 P.6-5

30 切記可利用微分來驗算反微分的問題。譬如在範例 4(b)中,若要檢查 是否為正確的反導數,將其微分可得
學習提示 切記可利用微分來驗算反微分的問題。譬如在範例 4(b)中,若要檢查 是否為正確的反導數,將其微分可得 第六章 積分與其應用 P.6-5

31 檢查站 4 求下列不定積分。 第六章 積分與其應用 P.6-5

32 求反導數 運用五個基本積分法則,就可求出任意多項式函數的積分,如同下例所示。 第六章 積分與其應用 P.6-5

33 求下列不定積分。 a.  (x + 2) dx b.  (3x4 - 5x2 + x) dx 範例 5 多項式函數的積分
範例 5 多項式函數的積分 求下列不定積分。 a.  (x + 2) dx b.  (3x4 - 5x2 + x) dx 第六章 積分與其應用 P.6-6

34 範例 5 多項式函數的積分 (解) 通常省略解答的第二行。 第六章 積分與其應用 P.6-6

35 範例 5 多項式函數的積分 (解) b. 使用基本積分法則來求積分。 第六章 積分與其應用 P.6-6

36 檢查站 5 求下列不定積分。 a.  (x + 4) dx b.  (4x3 - 5x + 2) dx 第六章 積分與其應用 P.6-6

37 在求商的不定積分時,切記不可將分子與分母的函數個別積分。譬如,在範例 6 中
學習提示 在求商的不定積分時,切記不可將分子與分母的函數個別積分。譬如,在範例 6 中 不等於 第六章 積分與其應用 P.6-6

38 範例 6 積分前先改寫 求    。 第六章 積分與其應用 P.6-6

39 首先將積分函數中的商改寫為分項和,再改寫每一項的乘冪為分數形式。
範例 6 積分前先改寫 (解) 首先將積分函數中的商改寫為分項和,再改寫每一項的乘冪為分數形式。 第六章 積分與其應用 P.6-6

40 範例 6 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。
代數技巧 範例 6 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。 第六章 積分與其應用 P.6-6

41 檢查站 6 求    。 第六章 積分與其應用 P.6-6

42 y = F(x) =  (3x2 - 1) dx = x3 - x + C
特解 方程式y =  f (x) dx 有許多解,每個解之間也只有常數的不同。這說明 f 的任意兩個反導數的圖形是互為垂直平移的圖形。譬如,圖 6.1 為多個不同 C 值的反導數圖形,反導數的形式為 y = F(x) =  (3x2 - 1) dx = x3 - x + C 每一個反導數都是微分方程 dy/dx = 3x2 - 1 的解。一個 x、y 的微分方程 (differential equation) 中包含 x、y 和 y 的導數,故dy/dx = 3x2 - 1 的通解 (general solution) 為 F(x) = x3 - x + C。 第六章 積分與其應用 P.6-6~6-7

43 特解 在許多積分的應用中,足夠的給定條件可求出特解 (particular solution),藉由知道某個 x 的 F(x) 值就行 [這條件稱為起始條件(initial condition)]。譬如在圖 6.1 中,只有一曲線通過點 (2, 4),因此,用下列的條件就能找出這一條曲線。 F (x) = x3 - x + C 通解 F (2) = 4 起始條件 將起始條件代入通解,得 F(2) = 23 - 2 + C = 4,即 C = -2,所以特解為 F (x) = x3 - x - 2 特解 第六章 積分與其應用 P.6-7

44 特解 第六章 積分與其應用 P.6-7 圖6.1

45 求 F (x) = 2x - 2 的通解,再求滿足起始條件 F(1) = 2 的特解。
範例 7 求特解 求 F (x) = 2x - 2 的通解,再求滿足起始條件 F(1) = 2 的特解。 第六章 積分與其應用 P.6-7

46 F(x) = (2x - 2) dx 對 F (x) 積分得 F(x) = x2 - 2x + C 通解
範例 7 求特解 (解) 首先以積分求通解。 F(x) = (2x - 2) dx 對 F (x) 積分得 F(x) = x2 - 2x + C 通解 利用起始條件 F(1) = 2 可得 F(1) = 12 - 2(1) + C = 2 即 C = 3。所以特解為 F(x) = x2 - 2x + 3 特解 第六章 積分與其應用 P.6-7

47 範例 7 求特解 (解) 此解如圖 6.2 所示,其中每條灰色曲線為方程式 F (x) = 2x - 2的某一解, 而黑色曲線是唯一通過點 ( 1 , 2 ) 的解, 也就是F (x) = x2 - 2x + 3 是滿足起始條件的唯一解。 第六章 積分與其應用 P.6-7

48 範例 7 求特解 (解) 第六章 積分與其應用 P.6-7 圖6.2

49 求 F (x) = 4x + 2 的通解,再求滿足起始條件 F(1) = 8 的特解。
檢查站 7 求 F (x) = 4x + 2 的通解,再求滿足起始條件 F(1) = 8 的特解。 第六章 積分與其應用 P.6-7

50 應用 在第三章中,自由落體的位置函數 (不計空氣阻力) 為 s(t) = -16t2 + v0t + s0
第六章 積分與其應用 P.6-7~6-8

51 範例 8:決策-推導位置函數 從 80 呎高處將一球以每秒 64 呎的速度向上投擲 (如圖 6.3 所示)。試以 t (秒) 為變數,推導高度 s (呎) 的位置函數。試問此球在空中的時間會超過 5 秒嗎? 第六章 積分與其應用 P.6-8

52 範例 8:決策-推導位置函數(續) 第六章 積分與其應用 P.6-8 圖6.3

53 由於重力加速度為 -32 呎每秒平方,對加速度函數積分即可求得速度函數, s (t) = -32 重力加速度
範例 8:決策-推導位置函數(解) 令 t = 0 代表起始時間,再利用給定的兩條件 s(0) = 80 起始高度為 80 呎 s (0) = 64 起始速度為每秒 64 呎 由於重力加速度為 -32 呎每秒平方,對加速度函數積分即可求得速度函數, s (t) = -32 重力加速度 s (t) =  -32 dt 對 s (t) 積分可求得 s (t) = -32t + C1 速度函數 第六章 積分與其應用 P.6-8

54 s (t) =  (-32 +64) dt 對 s (t)積分則可求得 s (t) = -16t 2 + 64t + C2 位置函數
範例 8:決策-推導位置函數(解) 利用起始速度為每秒 64 呎,可求得 C1 = 64 s (t) = - 速度函數 s (t) =  (-32 +64) dt 對 s (t)積分則可求得 s (t) = -16t t + C2 位置函數 再利用起始高度為 80 呎,可求得 C2 = 80,所以位置函數為 s (t) = -16t t 位置函數 第六章 積分與其應用 P.6-8

55 令位置函數等於 0 解出 t,就是球落到地面的時間。 -16t2 + 64t + 80 = 0 令 s(t) 等於零
範例 8:決策-推導位置函數(解) 令位置函數等於 0 解出 t,就是球落到地面的時間。 -16t2 + 64t + 80 = 0 令 s(t) 等於零 -16t(1 + t)(t-5) = 0 因式分解 t =- 1, t = 5 解 t 因為時間為正數,則此球丟出 5 秒後落到地面; 它在空中的時間不會超過 5 秒鐘。 第六章 積分與其應用 P.6-8

56 從 48 呎高處將一球以每秒 32呎的速度向上投擲,試推導該球的位置函數,試問何時球落到地面?撞擊地面的速度為何?
檢查站 8 從 48 呎高處將一球以每秒 32呎的速度向上投擲,試推導該球的位置函數,試問何時球落到地面?撞擊地面的速度為何? 第六章 積分與其應用 P.6-8

57 生產某產品 x 單位的邊際成本函數可表示為邊際成本
範例 9 求成本函數 生產某產品 x 單位的邊際成本函數可表示為邊際成本 若生產一單位的費用為 $50,試求生產 200 單位的總成本。 第六章 積分與其應用 P.6-8

58 範例 9 求成本函數 (解) 對邊際成本函數積分即可求得成本函數 第六章 積分與其應用 P.6-8~6-9

59 若要解出 K,則須利用起始條件:x = 1 時,C = 50。
範例 9 求成本函數 (解) 若要解出 K,則須利用起始條件:x = 1 時,C = 50。 50 = 32(1) - 0.02(1)2 + K 以 50 代入 C,1 代入 x 18.02 = K 解出 K 故總成本為 C = 32x - 0.02x 成本函數 於是生產 200 單位的總成本為 C = 32(200) - 0.02(200) = $ 第六章 積分與其應用 P.6-9

60 若生產一單位的費用為 $40,試求生產 200 單位的總成本。
檢查站 9 生產某產品 x 單位的邊際成本函數可表示為 若生產一單位的費用為 $40,試求生產 200 單位的總成本。 第六章 積分與其應用 P.6-9


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