工程數學 第10章 拉普拉斯變換.

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1 工程數學 第10章 拉普拉斯變換

2 本章內容 10.1 導論 10.2 定義 10.3 線性性質 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 10.5 (a) 第一平移定理
10.5 (b) 度量的變換 10.6 反拉普拉斯變換 10.7 微分的拉普拉斯變換 工程數學 第10章 第491頁

3 本章內容（續） 10.8 積分的拉普拉斯變換 10.9 以tn 為乘子的情形 10.10 用t 除的情形 10.11 對合定理
10.12 微分方程上的應用 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 工程數學 第10章 第491頁

4 10.1 導論 在數學上，變換指的是把一個函數轉變成另一個 函數的過程。例如，把微分算子 作用
函數的過程。例如，把微分算子 作用 在函數f(x) = sin x上，就會得到另一個函數 g(x) =D f(x) = cos x 工程數學 第10章 第492頁

5 10.1 導論 拉普拉斯變換在科學及工程上有廣泛的應用。特別是在解線性微分方程的問題，它可以把一個常微分方程轉化成一個代數方程。
在解給定初始條件的微分方程時，可以先求出這個方程的一般解，然後再解出未定的常數；但是用拉普拉斯變換可以直接得到解。 工程數學 第10章 第492頁

6 10.2 定義 假設f(t)在時都有定義。如果積分 存在，我們就稱它為f(t)的拉普拉斯變換(Laplace transform)。這裡的參數可以是實數或虛數。 L{f(t)}可以視為s 的函數，並記為 ；也就是說 工程數學 第10章 第492頁

7 10.3 線性性質 若f 及g 都是t 的函數而c1, c2 是常數，則 由定義可知， 這個結果很容易推廣到一般的情形。 工程數學
第10章 第492頁

8 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 (1) ，若s > 0 工程數學 第10章 第492頁

9 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 (2) ，其中n 為正整數。
當 s > 0 而 n + 1 > 0 或 n > －1時， 在n 為正整數時，Γ(n + 1) = n! ∴ ，令st = x 工程數學 第10章 第493頁

10 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 (3) 若 工程數學 第10章 第493頁

11 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 (4) 工程數學 第10章 第493頁

12 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 (5) 工程數學 第10章 第493頁

13 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 (6) 若 工程數學 第10章 第493頁

14 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 註：這個結果也可以用拉普拉斯變換的線性性質得到。 工程數學 第10章 第493頁

15 10.4 基本函數的拉普拉斯變換 (7) 工程數學 第10章 第493頁

16 10.5 (a) 第一平移定理 若 ，則 。 由定義可知 同樣地， 其中 工程數學 第10章 第494頁

17 10.5 (a) 第一平移定理 如果把這個定理應用到上一節中提到的基本函數，會得到 工程數學 第10章 第494頁

18 10.5 (b) 度量的變換 若 ，則 證明： 工程數學 第10章 第494頁

19 10.6 反拉普拉斯變換 定義 例如，因為 ∴ 如果 ，我們就稱f(t)為 的反拉普拉斯變換，並且用表示反拉普拉斯變換的作用，也就是說
工程數學 第10章 第498頁

20 10.6 反拉普拉斯變換 下面列出的是反拉普拉斯變換的一些性質，它們都可以直接用拉普拉斯變換的性質推導出來。 ，當n為正數時 其餘 工程數學
第10章 第498頁

21 10.6 反拉普拉斯變換 工程數學 第10章 第498頁

22 10.7 微分的拉普拉斯變換 定理 令 。如果f(t)是連續的，而且 ，則 工程數學 第10章 第505頁

23 10.7 微分的拉普拉斯變換 -- Proof 證明： 註1：如果f(t) 滿足 ，我們就說f(t)的階數為s。
註2：這個定理可以推廣到一般的情形。 工程數學 第10章 第505頁

24 10.7 微分的拉普拉斯變換 -- Proof 一般化：如果及它的前個導數都是連續的，則 工程數學 第10章 第505頁

25 10.7 微分的拉普拉斯變換 -- Proof 假設對m = 0, 1, 2,……,n－1都滿足條件 ，用分部積分可以得到 工程數學
第10章 第505頁

26 10.7 微分的拉普拉斯變換 -- Proof 註：當n = 2, 3, 4,……時， 這些結果在解微分方程時常常會用到。 等等 工程數學
第10章 第505頁

27 10.8 積分的拉普拉斯變換 若 ，則 或 工程數學 第10章 第506頁

28 10.8 積分的拉普拉斯變換-- Proof 證明：令 ，則(t) = f(t)而(0)=0 ∴ [由10.7節]    ∴ 或
∴　　　　　　　　　　　　　　 [由10.7節]    ∴　　　　　　　　　 或 工程數學 第10章 第506頁

29 10.9 以tn 為乘子的情形 若 ，n = 1, 2, 3,……時，都會有 工程數學 第10章 第508頁

30 10.9 以tn 為乘子的情形-- Proof 證明：我們要用歸納法證明這個結果。因為 兩邊同時對s 微分(用萊布尼茲法則化簡)，會得到 或
工程數學 第10章 第508頁

31 10.9 以tn 為乘子的情形-- Proof 或 所以定理在n = 1時是對的。 工程數學 第10章 第508頁

32 10.9 以tn 為乘子的情形-- Proof 假設定理在n = m時是對的，也就是說 或 兩邊同時對s 微分，會得到 工程數學
第10章 第508頁

33 10.9 以tn 為乘子的情形-- Proof 或 工程數學 第10章 第508頁

34 10.9 以tn 為乘子的情形-- Proof 或 所以定理在n = m + 1時也是對的。
工程數學 第10章 第509頁

35 10.10 用t 除的情形 若 ，則 (如果這個積分存在)。 工程數學 第10章 第509頁

36 10.10 用t 除的情形-- Proof 證明：因為 兩邊同時對s 從s 積到∞，會得到
因為s 及t 是獨立的兩個變數，所以可以把等號右邊的積分順序交換，就會得到 工程數學 第10章 第510頁

37 10.11 對合定理 若 而 ，則 。 工程數學 第10章 第513頁

38 10.11 對合定理-- Proof 證明：令 則 工程數學 第10章 第513頁

39 10.11 對合定理-- Proof 改變積分順序，會得到 工程數學 第10章 第514頁

40 10.11 對合定理-- Proof 令  工程數學 第10章 第514頁

41 10.11 對合定理-- Proof 工程數學 第10章 第514頁

42 10.12 微分方程上的應用 拉普拉斯變換可以用來解常微分及偏微分方程。這裡我們只介紹在常係數常微分方程上的用法。這個方法最大的優點是可以直接得到特解，而不需要先求出這個方程的一般解然後再解出未定常數。 工程數學 第10章 第517頁

43 10.12 微分方程上的應用 使用方法： 1. 把微分方程兩邊同時取拉普拉斯變換，然後代 入初始條件，會得到一個代數方程。
2. 解這個代數方程，會得到s 的函數 。 3. 兩邊同時取反拉普拉斯變換，會得到t 的函數 y。這就是我們要求的解。 要注意到。 工程數學 第10章 第517頁

44 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 1. 單位階梯函數(或赫韋塞(Heaviside) 單位函數) 定義 特別的是 它與任意函數的乘積為
單位階梯函數u(t－a)定義為 特別的是 它與任意函數的乘積為 工程數學 第10章 第523頁

45 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 而f(t－a) . u(t－a)則是把函數f(t)的圖形向右平移a 單位而得到。 工程數學
第10章 第523頁

46 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 (a) 單位階梯函數的拉普拉斯變換 特別的是， 工程數學 第10章 第524頁

47 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 (b) 第二平移定理 若L，則 令u = t－a 工程數學 第10章 第524頁

48 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 引理1 引理2 a = 0時 。 工程數學 第10章 第524頁

49 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 2. 單位脈衝函數(狄拉克函數)
在力學中，我們常常會遇到很大的力作用在很短的時間中的情形。在研究橫桿的彎曲現象時，重量作用在一點上，所以會在很小的區域上產生很大的壓力。為了要處理這一類的問題，我們要引入單位脈衝函數(unit impulse function) 或狄拉克δ函數(Dirac-delta function)。 工程數學 第10章 第527頁

50 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 工程數學 第10章 第527頁

51 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 單位脈衝函數是函數 當 取極限而得到的。把這個函數用圖形表示，積分後得到的結果為 工程數學
第10章 第527頁

52 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 當ε→0時，δε(t－a)在x = a時會趨近於無窮大，而在其他點的值會趨近於0，而且它在包t = a含這點的積分為1。如果用δε(t－a)表示在t = a時作用在極短時間ε的力，積分 就表示t = a這一瞬間的單位脈衝。因此當ε→0時， δε(t－a)的極限可以看成是單位脈衝函數，我們把它記為δ(t－a) 。 工程數學 第10章 第527頁

53 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 單位脈衝函數δ(t－a)定義為 而且滿足 。 若 工程數學 第10章 第527頁

54 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 (a) 單位脈衝函數的拉普拉斯變換 如果函數f(t)在t = a這點連續，則 (由積分的均值定理)
當ε→0，會得到 。 其中a < c < a +ε 工程數學 第10章 第 頁

55 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 引理1 引理2 工程數學 第10章 第528頁

56 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 3. 週期函數 如果f(t)是週期為T 的週期函數，也就是說 f(t + T) = f(t) ，則
工程數學 第10章 第529頁

57 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 在這些積分中分別取t= u, t = u + T, t = u + 2T,…… ，會得到 工程數學
第10章 第 頁

58 10.13 其他特殊函數的拉普拉斯變換 因為f(u) = f(u + T) = f(u + 2T)=……，所以 工程數學
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