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課程大綱 第一章 Laplace 變換 1.1 基本概念與定理 1.2 常係數之線性微分方程式的 Laplace 變換解 1.3 Laplace 變換的重要性質 1.4 線性系統的 Laplace 變換解
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第二章 向量場與線積分以及面積分 2.1 向量場以及向量微分與積分 2.2 線積分與面積分
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第三章 Fourier 級數 3.1 Fourier 級數 3.2 偶函數與奇函數 3.3 週期函數的 Fourier 級數
3.2 偶函數與奇函數 3.3 週期函數的 Fourier 級數 3.4 半幅展開式
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第四章 偏微分方程式 4.1 常係數偏微分方程式 4.2 常係數二階偏微分方程式的解 4.3 偏微分方程式的 Laplace 變換解
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第一章 Laplace 變換 1.1 基本概念與定理 定義 1.1.1 Laplace 變換
設 f 是一個實數變數 t 的實數值函數，當 t >0 時被定義。假設 s 是一個實數變數，而且對某些 s 而言，連續函數 F 的積分都存在，此處
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，R 為一個實數常數。函數 F 被方程式 (1.1.1) 所定義時則稱是函數 f 的 Laplace 變換。我們將把 f 的Laplace 變換 F 表示為 ，亦即
F(s)= █
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例 試求函數 的 Laplace 變換。 解: 因此對於所有的 s>0 , 我們有 █
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例 試求函數 的 Laplace 變換。 解:
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因此對於所有的 s>0 , 我們有 █
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例 試求函數 的 Laplace 的變換 。 解:
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因此對於所有 s >a , 我們有 █
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例1.1.4 試求函數 f( t )=sin b t , t >0
的 Laplace 變換。 解:
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因此對於所有 s >0 , 我們有 █
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例 1.1.5 試求函數 f( t )=cos b t , t > 0
的 Laplace 變換。 解:
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因此對於所有 s>0 , 我們有 █
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例 試求函數 的 Laplace 變換。 解:
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此處Γ(a+1)= aΓ(a)為一 Gamma 函數 ,當 a N
因此我們得到 ■
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定義 1.1.2 函數 f 被稱為在一個有限區間 裡是分段連續的, 如果這個區間可以被分割成有限個子區間, 使得 f 在這些子區間的內部是連續的 , 而且 當 t 趨近於各個子區間的端點時, f( t ) 將趨近於一個 有限的極限值。 █
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我們必須指出: 如果函數 f 在區間 裡是連續的， 則它在這個區間裡必定是分段的連續的 ; 但是倘若函數 f 在區間 是分段連續的， 則它在這個區間裡未必是連續的。
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例 函數 是一個分段連續函數 , 對於每個有限區間 。 █
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對於所有 。 定義 1.1.3 如果存在一個常數 a 以及正常的常數 與 M 使得 則我們說函數 f 是一個指數階。█
換句話說，如果存在一個常數 a 使得對於相當大的 t 值而言 是有界的，則我們說 f 是一個指數階。 也就是 對於所有 。
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因此每個有界的函數一定是一個指數階 , 只要令常數 即可。例如 與
是指數階。
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定理 瑕積分的比較審查法 令 g 與 G 是實數函數 , 使得在 裡有 2. 假設 存在 , 而且 假設 g 在每個有限封閉的子區間 裡為可積分函數, 則 存在。 □
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定理 假設實數函數 g 在每個有限封閉的子區間 裡為可積分函數, 2. 假設 存在 , 則 存在。□
25
定理 Laplace 變換的存在定理 假設 f 是一個具有下面性質的實數函數: 1. f 在一個有限封閉子區間 裡是分段連續的。 f 是個指數階, 也就是存在α , M > 0 以及 使得對於所有的 而言有
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則 Laplace 變換 存在, 對於所有的 s >α 而言。□
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定理 線性運算 令函數 的 Laplace 變換均存在, 而且令 為兩個常數 , 則 □
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例 試求函數 的 Laplace 變換。 解: 我們有
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同理,我們可以得到 ■
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例 試求函數 解: 由
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■
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■ 定義 1.1.5 已知一個函數 F , 我們必須尋找一個函數 f , 使得它的 Laplace 變換為已知 F 。我們介紹一個符號
表示 f (t) , 而且稱如此的一個函數為 F的Laplace 反變換。也就是用 表示函數 f (t) 有 ■
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例 試求 解: ∴我們有 ■
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例 試求
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■
36
例 試求
37
■
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習 題 . 試求下面各函數 f (t) 的 :
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. 試求下面已知函數 F(s) 的
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1.2 常係數之線性微分方程式的 Laplace 變換解 定理 1.2.1 假設
定理 假設 F 是一個實數函數 ,對於 則 f 是連 續的以及是個指數階 。 在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的。 則 存在 , 對於 s > α ; 以及 □
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定理 假設 F 是一個實數函數而且對於 而言 是連續的 ; 以及令 都是個指數階 。 在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的。則 存在 , 對於 ; 以及 □
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例 試解起始值問題 解:
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亦即得到已知起始值問題的解 ■
44
例 試解起始值問題
45
∵ ∴ 我們有 亦及得到起始值問題的解為 ■
46
例 試解起始值問題 解:
47
∴ 我們有 亦即得到起始值問題的解 ■
48
例 試解起始值問題
49
∵ ∴我們有 亦即得到起始值問題的解為 ■
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習 題 一. 試用 Laplace 變換解下列各起始值問題 :
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1.3 Laplace 變換的重要性質 定理 1.3.1 s 空間的平移性質
對於 s >α 而言 , 假設函數 f 的 L{ f } 存在 , 則對於任何常數 α 以及 s > α+a , 我們有 此處 F( s ) 表示 L{ f( t ) } 。□
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例 試求 解: 且 ∴原式 ■
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例 試求 解: 又 ∴ 原式 ■
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例 試求 解: ∵ ∴原式 ■
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例 試解起始值問題 解:
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∴我們有 亦即得到已知起始值問題的解 ■
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定理 1.3.2 假設 F 是函數 f 的 Laplace 變換 , 也就是 則我們有 □
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例 試求 解: ■
60
例 試求 解: ■
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單位階梯函數亦稱為 Heaviside 函數。
定義 對於各個實數 , 單位階梯函數 被定義成 ■ 單位階梯函數亦稱為 Heaviside 函數。 定理 1.3.3 □
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例 試求下列函數的 Laplace 變換 : ■
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例 試求下列函數的 Laplace 變換 : ■
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定理 t 空間的平移性質 假設 f 的 Laplace 變換存在 , 表示為 而且考慮平移函數被定義成下式: 則我們有 □
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例 試求 ■
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例 無阻尼系統對單一方波的響應 試解起始值問題 其中
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■
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例 阻尼震動系統對單一方波的響應 試求對應於下列阻尼震動系統的響應 其中 r( t ) 如前例。 解:
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∴ 得到阻尼震動系統的響應為 ■
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例 試解起始值問題 此處 解:
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∴ 我們有
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亦即得到起始值問題的解為 ■
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定理 週期函數的 Laplace 變換 假設 f 是一個週期為 P 的週期函數 , 而且 f (t)的 Laplace 變換存在 , 則我們有 □
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例 試求函數 而且 的Laplace 變換
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解: ■
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例 試求下列函數的 Laplace 變換: 解:
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■
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定義 1.3.2 假設 f 與 g 兩個函數在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的 , 同時 f 與 g 都是指數階。函數 f * g 被定義成 稱為是函數 f 與 g 的摺積。■ 倘若令 u = t –τ , 則
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假設 f 與 g 兩個函數在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的 , 同時 f 與 g 都是指數階 。則我們可以證明 f * g 在每個有限的封閉區間 裡也是分段連續的 , 同時 f * g 也是個指數階 , 此處 是任何極微小的正數。因此對於 s 相當大時則 存在。更明白地說 ,當 時 ,我們可以證明 是存在的。
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定理 1.3.6 摺積定理 ( The Convolution Theorem )
假設 f , g 與 h 三個函數在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的 , 同時 f , g 與 h 都是指數階 。倘若我們有 而且
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則我們可以得到 對於 , 換句話說 , 我們有 □
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例 試求 解: ■
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例 試求 解: (解一) ■
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(解二) 亦即我們得到 ■
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習 題 . 試求下列已知函數 f (t) 的 L{ f( t ) } : 二. 試求下列已知函數 F(s) 的
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. 試求 Laplace 變換解下列各起始值問題 :
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. 試用兩種方法解下列各題 : 五. 試求下列週期函數的 Laplace 變換 :
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與 為常數以及 與 為己知函數 , 此系統滿足起始條件
1.4 線性系統的 Laplace 變換解 我們應用 Laplace 方法去發現一階線性系統 的解 , 此處 與 為常數以及 與 為己知函數 , 此系統滿足起始條件
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此處 與 為常數。
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例 試解系統 解:
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也就是 ■
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例 試解線性系統 解:
103
■
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習 題 試用 Laplace 變換解下列各起始值問題 :
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