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第3章 电阻电路的一般分析方法.

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1 第3章 电阻电路的一般分析方法

2 第3章 电阻电路的一般分析方法 3.1 电路中的基本概念 3.2 2b法与1b法 3.3 网孔电流法与回路电流法 3.4 结点电压法

3 本章要求: 1.掌握支路电流法、回路电流(网孔电流法)和结点电压法系统方程的列写;
2.熟练利用这些方法求解电路,为学习动态电路、非线性电路的分析奠定基础

4 3.1 电路中的基本概念 左下图电路有4个节点(n = 4),结点的KCL方程。 1 重要概念 (见第一章1.4) 支路 结点 回路 网孔
支路 结点 回路 网孔 (a): 2 电路中KCL方程的独立性 (b): (c): (d): (a)+(b)+(c)+(d)=0 结论:n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。

5 3 电路中KVL方程的独立性 对网孔列KVL方程: 这3个KVL方程是独立的。 n = 4, b = 6,m=3 ② +③ ,得 为回路abcda的KVL方程 可以证明通过对以上三个网孔方程进行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程。

6 结论: 在平面电路中, KVL的独立方程数等于其网孔数m,而网孔数 n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为:

7 3.2 2b法与1b法 1 支路法(2b法) 以支路电压和支路电流作为变量,对具有n个结点,b条支路的电路,可以列写(n-1)个独立的KCL方程,b- ( n - 1)个独立的KVL方程,再对b条支路写出其电压电流关系(VCR)方程。从而得到含b个支路电流和b个支路电压,共2b个变量的2b个独立方程。这种求解电路的方法称为“2b法”。

8 例如: 3个独立的KCL方程: (a): 联立求解这2b个(本例2b=12)方程,就可以求解出各支路电压和电流。 (b): (c): 3个独立的KVL方程 缺点:方程数太多,求解困难 n = 4, b = 6,m=3 6个支路的电压与电流关系方程

9 2 支路电流法 接上例 3个独立的KCL方程: (1) 将6个支路的VCR方程 代入3个独立的KVL方程 得 结合(1)和式(2)就是以b条(本例1b=6)支路电流为未知变量的相互独立的方程组。 (2)

10 结论: 支路电流法就是以各支路电流为未知量,在n-1个独立结点处列KCL方程,选择b-(n-1)个独立回路列写KVL方程的分析电路的方法。
一般步骤为: (1)选取各支路电流的参考方向和独立回路的绕行方向。 (2)对(n-1)个独立结点列写KCL方程。 (3)根据KVL和VCR对(b-n+1)个独立回路列出以支路电流为变量的方程。 (4)求解各支路电流,进而求出其他所需求的量。 注意: 若支路中含有电流源,(1)则该支路电流为电流源的电流,(2)列KVL方程时可设电流源的电压为未知量再列KVL方程。

11 【例3.1】 如图3-3所示电路。求各支路电流、电压uab及各电源的功率。
解:电路有2个结点,3条支路,因此电路可列写1个独立的KCL方程和2个独立的KVL方程。 对结点a列写KCL方程 求解这3个方程得 选取独立回路的绕行方向 列写KVL方程

12 【例3.1】 如图3-3所示电路。求各支路电流、电压uab及各电源的功率。
各电源的功率分别为 电源us2吸收9W的功率,处于被充电状态

13 3.3 网孔电流法与回路电流法 1 网孔电流法 1)网孔电流 是一组假想的沿网孔流动的电流,其方向可以任意指定。
如图电路中im1,im2表示两个网孔电流。各网孔电流之间是相互独立的, 且在结点处自动地满足KCL。 2)网孔电流法 是以网孔电流为电路独立变量,对网孔列KVL方程的解题方法,它仅适用于平面电路。

14 3)方程的列写 各支路电流可用网孔电流表示: 例如 i1=im1,i2=im1-im2,i3=im2 因此以im1,im2为变量,对图中两个网孔列KVL方程,有 整理得 : 即是以网孔电流为变量的网孔电流方程。

15 具有两个网孔电路的网孔电流方程的一般形式为:
自电阻总为正 观察可以看出如下规律: R11=R1+R2 网孔1中所有电阻之和,称为网孔1的自电阻。 R22=R1+R3 网孔2中所有电阻之和,称为网孔2的自电阻。 R12= R21= –R2 网孔1和网孔2之间的公共电阻,称为互电阻。 当两个网孔电流流过相关支路方向相同时,互电阻取正号;否则为负号。

16 具有两个网孔电路的网孔电流方程的一般形式为:
观察可以看出如下规律: uS11= uS1 回路1中所有电压源电压的代数和。 uS22= - uS 回路2中所有电压源电压的代数和。 当电压源电压方向与该回路方向一致时,取负号;反之取正号。

17 由此可知,对于具有m个网孔的平面电路,网孔电流方程的一般形式为
(3-9) 其中: Rkk:自电阻(为正) + : 流过互阻的两个回路电流方向相同 Rjk:互电阻 - : 流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关

18 用网孔电流法求解电路的一般步骤为 1)选取网孔电流; 2)按照式(3-9)列网孔电流方程。注意自电阻总为正,互电阻可正可负;同时注意电压源电压的正负; 3)求解网孔电流; 4)根据所求得的网孔电流来求其他的电压和电流。

19 【例3.2】用网孔电流法求如图电路中流过5Ω电阻的电流i。
解: (1)选取网孔电流im1,im2。 (2)列网孔电流方程 解方程组得 整理得 所以

20 2 回路电流法 1)回路电流 是一个回路中连续流动的假想电流 ,其方向可以任意指定。 2)回路电流法
是以回路电流为电路变量,对回路列KVL方程的解题方法,既适用于平面电路,也适用于非平面电路。 对于具有n个结点,b条支路的电路, 有b-(n-1)个独立回路,这样以独立回路电流为变量列出的KVL电压方程是一组独立的方程。 注意:网孔是一组独立回路,独立回路数l等于网孔数m。

21 Rkk:自电阻,是回路k中所有电阻之和, 恒为正)
对于具有l个独立回路(m个网孔)的平面电路,把网孔选为独立回路,参考式(3-9),得回路电流方程的一般形式为 (3-10) 其中: Rkk:自电阻,是回路k中所有电阻之和, 恒为正) + : 流过互阻的两个回路电流方向相同 Rjk:回路k和回路j的互电阻 - : 流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关 uSkk: 回路k中所有电压源电压的代数和。 当电压源电压方向与该回路方向一致时,取负号;反之取正号。

22 注意:(1)回路电流法的解题方法与解题步骤基本与网孔电流法相同。
(2)在选取独立回路时,应尽量将电流源所在的支路选为回路电流,这样可以不再对由电流源支路所确定的回路列写方程,从而进一步减少方程的数量。(其余的独立回路选择应避开电流源所在支路) 【例3.3】已知电路如图所示,用回路电流法求各支路电流。 解:电路中b=5、n=3 独立回路数l=b-(n-1)=3 选取回路及回路电流如图所示。

23 只让回路电流Il3流过电流源支路,可得 Il3=2mA 因此只需对回路(1) 和(2)建立KVL方程 解得 求得各支路电流

24 注意:(3)当电路中含有受控源时,可把受控源先当做独立源处理来列方程,然后再把受控源的控制量用回路电流表示
【例3.4】已知电路如图所示,用回路电流法求各支路电流 解:电路中b=6,n=4,l=3。 选取回路如图所示。设回路电流 Il1、Il2分别只流过(15A)独立电流源和 受控源电流(UX/9)所在支路,则 只需对回路2列KVL方程 增补方程: 联立以上方程可求出各回路电流,再求出各支路电流

25 【例3.5】已知电路如图所示,用回路电流法求电流I1。
解:电路中b=5,n=3,l=3。 选取回路及回路电流如图所示 回路2 回路3 回路1 增补方程: 解得

26 3.4 结点电压法 1)结点电压 在电路中任意选择某一结点为参考结点,其他结点与此结点之间的电压称为结点电压。
如图电路有4个结点,选择④为参考结点,结点①,②,③的结点电压可分别表示为un1,un2,un3 结点电压(位) 的方向为从独立结点指向参考结点。 + un1 + un2 + un3

27 各元件电压可用结点电压表示,例如: 2)结点电压法 以结点电压为变量,在(n-1)个独立结点处列写KCL方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。 列写KCL方程时,用结点电压表示支路电流(电流源所在支路除外)

28 对左图电路列写KCL方程,并用结点电压表示支路电流,得
3)方程的列写 对左图电路列写KCL方程,并用结点电压表示支路电流,得 结点① 结点② 结点③ 即是以结点电压为变量的结点电压方程。

29 整理得 可写为

30 G11=G1+G2,G22=G1+G2+G3 ,G33=G3+G4+G5。
具有3个独立结点的电路,结点电压方程的一般形式为 观察得 G11=G1+G2,G22=G1+G2+G3 ,G33=G3+G4+G5。 Gkk称为结点k的自电导,它是连接到结点k的所有支路电导之和,恒取“+”号。

31 G12=G21=-G1, G23=G32=-G3 , G13=G31=-G4
具有3个独立结点的电路,结点电压方程的一般形式为 观察得 G12=G21=-G1, G23=G32=-G3 , G13=G31=-G4 Gkj(k≠j) 称为结点k与结点j的互电导, 它是结点k与结点j之间共有支路电导之和,恒取“-”号。 当两结点间无共有支路电导时,则相应的互电导为零。

32 iS11=-IS, iS33=G3US1+G5US2, iS22=-G3US1
具有3个独立结点的电路,结点电压方程的一般形式为 观察得 iS11=-IS, iS33=G3US1+G5US2, iS22=-G3US1 iSkk是注入到结点k的电流源电流之代数和,包括电压源与电阻串联组合等效变换形成的电流源。 流入结点者取“+”号,流出结点者取“-”号

33 对于有n个结点的电路, 其结点电压方程组有(n-1)个方程,一般形式为(式3-15)
其中 Gkk —自电导,等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 Gkj = Gjk—互电导,等于接在结点k与结点j之间的所支路的电导之和,总为负。 iSnk — 流入结点k的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。

34 结点电压法求解电路的一般步骤: (1)选定合适的参考结点; (2)按一般公式(3-15)列出结点电压方程,注意自导总为正,互导总为负,并注意各结点注入电流源电流前面的“+”,“-”号; (3)由结点电压方程解出各结点电压,根据需要求出其它待求量。 注意:(1)与电流源串接的电阻不参与列方程。 (2)纯电压源支路的2种处理方法: 设电压源电流为变量,增补结点电压与电压源间的关系方程。 当选电压源支路一端为参考结点时,则另一端的结点电压可根据电压源的电压直接写出 。

35 【例3.6】已知电路如图所示,用结点电压法求6电阻上的电流
解:选定结点4为参考结点 方法一:设纯电压源支路的电流为I。根据结点电压法直接列写方程得 结点1 解方程得 结点2 待求的电流为 结点3 增补方程:

36 【例3.6】已知电路如图3-9所示,用结点电压法求6电阻上的电流
方法二:选取纯电压源支路一端为参考结点,即可得 结点1 结点2 结点3

37 注意:(3)当电路中含有受控源时,可先把受控源当作独立电源来处理并列方程,然后再把受控源的控制量用结点电压表示 。
【例3.7】求已知电路的各结点电压 解:选定结点5为参考结点,并设 受控电压源的电流为I 增补方程: 联立上面方程最终可以得出待求量


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