积分学 广义参变量积分.

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1 积分学 广义参变量积分

2 讨论的缘由 在参变量积分的讨论中，有些是不能用控制收敛定理处理的. 这就需要发展另外的积分号下取极限理论

3 广义积分极限定理 广义积分定义 广义带参数积分 一致收敛 极限定理 广义带参数积分的微积分性质 一致收敛准则

4 广义积分定义 以E=(0, )为例 广义积分（两种意义下）
Lebesgue意义下：在(0, )没有积分的情形 Riemann意义下： 在(0, )上的Riemann积分在常义下没有意义 特例：对于任何0<<A<+, 在(, A)上可积，称在(0, )上可积如果如下极限存在且有限,并且定义

5 广义积分定义(续) 另一种分类： 例子：第一类：E=[1, )；第二类：E=(0,1] 为了记号上的简洁, 以一维问题为例.
第一类：积分区域无界，被积函数在其任何有界可测子集上可积 第二类：积分区域有界 例子：第一类：E=[1, )；第二类：E=(0,1] 为了记号上的简洁, 以一维问题为例.

6 广义带参数积分 设: E  R, 对于x, (x,y)关于y在E上(广义)可积, 称F:   R为带参数积分：

7 一致收敛 一致收敛定义 一致收敛的充要条件(等价叙述)

8 一致收敛定义 如果 就说积分 在上一致收敛

9 一致收敛的充要条件 (A)古典说法：,  A>0, 当aA时 (B) ,  A>0, 当aA时 (C)

10 极限定理 设R^d非空, a是的一个极限点. 如果 在上一致收敛, 且存在(0,)上的函数h, 满足 (*) 那么， 收敛, 且
那么， 收敛, 且 (**)

11 极限定理证明 (1) 由条件(*), h在(0,)上可测，并且b>0, h在(0,b)上可积;
(2) h在(0,)上可积. 只要证明a>0, 当ba时, c>0, 由 在上一致收敛, 就能够找到满 足上述条件的a; (3) (**)成立.

12 极限定理的情形 设 关于x在(0,)上一致收敛, 且存在(0,)上的函数h, 满足 (*) 那么， 收敛, 且 (**)

13 广义带参数积分的微积分性质 广义带参数积分的连续性 广义带参数积分的积分换序 广义带参数积分的可微性 仍以为区间的情形来叙述相关的结果

14 广义带参数积分的连续性 设C([0,)). 如果 在上一致收敛则参变量积分 在上连续. 证明 这是极限定理的直接推论

15 广义带参数积分的积分换序 设=[a,b], C([0,)). 如果 在上一致收敛. 则 证明: 记 , 由
证明: 记 , 由 在上一致收敛,  A>0, 使得当cA时

16 积分换序证明(续) 因此 由普通参变量积分的结果 所以 令c, 就得到所要的结果

17 广义带参数积分的可微性 积分号下求导: 设, xC([0,)), 在上处处收敛, 在上一致收 敛, 则 因此

18 积分号下求导的证明 任取a, x, 由积分换序定理 注意 在上是t的连续函数， 由微积分基本定理，结果得证

19 广义参变量积分例1 计算 解：定义 由控制收敛定理可知(y)C([0,))C1(0,) 并且

20 广义参变量积分例1(续) 通过变量替换得到 所以 , 注意 因此， 也就是，

21 广义参变量积分例2 计算 当x>0时， 由广义积分换序定理

22 一致收敛准则 Weierstrass判别法(优函数判别法,控制收敛判别法) Dirichlet判别法 Abel判别法 Dini判别法

23 Weierstrass判别法 如果存在hL(0,)满足 则 在上一致收敛. 证明：这由hL(0,)和一致收敛的定义直接
则 在上一致收敛. 证明：这由hL(0,)和一致收敛的定义直接 就可以得到.

24 广义参变量积分例3 证明积分 >0, 在[,)上一致收敛，但在(0,)上不一致收敛.
证明积分 >0, 在[,)上一致收敛，但在(0,)上不一致收敛. 证明：任取>0, 则对于t[,), 由控制收敛定理， 在[,)上一致收 敛. 注意: 由极限定理，如果 在(0,)上一致收 敛，则h(x)=1,在(0,)上可积(这是不对的).

25 Dirichlet判别法 设, g R,满足 则 在上一致收敛
(1)对于x , (x,y) 是上的递减函数; (2) (3) 则 在上一致收敛

26 Dirichlet判别法证明 使用一致收敛的充要条件(A)来证明. 任取, 由条件(2), A>0, 当y>A时，
则当a>A, b>0时，x, 由第二积分中值定 理 因此

27 广义参变量积分例4 计算 解：定义 1.先证明(y)在[0,)上一致收敛.使用Dirichlet
判别法,取u(x,y)=exp(-xy)/x, v(x,y)=sin x. 因 此, (y)在[0,)上连续. 这就要证的一致收敛性

28 广义参变量积分例4(续) 2. 当y>0时, (y)在(0,)上可导,并且 因此 所以 注意 (y)0 (y), 得到
由此得到

29 广义参变量积分例5 设a>0. 证明：积分 在(0,a)上不 一致收敛，而在(a,)上一致收敛.
证明：在(a,)上,利用Dirichlet判别法,取(x,y)=1/y,g(x,y)=sin(xy), 在(0,a)上,对于任何A>0,取x(0,a): b=/(6x) >A, c=/(2x), 则

30 Abel判别法 设, g R,满足 则 在上一致收敛 (1)对于x , (x,y) 是上的单调函数;
(2) (3) 在上一致收敛 则 在上一致收敛

31 Abel判别法的证明 仍使用一致收敛的充要条件(A)来证明.
任取, 由条件(2), A>0, 当a>A, b>0时， 则当a>A, b>0时，x, 由第二积分中值定 理 因此

32 广义参变量积分例6 证明积分 在R上一致收敛. 证明：利用Abel判别法, 取(x,y)=arctan(x2+y2), g(x,y)=sin(y)/y

33 Dini判别法 设为有界闭集, C()非负. 如果 则 在上一致收敛. 证明: 对于c>0, 定义
则 在上一致收敛. 证明: 对于c>0, 定义 则>0,对于x, c=c(x), Fc(x)< /2.

34 Dini判别法证明(续) 由Fc=Fc(x)连续,存在=(x)>0,zB(x,),
|Fc(z)-Fc(x)|</2, 所以,zB(x,), Fc(z)=Fc(z)-Fc(x)+Fc(x)<  {B(x,): x}是的一个开覆盖, 注意是有 界闭集, 有限覆盖原理给出的一个有限子覆 盖{B(xk,k):k=1…m},取A=max{c(xk):k=1…m}, 则当a>A时, x, 必有某个B(xk,k)x, 这就 有Fa(x)Fc(xk)(x) < 