4.3 等比變額年金 意義 : 若簡單年金之普通年金，每期年金額之支付為等比數列，且期數有限者，稱為等比變額年金。

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1 4.3 等比變額年金 意義 : 若簡單年金之普通年金，每期年金額之支付為等比數列，且期數有限者，稱為等比變額年金。

2 計算公式 : 若以S表其年金終值，P表其年金現值，f為第一次支付金額，r表公比，n表支付期數，i為每期利率，則依r是否等於1+i可列出終值及現值之計算公式如下：
(一) r≠ 1+ i 時 S = f‧ (4-5) P = f‧ (4-6) (二) r = 1+i時 S = P = 註：公式比 r = 1+每期增加率

3 ﹝證﹞ 圖示如下： f f‧r …… n n 由上圖知年金終值應為各別年金額複利終值之和

4 S= = P= S

5 當 r=1+i時則將1+i代入 S = =

6 例 6 每半年末支付年金一次，第一次之取 30,000元，以後每次較上次增加4%，為期五年，若利率 ，試求其年金終值與現值? 解：依題意 f = 30,000，r = 1.04，n= ， 因 代入公式(4-5)得 = 元 代入公式(4-6) 得 = 273,775.24元 (驗證： )

7 例 7 承上例，若利率 = 0.08 ，餘條件不變，則年金終值與現值各若干？
承上例，若利率 = 0.08 ，餘條件不變，則年金終值與現值各若干？ 解： ， r=1 + I = 1.04 ，f=30,000 , n=10 代入公式(4-7) 得年金終值 代入公式(4-8) 得年金現值 = 10 = 288, 元 註：若年金額為期初支付，則年金終值與現值須乘以(1+ i)。 若有延期者則再乘以

8 永續等比變額年金意義及計算 : 若等比變額年金之支付為永續無窮(r< 1+ i)，稱為永續等比變額年金，現值P之計算公式如下
，(1+-i>r)

9 ﹝證﹞ 由公式(4-6) 當r >1+I ， ， 不存在，現值不存在。
又 r=1+ i，公式(4-8)， ， ，現值不存在但由公式(4-6)，r<1+ i時， ，代入得

10 例8 第一年末支領5,000元，以後每年末均較上期增加10%，設實利i=0.12，求此永續年金之現值?
解: 依題意 代入公式(4-9) 得永續年金現值

11 例9 年每年未支付年金40000元，以後逐年增加3%，且永續支付，求年金現值，若利率為(1)4%(2) 3%(3) 2% 解: 依題意
若欲求每期增加率則依公式(4-9)移項得公式如下: (4-10)

12 例10 永續等比變額年金，第一期之年金額為5000元，利率i=0.08，年金現值為125000元，求每期之增加率? 解: 依題意
代入公式(4-10) 得 若欲求利率，則依公式(4-9)移項得利率公式如下: (4-11)

13 例11 某人捐款1000000元存入銀行，每年未提款，舉辦福利事業，第一年支領50000元，以後逐期增加5%，永續無窮，求銀行存款實利率?
解: 依題意為等比變額永續年金