关于数学教育 华东师范大学数学系 张奠宙 2005. 10. 30 永安 4 4.

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1 关于数学教育 华东师范大学数学系 张奠宙 永安 4 4

2 向大家学习致敬! 发言分为四部分 课标和数学本质的呈现 数学文化与数学的德育功能 双基数学教学研究 值得研究的课题:创新点设计 4 4

3 第一部分 关于《标准》的认识 以及 数学本质的揭示 4 4

4 一则寓言 非洲土著居民， 居住在茅草 屋内。 每天烧柴照明，一直相安无事。
一天， 某文明人士， 说我给你们带来光明， 用电灯。 这当然是好事。 一年以后， 茅草房轰然倒塌。 原因：烧柴有烟， 驱赶昆虫。 用了电灯， 昆虫繁殖。房梁、茅草蛀坏。 我们在引进“先进”东西的时候， 必须看它是否和原来的环境相匹配。 应该采取预防措施。 4 4

5 改革是硬道理 素质教育， 创新教育， 与时俱进。 《课程标准》伴随时代进步而出现。 自主、探究、合作，是我国教育的软肋， 因该提倡。
概率、算法、建模、文化， 是我们数学课程的弱点。 改革的方向完全正确。 4 4

6 问题： 间接经验？ 直接经验？ 教师主导作用？ 合作者， 组织者引导者？ 没有研究自己传统， 发扬自己的长处。 • 忽视双基教学；
• 忽视双基教学； • 考试文化影响； • 转变观念，批判传统， 彻底改革。 • “赢在起点，输在终点”， 也输在起点。 对于引进的教育观念，缺乏科学的分析 建构主义？ 贱购主义？ 间接经验？ 直接经验？ 教师主导作用？ 合作者， 组织者引导者？ 4 4

7 数学教育：进步，还是共存？ 教师示范，讲深讲透，感染学生 1990年代：边讲边问， 师生互动 情景思考，精心提问，启发学生
1980年代： 双基教学， 教师中心 教师示范，讲深讲透，感染学生 1990年代：边讲边问， 师生互动 情景思考，精心提问，启发学生 21世纪 ： 合作探究， 学生主体 教师组织，分组活动，自主探究， 4 4

8 “去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。
数学教育中的“去数学化”倾向 香港科技大学教授项武义认为， 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。 “去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。 4 4

9 教什么永远比怎么教更重要 吃什么永远比怎么吃更重要 数学教学研究： 上通数学， 下达课堂 教学的基本要求： 吃透教学内容，讲清楚 4 4

10 揭示数学本质， 才能提高效率 教育不等于认识论。
数学教学是要在很短的时间里， 让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值 一万年以后怎么办？ 老是探究， 自己发现，还有效率可谈吗？ 没有效率的教学理论是走不远的！ 4 4

11 第一部分 关于数学本质的把握与呈现 4 4

12 使我一整天不快乐的谈话 虚假的活跃；表演的创新。
某教研组长说：“我反对预习。我要上公开课。希望学生自己“发现”仰角、俯角的名称。 一旦预习，发现没有了，自主没有了， 创新也没有了。 …… 廉价的发现；无谓的探索； 虚假的活跃；表演的创新。 我感谢主人的介绍和招待， 但是那一天我一直不快乐。 4 4

13 数学教学成功的标志 主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性）， 包括： 数学本质的理解； 数学知识的掌握；
数学能力的形成。 教育方式是手段（现在的标准： 学生活跃？合作？用计算机？ 探究？……游离于数学本身） 奇谈怪论： 结果不是最重要的， 重要的在于参与； 知识不是最重要的， 重要的在于过程。 4 4

14 认知过程 因材施教 基本功 总评 项目 因素 教学环境 学习兴趣 自信心 学习方式 思维的发展 解决问题与应用意识 尊重个性差异
优秀 良好 待提高 情意过程 教学环境 学习兴趣 自信心 认知过程 学习方式 思维的发展 解决问题与应用意识 因材施教 尊重个性差异 面向全体学生 教学方法与手段 基本功 扎实、有效 总评 4 4

15 数学本质的把握需要数学修养 数学知识的储备：一个比喻 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 没有水可以打井取水 教师的作用：鱼， 渔
一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 没有水可以打井取水 教师的作用：鱼， 渔 数学本质的把握需要数学修养 4 4

16 “数学本质”的内涵： 1。 数学知识的内在联系； 2。 数学规律的形成过程； 3。 数学思想方法的提炼； 4。 数学理性精神的体验。
形成数学的教育形态： “返朴归真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情” 4 4

17 数学本质被两种活动所掩盖： 1。过度的形式化。 “淡化形式，注重实质”。 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。 4 4

18 例1。 乘法交换律： ab =ba 某杂志刊登的特优教案这样设计： 学生交换位置 （没有说人数不变）；
兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青草。 （没有谈不变性） 用柄很长的勺子喝水， 自己喝不到， 互相帮助， 交换勺子喝水。（只有交换， 没有不变的规律）。 交换律的数学本质： 交换后乘积不变。 4 4

19 例2。三角形内角和问题 不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。 李大潜院士：“老是量， 就倒退到尼罗河时代去了”
姜伯驹院士在政协的提案指出 “三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？” 不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。 李大潜院士：“老是量， 就倒退到尼罗河时代去了” 4 4

20 三角形内角和定理的价值 没有实际价值， 超越日常经验。 当初古希腊学者不是“量”出来的。 价值在于理性思维， 从公理出发的演绎推理。
建议：要么作公理， 要么进行推理。 例如：所有矩形的四个角都是直角 直角三角形内角和为180度  任意三角形内角和为180度 4 4

21 例3。正弦定理的教学 （一个忽视数学实质的设计）
例3。正弦定理的教学 （一个忽视数学实质的设计） 请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？ （学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习） 4 4

22 A B 根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？ 学生 a b c ∠A ∠B ∠C c/sinC B/cosA
A/sinA A/conB B/sinB A 4.1 3.3 3.75 700 500 600 4.330 9.649 4.363 6.378 4.308 B 5.3 3.1 3.6 107.50 330 39.50 5.660 5.557 6.320 5.692 3 2.598 6 4 4

23 正弦定理是量出来的吗？ 正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一下立刻推得。
分组测量， 汇报结果， 这是败笔。 数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。 正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一下立刻推得。 正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”， 平面几何“大边对大角”的数量化。 三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。 4 4

24 例4。 Freudenthal经典情景： 巨人的手（通过“量”掌握数学本质）
比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？ 黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。 活动设计： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 （量得有价值， 有意义） 4 4

25 例5.余弦定理与三点距离问题 -- 表示能力的培养
例5.余弦定理与三点距离问题 表示能力的培养 （荷兰）甲离学校10公里， 乙离甲3公里， 问乙离学校几公里？ 训练学生的数学表示能力。 甲、乙、学校在一条直线上？ 没有说。 校 乙 甲 乙‘ 坐标。参数。复数。空间 4 4

26 例6。坐标活动（长宁） 坐标对应学生， 请学生自己看坐标； 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等的站起来； 换一个同学做坐标原点。
将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴； 坐标对应学生， 请学生自己看坐标； 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等的站起来； 换一个同学做坐标原点。 这样活动， 抓住了“坐标”的数学实质。 4 4

27 美国德州(Austin)的一个 斜率概念教学设计
为了联系学生生活实际, 提出情景: “早上起床时, 你先要从床上起来(rise), 然后走到厨房去做早餐(run)” 由此联系到斜率的概念: 纵距离与横距离之比 rise over run. 评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思, 并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例. 难道每个rise和run 都有斜率的问题 (起床和去厨房这个过程的斜率是什么?) 4 4

28 另一个美国数学教育故事 一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”. Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是: “因为那里有平方”.？！ 数学的本质完全被曲解了。 Cindy继续提问, 希望他们能意识到问题所在, 结果惹得众人很不愉快. 事后, 那个学区的教师间接告诉Cindy: “请她以后不要再到我们学区来了. 我们不欢迎她!” 4 4

29 一篇令人遗憾的文章 专家是救世主？ 教师只能更新观念，改善行为？ 群众路线哪里去了？ 实践是检验真理的唯一标准！
《数学教学》2005年第四期 一篇令人遗憾的文章 专家是救世主？ 教师只能更新观念，改善行为？ 群众路线哪里去了？ 实践是检验真理的唯一标准！ 4 4

30 一个中国故事 请讨论 4 4

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33 教育数学是数学的教育形态： 2 揭示数学本质； 3 使学生容易接受。 书面发表的数学是数学的学术形态： 简洁冰冷的形式化美丽。
数学的原始形态： 繁复曲折的数学思考。 书面发表的数学是数学的学术形态： 简洁冰冷的形式化美丽。 教师的责任：把数学的学术形态化为教育形态： 1 高效率地进行火热的思考， 2 揭示数学本质； 3 使学生容易接受。 4 4

34 教育形态之一 方程概念 外在的逻辑形式： 含有未知数的等式叫方程。 内在的数学本质：
教育形态之一 方程概念 外在的逻辑形式： 含有未知数的等式叫方程。 内在的数学本质： 方程是为了寻求未知数， 在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。 （教育形态）“方程”思想的本质在于建立关系 为了认识“未知数”先生， 必须请已知数“先生为媒介， 找到一种关系， 根据关系就能认识“未知数”先生了。 4 4

35 方程思想（三根电线的长度） 这是中国的创造。 x y z 珍视，流传，进教科书
上海51中学陈振宣提供: 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。 如何测知他们的电阻？ 袁枚（清）： “学如箭镞， 才如弓弩； 识以领之， 方能中鹄”。 这是中国的创造。 x y z 珍视，流传，进教科书 X+y =a Y+z =b Z+x =c 4 4

36 在“看不见数学的地方发现数学 1948： 美国仙农发表《信息的数学理论》 1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？
1948： von Neuman 计算机方案形成 中国缺乏这样的数学偶像 4 4

37 仙农(Shannon)研究信息论 一.信息量 烽火台. 传送一个信息量 log2 2 =1. 两个烽火台. 1. 敌人来? 2.要否补给? 四种情况. log2 4 =2. 信息是 0,1 符号串. 二 . 概率和信息量: “狗咬人” “人咬狗”. “今天太阳升起”, “今天日食”. 事件的概率P(E)大, 传送此事件的信息量H(E)小. H(E) = 1/ P(E)? H(E) = - P(E) log2 P(E). 4 4

38 教育形态之二。正负数加减 赢多输少， 进少出多…… 3 – 5 = ？， - 6 +3 = ？ 只要智力正常的人都会做， 何必兴师动众？
学术形态： 绝对值？ 教育形态： 抵消 我们怎样把教科书上的叙述， 转化为容易接受的教育形态 4 4

39 教育形态之三：负负得正？？ 探究式教学。例：一列每小时80公里的火车向西开， 12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负， 12点之后之前为时间的正负。 问10点时火车在什么位置？ 答案：（-2） x （-80）= 160 于是概括得出数的运算的规律负负得正。 数学不允许这样的概括。 教育形态：有意义的接受。 乘（-1）相反， 再乘（-1）回归。（先做后说） 。先有规则， 后有解释。先执行， 然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。 先举例是探究， 后举例说明是有意义接受。 4 4

40 教育形态之四。 函数的两个定义，初中， 高中
人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子； 艺术上的写意与工笔 … 初中的函数从大局发展着眼， 宏观地观察数量之间彼此依存的关系， 看总体发展趋势。 宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。 高中函数定义讲究微观地、静态地观察， 用两个数集之间的对应来描述。 微观函数概念的本质在于精确化的对应。 两种定义互有短长，并非高级与低级之分 。 4 4

41 函数定义中 “唯一”重要吗？ 唯一不是本质。 不唯一成多值函数而已。 多值函数单值化即可。 描写圆的函数， 上半圆和下半圆。 反三角函数 4

42 教育形态之五： 数学归纳法的比喻 数学归纳法的本质是从有限过渡到无限。以上的比喻都必须注意这个特征。 相比之下， 多米诺骨牌好些。
教育形态之五： 数学归纳法的比喻 1。 通常借喻 多米诺骨牌效应 2。 火车头带火车。 第一节重要（火车头） ， 然后， 各节车厢一节节地连接好。 3。 排队。 第一个是 X学校学生， 然后保证后面一个和我同校，X学校学生的队伍排好。 数学归纳法的本质是从有限过渡到无限。以上的比喻都必须注意这个特征。 相比之下， 多米诺骨牌好些。 4 4

43 教育形态之六。 函数的单调性 单调性的本质是描述函数的变化趋势。但不是“基本向上， 震荡向上。 数学的单调，是“绝对向上”， “天天向上”，
一个都不能少。（教育形态） 有限个数， 可以排成“绝对向上”。 如何处理无限变化的趋势？学术形态：对“任意”两个自变量 x1 < x2 ,都有 f(x1)< f(x2) 将直观的自然语言表述为严格的数学语言， 才能获得数学本质的认识 4 4

44 一组 初中数学的 本质探究 4 4

45 1 “圆的认识”这样说， 对吗？ 1．用甩动系在细绳上的小球形成圆， 是传统的灌输方法。 让小朋友排成圆形公平玩套花游戏， 是好的结合学生实践的方法。 2．用圆形纸片折纸找圆心的活动，是传统的。 甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心， 则是探究的好方法。 3．用圆规划圆在认识圆之后， 是传统的灌输的。 在认识圆之前使用圆规划圆， 是“过程性“的好方法。 我的看法是， 凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的， 有的是静态的。有的适合找圆心，有的适合找半径， 有的便于表达，有的着重理解。它们没有好坏之分。 4 4

46 2。 勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计 用各种方法发现：方格纸上3，4，5 的计算等。 6张工作单：发现猜想 a2 + b2 = c2
换一种思维：将勾股定理直接告诉学生， 用各种美丽的画面， 讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。 把重点放在如何证明上。 多种证明。 最后联系到费马大定理 an + bn = cn (n>3)。 哪一种更能体现数学本质？ 4 4

47 3。 “代数式”一课的教学 文字代表数的本质： 符号运算
实际问题引入， 喧宾夺主，流行病 由数字、表示数字的字母及运算符号组成的式子称为代数式。 这个定义重要吗？ “由文字题列代数式，及说出代数式所代表示的意义”正反两方面的例子。 两种语言互译： 这是初中代数的关键、核心。 双基要求：示范， 纠错， 练习。 新式教学：自主， 探究， 合作。 哪种有效？ 4 4

48 只代表， 不运算， 没有价值 项武义教授： “ 文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算。
项武义教授： “ 文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算。 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上没有讲为什么可以这样做）。 解二次方程： 因子分解、配方、同解变换  根 数学家之所以有饭吃， 在于能够运用符号获得结果 （复旦 张荫南） 4 4

49 数学符号是一种语言 数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。
语文靠想象， 将符号（方块字）用语法表示出来。 说话写下来就是文章。 数学靠理性， 将数学符号通过运算、演绎得到结论。 这是人为构造的语言。 语文、数学、诗词、定理， 都是符号运作 语文是“饭”， 不吃要死，容易煮熟。便宜 数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。 诗词是“酒”， 酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。 4 4

50 4。概念教学: 淡化形式, 注重实质. 下列是问题是否妥当?
4。概念教学: 淡化形式, 注重实质. 下列是问题是否妥当? 判断下列各例是否正确？ 1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形 2。 含有未知数的（等）式子叫方程 3. （平面上）不相交的两条直线叫平行 线 平行四边形也是梯形， 有何不可？ x - x =0; 0x=0; 是方程吗？ 也许还要加上“在欧氏空间中”？ 4 4

51 高中数学的一组 本质探究 4 4

52 1 复数的定义 但是，向量也是一对实数！ 一对有序的实数（x,y)， 称做复数。前者成为实部， 后者成为虚部。（错）
复数的本质在于它的乘法： (a,b) · (c,d) = (ac –bd, ad+bc) 4 4

53 2。糖水浓度 这不是证明， 却把握了数学过程的本质 a -- 溶液（糖水）； b – 溶质（糖） b/a -- 浓度（甜度）
现在向糖水中再放糖 m>0， 糖水变甜； b/a < (b+m) / (a+m) 如果 b/a < d/c 是两杯不一样甜的糖水倒再一起， 甜度会怎样？ b/a < (b+d)/(a+c) < d/c 这不是证明， 却把握了数学过程的本质 4 4

54 3。 放烟火 （Interactive Mathematics Project) 主题教学
一元二次函数的单元模型。 高楼上放烟火， 形成的曲线。 顶点 落地点 与物理的关系： 抛物线。 大模型， 不是一节课的引入问题 4 4

55 4。三角函数。 单摆，电磁波 y = ASin(ωt +φ) 周期性。这是基本概念。 举例（波动， 简谐运动， 课程表， 潮汐……
和谐性。 这是三角函数的特征。 音乐， 单摆，电磁波。 相位性。理解三角函数变换的难点。 原始性。 不定元 X 可以构造多项式， 分式、无理式； sinx 可以构造各种三角函数，用来逼近其他函数。 三角恒等变换只是工具而已 4 4

56 5。四维空间的4-方体 （苏联中学数学教材的一道空间想象题）
四维空间单位方体的顶点数.棱数, 面数, 三维面数, 四维体数? 解：顶点数：23 =16。 棱数：（16 · 4）/2 = 32 二维面：（16· C42）/4 = 24 三维面： （16 C43 ）/8 = 8 四维面： 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 +… + 1 爱因斯坦的四维时空可以进入中学数学 4 4

57 6。微积分的问题驱动 （1） 全局的问题。抛物线 y = x2 , 可以用许多方法研究， 试观察它的切线。 （2）关键的问题。割线的极限位置
（3）增量的重要性 微积分是增量分析 （4）增量比的极限 克服极限 4 4

58 增量分析： 微积分的本质。 y = f(x) , y 随 x的变化而变化 。 销量随价格的变化而变化。太普通 增量的提法：
价格变一元， 销量变多少？很重要。 所以我们要研究 y的增量和x的增量之比的极限。 4 4

59 瞬时速度是原始概念， 快车赶上慢车的一刹那。 小学里没有面积的概念， 就可以求面积。 道理是一样的。
瞬时速度是出发点？ 还是微积分的应用？ 瞬时速度是原始概念， 快车赶上慢车的一刹那。 小学里没有面积的概念， 就可以求面积。 道理是一样的。 4 4

60 7。概率的统计本质 传统：掷骰子 等可能性 排列组合  理论概率  计算概率（考试）
传统：掷骰子 等可能性 排列组合  理论概率  计算概率（考试） 现代：掷骰子 实验  频率 经验概率 理论概率 排列组合 理论概率计算 统计方法 。 4 4

61 理论概率和经验概率 等可能性出发定义概率 （北师大版） 传统。形式化处理。但是片面。 不能解释降水概率、次品率、事故率等等
用实验方法以频率取代概率（华东师大版）可能比较难以捉摸。但是符合实际。 两种不同的思想体系。怎样呈现概率的“教育形态”， 是一个理论问题， 也是实践问题。 4 4

62 8。贝特朗问题：在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？
1概率空间（C，б，P1），C为整个圆周，是部分圆周（圆弧）组成的域，随机事件A的概率定义为中的元素A的长度与圆周长之比。（1/3） 2 概率空间为（D，б， P2），D ：圆的 直径，是直径上的线段组成的域，随 机事件A的概率定义为中的元素A的 长度与直径长度之比。（1/2） 3。概率空间为（R，б，P3其中是圆的内部，是圆内部组成的域，随机事件A的概率定义为A图形的面积与圆面积之比。（1/4） 1933年柯莫哥洛夫提出概率公理化定义，不存在一题多解。 4 4

63 9。信息时代的数学新课题：算法 算法并不陌生。 先乘除， 后加减； 分数通分；高斯消去法；求最大公约数的辗转相除法； 珠算口诀……
算法是人和计算机相通的语言。 算法成为公民科学素质的一部分。 印度的经验。 赋值语句，条件语句，循环语句。 4 4

64 用迭代方法解决问题 （录自美国数学课程标准， 2000）
一位女生在打排球时膝盖受伤。 她的医生要她在10天内每8小时服用两粒220毫克的药片， 以减轻伤痛。 如果她的身体每8小时吸收60%的药物， 那么10天后， 她身体中还有多少毫克的药物？ PURPOSE: Provide an example of modeling SPEAKING POINTS: Perhaps have the audience suggest how they might approach this problem. REFERENCES: Principles and Standards, Chapter 7, pp 64

65 迭代进入中学数学 下时段= 0.4(现在) + 440, start at 440
a1 = 440 and an + 1 = 0.4an for 1 ≤ n ≤ 31 PURPOSE: To illustrate how students might solve the modeling problems. SPEAKING POINTS: This is a particularly interesting kind of model, one that can be expressed iteratively or recursively. (First click): Situations like this can be easily modeled using a Now-Next equation. (Illustrate how it works.) (Second click): This can be provided more formally using subscripts. (Third click): Using a spreadsheet is particularly effective for recursive models. We can see that 733 1/3 appears to be an equilibrium value. How could we verify? --> 0.4(733 1/3) = 733 1/3 This could lead to an exploration of finite sequences and series. REFERENCES: Principles and Standards, Chapter 7, pp 65

66 10。 模式直观 例1.组合公式Cnm = Cn-1m Cn-1m-1 （m，n  2）的证明。 证法1：直接验证
证法2：在n个元素中固定一个元a，那么从n个元中取m个元可分为两种情形。一定不取a，共有种取法；一定取a，共有种取法，加起来共个取法。 两种证明方法都是对的。证法1是形式化演绎。证法2具有可操作的形象，揭示思想实验过程 4 4

67 模式直观的定义 这是借助有理数的“模式”，直观地 迁移到无理数情形
模式直观，是指通过相对比较具体的、先前已经熟悉的、具有普遍协调感的、容易接近的模式作为背景，使得人们能够进一步把握和理解更加抽象、更为深刻的思维对象。 “有理数的四则运算规则，可以推广到无理数情形，即对无理数仍旧适用。” 这是借助有理数的“模式”，直观地 迁移到无理数情形 4 4

68 第二部分 数学文化的孕育与体现 4 4

69 什么是文化？ 一个群体， 从事某项活动时，共同持有的信念，大家遵守的行动规则，以及公共默认的约定等的总和。 例如汉文化：
使用方块字，语言雷同； 儒家经典作为共同信念； 社会、家族、家庭的制度； 长期积累的文学艺术、科学技术等意识形态 宗教、节日、民俗…… 4 4

70 数学文化 核心课题： 现代中国文化和数学文化之间的相互依存、相互促进， 彼此融合， 彼此提升。
不同的数学家群体所信奉的理念、行动规范、共同约定等。 古希腊数学文化与中国数学文化的差异。 今日学校中要营造的数学文化： 现代公民所应该具备的数学信念，应掌握的数学行动规范，彼此相互交流的数学信息等 核心课题： 现代中国文化和数学文化之间的相互依存、相互促进， 彼此融合， 彼此提升。 4 4

71 数学文化研究的课题 数学在人类文明中的作用，数学依然是今日文明的火车头。（数学视野）
数学是人文类文化在数量关系和空间形式上的延伸。（数学思想的文化根源） 数学家的数学文化， 怎样成为大众文化的一部分。（数学理念成为公民素质） 数学教学中体现文化品位（教育数学） 4 4

72 一。数学是人类文明的火车头 古希腊文明的数学， 《几何原本》的理性精神 近代文明的标志：牛顿发明微积分
现代科学的顶峰：爱因斯坦广义相对论与几何； 信息时代的基础： 冯·诺依曼创立数字电子计算机方案， 数学家为信息论、控制论奠基。 4 4

73 杨振宁：第22届国际科学史大会(北京)上的讲演 （2005。7。24）
当你想起爱因斯坦于1903或1902年至1917年的工作时，那是极其多彩的，在他不得不学习数学，特别是各种形式的微分几何的时期以后，他就改变了。  爱因斯坦的确改变了。 创造源泉属于数学。 4 4

74 二。数学是人文类文化在数量关系和空间形式上的延伸。数学的文化根源
数学思想是平实的，植根于一般文化。 数学与哲学并列。 数学在数量上是 • “关系学”，相等、全等、相似、方程… • “变化学”。函数、微积分、线性…… • 不变量学。 交换率、几何不变量、代数不变量， 拓扑不变量… • “对称”与对仗…， 分数的表示… • 数学与语言：直线上升、指数爆炸… 4 4

75 科学技术要有创造， 必须懂得文学、艺术、音乐。
钱学森 2005。7月31日 温总理探望他时说： 科学技术要有创造， 必须懂得文学、艺术、音乐。 温总理回答说： 我们的教育还有一些问题 4 4

76 数学文化：支撑数学的基础 音乐 不等于 音符节拍 美术 不等于 线条颜色 数学 不等于 逻辑程式 光彩照人的女王 X光照片下的骨架！ 4 4

77 流行的“本章小结” 逻辑框图解决一切 导语：本章学习 了分数的基本概念 …… 无意义地重复、复述 4 4

78 ： 小结的内容应该包括 1．本章内容的价值和意义。 开头讲不清， 学过了可以认识了。 2．本章内容和前后各章内容的联系；
3．一些要点和难点的回顾，掌握其中的思想方法。 4．需要进一步思考的问题， 为以后学习打下基础。 5． 最后才是“逻辑框图”。（那是数学美女的X光片， 不是全部。） 4 4

79 分数一章的小结 分数是整数的扩充，在数轴上密密麻麻地分布于整数之间。 分数的特点是涉及一个整体，它表示的意义是“整体的几分之几”。因此， 分数的实际大小和整体有关， 1/4个足球比1/2个乒乓球大。但是，在同一的整体下， 分数可以抽象地比较大小。 与小学里“分数”内容相比较，这一章系统地叙述了正分数的表示和运算规则。主要是异分母的加减乘除运算。其中异分母加减要通分，是掌握的难点。 4 4

80 续 前一章整除为本章做了准备：约分用到公因数，通分用到最小公倍数。至于整数的一些运算规律：结合率、交换率、分配率， 以及先乘除后加减，由内向外脱括弧等， 在分数范围依然成立。这是前人通过不懈努力、追求数学统一性的结果。 和整数的四则运算一样， 分数的四则运算也是数学的一种“基本知识”和“基本技能”，需要熟练掌握。其中分数加减时使用通分， 做除法时运用颠倒相乘的规则， 都必须成为我们的数学直觉和习惯。 4 4

81 续 分数都可以表示为小数， 反之亦然。 但是， 我们会碰到循环小数的困难。 循环小数概念是今后我们继续扩大数的范围（无理数）的必要基础。 但是， 我们主要是了解它，不必过于深究。一些特殊的技巧放入拓展部分。 以后我们还要进一步学习负分数， 构成有理数系。 p/q 有三种意思。1。 P除以q; 2。（p/q)整体看作分数； 3。 p是q的多少倍， 下一章“比”就讨论这样的问题 4 4

82 丘成桐 4 4

83 数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。
数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。     我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。     从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。 4 4

84 江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。
    好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。 4 4

85 。 气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养
。 气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养     王国维在《人间词话》中说：“词以境界为最上。有境界则自成高格。”他并因此而区分了“造境”与“写境”，“有我之境”与“无我之境”等。 解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。 4 4

86 数学文化的建设 数学文化 ≠ 数学史 数学文化要从数学思想和一般文化的互动中进行考察。 4 4

87 数学教学要把数学的文化价值展现， 帮助学生体会。
揭示数学背后隐藏的文化价值 数学通过了考试， 是否获得了理性思维的训练。 猪八戒吃人参果？ 数学教学要把数学的文化价值展现， 帮助学生体会。 4 4

88 例1.“对顶角相等”是否要证明？ 数学与民主古希腊城邦实行奴隶主的民主政治。 民主要求说服、说服需要证明、公理化方法得到应用。
几何原本。 命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量， 其差相等。 C B A 4 4

89 中国古代数学是官方管理数学 春秋战国， 百家争鸣。 实行谋士向君王建议治国之道。与古希腊统治阶级实行民主政治不同。
中国数学为帝王的统治服务。 九章算术：丈量田亩、计算税收、分摊徭役、计算土方、运输计费… 没有“对顶角相等”。 勾股定理 古希腊与中国都有 古希腊重证明； 中国重算法。 理性思维 -- 数学的德育教育功能。 4 4

90 例2 对称和对仗 对称是几何变换。 变换之后有不变的量。轴对称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。
例2 对称和对仗 对称是几何变换。 变换之后有不变的量。轴对称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。 中国的对仗：“明月松间照，清泉石上流”（王维诗句）。 “明月” 对“清泉”， 变中有不变。形容词对形容词， 名词对名词， 自然景物仍然是自然景物。 文化上看， 二者异曲同工。只是数学更加准确、比较抽象而已。 4 4

91 例3。 时间和空间 初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人， 后不见来者， 念天地之悠悠， 独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。 时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。 天地各为两个平面， 悠悠地、无限地伸展着。 我们的几何就是在这样的空间里展开的。 实际上， 地球上的几何就超出了这个范围： 非欧几何。揭示数学的文化内涵 4 4

92 其他数学意境 （徐利治：极限意境） 众里寻他千百度，蓦然回首， 那人却在灯火阑珊处。 （王国维《人间词话》） （解题意境）
孤帆远影碧空尽， 惟见长江天际流。 （徐利治：极限意境） 众里寻他千百度，蓦然回首， 那人却在灯火阑珊处。 （王国维《人间词话》） （解题意境） 4 4

93 例4。 丘成桐谈《史记》 2002年8月20日早上中央电视台东方时空的“东方之子”栏目 （方静采访）
“我读《史记》象欣赏歌剧， 一幕幕地展开。” 华彩乐章如：高山仰止， 景行景止。。 历史是宏观的。 学习历史会使人用宏观观点考察事物。 我提出的数学想法往往和别人的不一样， 就是得力于《史记》 4 4

94 例5。 变化中的不变量 与时俱进， 但是主要民族传统不变。 物理学的能量守恒、动量守恒
数学中的不变规律：对称；分数的不同表示， 交换率， 方程的同解； 恒等式 sin2x + cos2x =1; （数学思想方法之一） 几何不变量，代数不变量。 拓扑不变量： 多面体欧拉定理， 七桥问题。 陈类 4 4

95 例6。 微积分中的中国史料 李善兰、伟列亚力译：《代微积拾级》（1859） 日本学者学习微积分的唯一通道（1870年以前）
京师同文馆，除“经学”和“数学”外， 物理、化学、博物等全聘外国人。 数学教习就是李善兰。 4 4

96 中国最早的微积分译作 李善兰（1811 – 1882） 禾彳天 意思是 ∫ dx 4 4

97 清末中国数学的亮点 李善兰恒等式: 戴煦数 tan x =Σ ( Dn / (2n-1)!) x2n-1 .
欧拉数 secx =Σ ( En / 2n!) x2n Dn 1， 2，16，272，7936，353792，…… (可惜不懂微积分，没有用泰勒公式） 4 4

98 例7。 线性组合与通解（项武义） 《孙子算经》中国剩余定理 同余式组：x = b1 (mod m1), x = b2 (mod m2)
可以归结为 b1 b2 b3 为（1，0，0）， （0，1，0）（0，0，1）时的特解， 然后可以用系数乘特解的线性组合得到通解。 4 4

99 例8。 伟大的期望值 中国的麻将为什么不能产生概率论？ 概率是一定会有的。 数学期望才是催生理性思考的问题
有一笔赌金， 甲、乙两人竞赌， 输赢的概率各为1/2， 以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中， 因故突然终止。 此时， 甲赢了4局， 乙赢了3局。 问这笔赌金该如何分配才合理？ 4/7 和 3/7 比较合理 ？ 4 4

100 例10。1970年走出布尔巴基的光环 布尔巴基的结构主义 冲破“函数论”王国
用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。 集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析…… 融为一体。 不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学…… 1950年。吴文俊在《科学通报》介绍布尔巴基。 无人喝彩。 1970年。 年轻数学家走出布尔巴基的影响 1980年。 中国大规模介绍布尔巴基学派。 4 4