龍華科技大學 機械工程系 微積分（一）網路教學 　　　　李瑞貞老師.

Presentation on theme: "龍華科技大學 機械工程系 微積分（一）網路教學 　　　　李瑞貞老師."— Presentation transcript:

1 龍華科技大學 機械工程系 微積分（一）網路教學 　　　　李瑞貞老師

2 課程大綱 第一章 極限與連續性 1.1 極限的定義與基本性質 1.2 單邊極限 1.3 無窮極限 1.4 連續性

3 第二章 導數與不定式 2.1 導數與可微分 2.2 函數導數的基本公式 2.3 高階導數與隱函數的導數 2.4 三角函數與反三角函數的導數 2.5 指數函數與對數函數的導數 2.6 不定式

4 第三章 導數的應用 3.1 切線與法線方程式 3.2 極值的定義 3.3 函數的圖形 3.4 極值的應用題與相關變率 3.5 微分符號的應用

5 第四章 多變數函數的微分學 4.1 極值與連續性 4.2 偏導數與微分 4.3 鏈導法則與隱函數的導數 4.4 二變數函數的極值

6 第一章 極限與連續性 §1.1 極限的定義與基本性質 考慮一邊長為的正方形，如圖1.1.1 所示，則其面積 為邊長 的函數，即

7 我們仔細觀察二者的變化關係如下表所示: 由上表得知，當 趨近於 5 時，則 趨近於 25， 因此我們說當 趨近於 5 時， 的極限值等於 25， 我們用 表示之。

8 因此，對於任何函數 ，當 的值趨近於 ( 但不等於 ) 時，若 的值趨近 ，則我們寫作 為了提到“極限值”這個名詞，我們特別使用“趨近 於”(close) 這個語句去詮釋，事實上，我們亦可用“大 約、大概、逼近於……”等語句來解釋“極限值”這個名詞上 所代表的意義。

9 定義 極限值 ( limit ) ■

10 (1) 極限性的唯一性:若 存在，則其值必 為唯一。 (2) 為實數常數。 (3)若 且 ( 與 為實數常 數)，則 (a) (b)
定理 極限值的基本定理 (1) 極限性的唯一性:若 存在，則其值必 為唯一。 (2) 為實數常數。 (3)若 且 ( 與 為實數常 數)，則 (a) (b) (c) 且

11 (d) 為實數常數。 (e) 當 為偶數正整數時則恆需 。 (f)

12 例1. 試用趨近的觀念求下列各極值 (1) (2) (3) 設 試求 解: (1) ■ (2) ■ (3) 但 ■

13 例2. 試利用通分與約分的技巧求下列各極值 (1) (2) (3)

14 解: (1) ■ (2) 原式

15 (3) 原式 ■

16 例3: 試利用有理化的技巧求下列各極值 (1) (2)

17 解: (1) ■

18 (2) ■

19 定理 極限的不等式 若 與 且 則 □

20 定理 三明治定理 ( 挾擠定理 ) 若 且 存在，則 ， 為實數常數 □

21 § 1.2 單邊極限 定義 單邊極限 (1)左極限: (2)右極限: ■

22 定理 極限的存在定理 □ 例1. 試求下列各極限值 (1) (2) (3) (4)

23 解: (1) 不存在 不存在■

24 (2) 不存在 ■

25 (3) 不存在 ■

26 (4) 不存在 ■

27 例2. 試求下列各極限值 (1) (2) 解: (1) 不存在 ■

28 (2) 無意義 (即不存在) 不存在 ■

29 §1.3 無窮極限 定義 無窮極限 ( infinite limits ) (1) (2) (3)

30 (4) (5) (6) (7) (8)

31 (9) (10) ■

32 定義 在 或 的極 限值 (1) (2) ■

33 例1. 試求下列各極限值 (1) (2) 解：原式 ■

34 (2) 原式 ■

35 § 1.4 連續 由定義得知，若函數 在 連續，則必須滿足 下列三個條件: 定義1.4.1 連續 ( Continuity )
§ 連續 定義 連續 ( Continuity ) 函數 在 連續 ■ 由定義得知，若函數 在 連續，則必須滿足 下列三個條件: (1) 函數值 存在 ( 即 必在函數 的定義域內)， (2) 極限值 存在，亦即極限值 且 成立， (3) ( 即“極限值等於函數值” )。

36 █ 若函數 在 連續， I，則稱函數 定義1.4.2 左連續、右連續 (1) 函數 在 為左連續 : (2) 函數 在 為右連續 :
定義 左連續、右連續 (1) 函數 在 為左連續 : (2) 函數 在 為右連續 : █ 定義1.4.3 若函數 在 連續， I，則稱函數 在區間 I 內連續。 ■

37 定理1.4.1 若函數 在 內連續，而且 與 存在，則函數 在 內連 續。 □

38 下面幾個例子即是函數 在 不連續的情況:

39

40 例1. 試討論下列各函數的連續性 (1) (2) (3) (4)

41 解: (1) 的定義域，即函數值 存在。 即 在 不連續，但在 處均 連續。

42

43 (2) 的定義域即函數值 存在 即 在 為連續，在 處亦連續。

44 (3) 的定義域即函數值 不存在 在 不連續，但在 處均連續。

45 (4) 的定義域即函數值 存在 不 存在 在 不連續，但在 處均連續。

46

47 定理 連續的基本性質 (1) 若 與 在 均為連續函數，則 與 與 以及 為常數 且 在 均為連續函數。 (2) 若 在 連續，且 在 連續， 則 在 連續。 (3)多項式函數、有理函數與三角函數、指數函數、對 數函數、雙曲線函數等超越函數在它們的定義域內 均為連續函數。 □

48 例2. 試求下列各題; (1) 設 為連續函數，試求 值。 (2) 設 為連續函數，試求 值。

49 解: (1) 且 又 為連續函數 即 ■

50 (2) 且 與 又 為連續函數 即 ■

51 第二章 導數與不定式 §2.1 導數與可微分 定義 函數 在 的導數 若函數 在 為連續，而且極限值 存在，則稱 在 處為 可微分的( differentiable )，而且稱此極限 為 在 的導數 ( derivative )， 記為 ，即 ■

52 由定義2.1.1得知，我們若用 與 分別表示函數 在 的右導數與左導 數，則我們有 而且導數 其它型式如下:
由定義2.1.1得知，我們若用 與 分別表示函數 在 的右導數與左導 數，則我們有 而且導數 其它型式如下:

53 定義 函數 的導數 若 在區間 內為連續函數，則 稱為函數 在 的導數 ( derivative ) 或函數 對 的微分 ( differential )。 若 存在，則稱 在 處為可微 分( 的 )。 ■

54 函數 之導數 的其它型式為 事實上，導數的定義都是根據函數的幾何意義與其它 意義而來，我們說明如下:
  函數 之導數 的其它型式為 事實上，導數的定義都是根據函數的幾何意義與其它 意義而來，我們說明如下:

55 1. 幾何上的意義:求切線的斜率 設 在區間 內為連續函數，考慮此函 數 在 平面上的圖形，假設 與 分別為圖形上的兩點，如圖2. 1
1.  幾何上的意義:求切線的斜率 設 在區間 內為連續函數，考慮此函 數 在 平面上的圖形，假設 與 分別為圖形上的兩點，如圖2.1.1所示，則經 過 與 兩點之割線的斜率為

56 圖 割線斜率

57 令動點 沿著曲線移動而趨近於固定點 ，使得 且 ，則我們將得到函數 圖形上經過切點 的切線斜率為
令動點 沿著曲線移動而趨近於固定點 ，使得 且 ，則我們將得到函數 圖形上經過切點 的切線斜率為

58 顯然地，此斜率 即為函數 在 之導數的定義。此處 與 分別為 與 的增量 ( increment )，而且當 與 時，則 有 與 均表示極微小的量，亦有 ( 即， 在 的導數或 對 的微分可視為 除以 )

59 2.  物理與化學工程上的意義:求瞬時變化率 考慮一連續之物理( 或化學 )工程的實驗，假設 某物體( 或物質 )在時間 時的數量為 且 時間 時的數量為 ，則此物體( 或物質 ) 在時間 內數量的變化為 ，而且其平均變化為

60 令 即令 ，則我們將得到此物體( 或 物質 )在時間 的瞬時變化率為 顯然地，此時瞬時變化率即為函數 在 之導數的定義。此處 為連續函數且 與 分別為 與 的增量。

61 例1. 試用導數定義求下列各函數的導數 (1) (2) 解: (1)

62 (2)

63 例3. 試求下列函數在 的導數 (1) (2) 解: (1) █

64 (2) █

65 例3. 設 試求 解: █

66 定理2.1.1 ⁘ 證明:令 ，則

67 其中 與 同理，令 ，則

68 我們得證

69 定理2.1.2 若函數 在 處為可微分，則 在 處連續，反之不然。 □ 證明: 在 處為可微分 存在 又 即得證 #

70 [註]1.函數 在 為不連續， 則 在 “必定”不可微分。 2.函數 在 連續，則 在 “不一定”可微分。 (可微分 連續)
[註]1.函數 在 為不連續， 則 在 “必定”不可微分。 2.函數 在 連續，則 在 “不一定”可微分。 (可微分 連續) (不連續 不可微分)

71

72 § 2.2 函數導數的基本公式 定理 為常數。 □ 定理2.2.2 ， 為常數。 □ 定理2.2.3 □

73 定理2.2.4 □ 定理2.2.5 定理 □ 定理 □

74 例1.  試求下列各函數的導數 (1) (2) 解: (1) ■

75 例2.  試求下列各函數的導數 (1) (2) (3)

76 解: (1) ■

77 (2) ■ (3)

78 定理2.2.8 連鎖律 ( Chain Rule ): 合成函數的導數
(1)  設 在 處可微分且 在 處可微 分，若 ，則 在 處可 微分且 (2)   設 與 在 處均可分，則 (3)  

79 例3.  試求下列函數的導數 (1) (2) (3)

80 解: (1) ■ (2)

81 (3) ■

82 例4. 試討論下列函數的連續性與可 微分性 (1) (2) (3)

83 解: (1) 又 在 為連續 ■

84 (2) 即 且 在 不連續 ■

85 (3) 又 在 連續 ■

86 例4.  試求出所有常數 及 的值使 得函數 在 可微分 解: 在 可微分 在 連續

87 即 ① ② 由 ①② 得知 ■

88 例5.  設 且 ， 試求 解: 令 ，則 ， 即 ■

89 例6. 若 ，試求 解： 其中 ■

90 例7. 若 且 ，試求 解: 而且 ■

91 § 2.3 高階導數與隱函數的導數 定義2.3.1 高階導數 若 為可微分函數，則其高階導數為 (1) 一階導數: 記號:

92 (2) 二階導數: 記號: (3) 三階導數:

93 (4)        階導數: 記號: ■

94 例1. 試求下列函數的 階導數 (1) (2) 且 解: (1) ■

95 (2) ■

96 例2. 若 ，則 解: 且

97 例1.試求函數 的 與 解:

98 ■

99 例4. 若 ，試在 與 時求 與 解:

100

101 § 2.4 三角函數與反三角函數的導數 1.  角的度量單位:度度量(grade)與弳度量(radian)之間的 換算為

102 度度量 弳度量

103 圖2.4.1 度度量與弳度量

104 1.  圓弧長與扇形面積:設有一圓 ，半徑為 ，扇形 的圓心角為 ，則有 (1)  弧長 (2)  扇形面積 其中 為弳度量。

105 3.  三角函數的定義: (1)  三角正弦函數 (2)  三角餘弦函數 (3)  三角正切函數

106 (4) 三角餘切函數 (5) 三角正割函數 (6) 三角餘割函數

107 三角函數 象 限 第一象限 + 第二象限 － 第三象限 第四象限

108 4.  三角函數的定義域與值域: 函 數 定 義 域 值 域

109 5.  三角函數在特別角的值與三角函數 的圖形: (1) 三角函數在特別角的值 1 2 -2

110 1 -2 2

111 (2) 三角函數的圖形:

112

113

114

115

116 6.  三角恆等式 (1)  平方關係: (2)  複角公式:

117 (3)   倍角公式與半角公式

118 (4)   和差化積公式 口語:

119 (5)  積化和差公式:

120 (6) 正弦定律: (7)  餘弦定律: (8) 三角形的面積

121 定理2.4.1 三角函數的導數 (1) (2) (3) (4) (5) (6) □

122 例1. 試求下列各函數的導數 (1) (2) 解: ■

123

124 定義2.4.1 反三角函數 (1)  反三角正弦函數: (2)  反三角餘弦函數: (3)  反三角正切函數:

125 (4) 反三角餘切函數: (5) 反三角正割函數: (3) 反三角餘割函數: 且 ■

126 定理 三角函數與反三角函數的關係: “三角函數與反三角函數互為反函數”。□

127 1.若 則 此處 而且 2.若 則 此處 3.若 則 此處

128 4.若 則 此處 而且 5.若 則 此處 6.若 則 此處

129 三角函數的圖形如下:(僅考慮黑色實線部份，虛線部分表示不存在)

130

131

132 定理 反三角函數的導數 (1) (2) (3) (4) (5) (6) □

133 例2. 試求下列各函數的導數 (1) (2) 解: (1) ■

134 (2) ■

135 § 2.5 指數函數與對數函數的導數 (一) 指數函數的介紹 1. 指數函數的定義:以 為底的指數函為 且 2. 指數函數的圖形:

136 3. 指數函數的基本性質:若 且 與 且 ，則有 (1) (2)指數律 ，其中 與 為任意函數。

137 (二) 對數函數的介紹 1.對數函數的定義:以 為底的對數函數為 且 2.對數函數與指數函數的關係: “對數函數與指數函數互為反函數”

138 即 (1) 若 則 且 ① 即 ② 即 (2) 若 則 ① 即 ② 即

139 3.  對數函數的圖形:

140 4.  對數函數的基本性質:若 且 與 且 ，則有 (1) (2) ， (3)

141 (4) 其中 與 為任意函數而且 (5) 且 (6) 且 (7)

142 (三) 自然指數函數的介紹 1. 自然指數函數的定義:以 為底的自然指數函數為

143 2.  自然指數函數的圖形

144 3. 自然指數函數的基本性質: (1) (2) 自然指數律 (四) 自然對數函數的介紹 1.  自然對數函數的定義:以 為底的自然對數函數為

145 2.自然對數函數與自然指數函數的關係: “自然對數函數與自然指數函數互為反函數”。 即 (1) 若 則 ① 即 ② 即 (2) 若 則
即 (1) 若 則 ① 即 ② 即 (2) 若 則 ① 即 ② 即

146 3. 自然對數函數的圖形:

147 4. 自然對數函數的基本性質: (1) (2) ， (3) ，

148 (4) 且 (5) 其中 與 為任意函數，而且 (6) 且 (7) 且

149 定理2.5.1 指數函數與對數函數的導數 (1) (2) (3) 且

150 (4) (5) 且 (6) 且 且 □

151 例1. 試求下列各函數的導數 (1) (2) 解:(1) ■ (2)

152 例2. 試把 兩邊同時對 微分 解: ■

153 例3. 試利用對數微分法求函數 的導數 解:

154 ■

155   §2.6 不定式 極限的基本定理：若 且 ，其中 與 均為實數，則有 1. 2. 3. 且

156 倘若有關極限的問題不滿足上面基本性質，我們稱此極限值問題為不定式。常見的不定式共可分為
七種。

157 定理 L’Hospital’s 第一法則 設函數 與 在區間內除了 之外均 為可微分，而且在 時有 與 ， 則若 且 或著 且 ，我們有 □

158 定理 L’Hospital’s 第二法則 設函數 與 在 之外均為可微分， 而且在 時有 與 ， 則若 或著 且 ，我們有 □

159 例1. 試求 與 解: 由 L’Hospital’s 第一法則得知 同理， ■

160 例2. 試求 解: 由 L’Hospital’s 第一法則得知 ■

161 例3. 試求 解: 由 L ’Hospital’s 第一法則得知 ■

162 例4. 試求 解: 由L’Hospital’s第二法則得知 ■

163 例5.試求 解: ■

164 例6. 試求 解: ■

165 例8. 試求 解: ■

166 例9. 試求 解: ■