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1 Email ：fws365@scu.edu.cn 2008 年 11 月 26 日星期三
离散　　数学 计算机学院 冯伟森 2008 年 11 月 26 日星期三

2 主要内容 习题课六 2018/11/13 计算机学院

3 第十四、十五、十六章 一、基本概念 代数系统、单位元或幺元、零元、幂等元、逆元、半群、含幺半群、群、子半群、群的阶、子群、交换群、循环群、生成元、元素的周期、右陪集、左陪集、子群的指数、不变子群(或正规子群) 、群的单一同态、满同态、同构、同态核、环、含零因子环、交换环、含幺环、整环、子环、环的同构与同态、域 2018/11/13 计算机学院

4 2、判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、含幺半群和群；
二、基本要求 1、会求二元运算的特异元素； 2、判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、含幺半群和群； 3、会运用群的基本性质证明相关的命题； 4、熟悉陪集的定义和性质； 5、熟练掌握不变子群、循环群的基本性质和证明方法（按定义证明和反证法） 2018/11/13 计算机学院

5 7、掌握Lagrange 定理及推论，学习使用该定理解决简单的问题；
6、会求循环群的生成元及其子群； 7、掌握Lagrange 定理及推论，学习使用该定理解决简单的问题； 8、熟悉n元置换群 9、熟练掌握环、域的基本性质和证明方法（按定义证明和反证法） 2018/11/13 计算机学院

6 例1 证明下述代数结构是整环 ＜I[x],+, ×＞ 其中I[x]是所有的x的整系数多项式的集合， “+”、“×”表示多项式的加法和乘法。
f(x)∈ I[x] ，显然- f(x)∈ I[x] ，且 f(x)+（- f(x)）=0=（- f(x)）+ f(x) 所以单位元和逆元存在，且+满足交换律， 所以 ＜I[x],+＞是交换群。 2018/11/13 计算机学院

7 f(x)，g(x)∈ I[x] ,显然有f(x)×g(x)∈I[x] 封闭性成立，整数1是单位元，且满足交换律，所以
普通乘法满足结合律，且对任意的 f(x)，g(x)∈ I[x] ,显然有f(x)×g(x)∈I[x] 封闭性成立，整数1是单位元，且满足交换律，所以 ＜I[x], ×＞是含幺交换半群 （3）普通乘法对加法的分配律显然成立，所以 ＜I[x],+, ×＞是环。 （4）对任意的f(x)，g(x)∈I[x], 如果f(x)≠0和g(x)≠0， 则必有f(x)×g(x)≠0 ， 所以＜I[x],+, ×＞无零因子 故＜I[x],+, ×＞是整环。 2018/11/13 计算机学院

8 例2 给定代数系统 ，且 和 定义为： 。 其中，I是整数集合， 分别是通常数的加法、减法和法，证明 是具有幺元的可交换环。 即I是封闭的
给定代数系统 ，且 和 定义为： 。 其中，I是整数集合， 分别是通常数的加法、减法和法，证明 是具有幺元的可交换环。 证：1）证 是交换群 即I是封闭的 2018/11/13 计算机学院

9 ∵(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2 a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2 ∴*是可结合的
∵a*1=a+1-1=a ∴1是<I,*>的幺元 令 ∴a的逆元存在 ∵ a*b=a+b-1=b*a ∴ 是交换群 2018/11/13 计算机学院

10 2) 证 是含幺交换半群 ∴I关于是封闭的 ∴I关于是可结合的 2018/11/13 计算机学院

11 ∵令 ， ∴ 0是 的幺元 ∴ 是含幺交换半群 3）证明对 可 分配 2018/11/13 计算机学院

12 同理 故 是具有幺元的可交换环。 2018/11/13 计算机学院

13 习题十五 4、设半群A，中任何两个不同元素关于运算“”不可交换。证明：对任何aA，aa=a。 证：（反证法） 设 构造 ， 则
构造 ， 则 即 可交换，与已知条件相矛盾 ∴ 2018/11/13 计算机学院

14 10、写出<S3, 。>中的全部子群。 解：（1），（1 2），（1），（1 3）， （1），（2 3），
6、证明：群中只有幺元是幂等元。 证：（反证法） 设 矛盾 10、写出<S3, 。>中的全部子群。 解：（1），（1 2），（1），（1 3）， （1），（2 3）， （1），（1 2 3），（1 3 2）和 二个平凡子群。 2018/11/13 计算机学院

15 11、 设<S,·>和<T,·>都是<G,·>的子群,令
S∩T= {x|x∈S∧x∈T},ST= {st|s∈S∧t∈T} 。证明:<S∩T,·>和<ST,·>也都是<G,·>的子群。 证明： 1）∵ S、T是G的子群 ∴ eS , eT 即 eS∩T 设 a，bS ∩T，即a，bS 和a，bT b-1 S 和b-1T ∴ ab-1 S 和ab-1T 即 ab-1 S∩T ∴〈S∩T，〉是G的子群 2018/11/13 计算机学院

16 ∴cd-1= a1b1b2-1a2-1= a1a2-1b1b2-1 ST 即 ST是子群
2） eST，设c、dST 则  a1S，b1T ， c=a1b1，  a2S，b2T ， d=a2b2， ∵ d-1=b2-1a2-1 又 ∵S和T中的元素关于“” 可交换 ∴cd-1= a1b1b2-1a2-1= a1a2-1b1b2-1 ST 即 ST是子群 2018/11/13 计算机学院

17 16、 证明:每个阶数大于1的群必含有阶数大于1的交换子群。
证明： 设G是阶数大于1的群， 则  a≠eG 构造G′=（a）G， 则 G′是G的交换群。 2018/11/13 计算机学院

18 设 G=(a),G′是G的子群，则G′中的每个元素具有am的形式，设k是所有m中最小的正整数，则 G′=（ak）
17、 证明:循环群的子群必是循环群。 证明： 设 G=(a),G′是G的子群，则G′中的每个元素具有am的形式，设k是所有m中最小的正整数，则 G′=（ak） 否则对 amG′，m=nk+l，0≤l＜k， 2018/11/13 计算机学院

19 19、 设n阶群<G,·>中每个元素的周期要么是1,要么是3。证明:n必是奇数。
证明： 2018/11/13 计算机学院

20 27.设f是群<G,·>到群<H, 。 >的同态映射,S是G的子群.证明: f(S)是H的子群。
1）∵eS， ∴ 对a∈S，e·a=a=a·e，f(e·a)=f(a)=f(a·e)。于是 f(e)。f(a)=f(a)=f(a) 。f(e)，说明f(e)是运算“。”在f(S)中的幺元 2） “。”在f(S)中可结合； 2018/11/13 计算机学院

21 3） 对a、b∈S， f(a) 。 f(b)=f(a·b)f(S)，于是 f(S) 是封闭的。
4） 设a∈S在S中关于运算“·”有逆元a-1，那么，a·a-1=e，于是f(a·a-1)=f(e)，即 f(a) 。 f(a-1)=f(e)。这说明f(a)∈f(S)有逆元f(a-1) (或f -1(a)=f(a-1))。 ∴ f(S) 是H的子群 2018/11/13 计算机学院

22 证：设G是循环群， f是群<G,·>到<f(G), 。>的同态映射, aG, G=(a),
31.证明:循环群的同态像也是循环群。 证：设G是循环群， f是群<G,·>到<f(G), 。>的同态映射, aG, G=(a), 即对Bf(G), bG, B=f(b) ∵ b=an ,∴f(b)=f(an)=f(a)。f(a)。…。 f(a) =(f(a))n 故<f(G), 。>是循环群 2018/11/13 计算机学院

23 习题十六 6、设<S，+，*>是环<R,+,*>的一个子环。证明： S中的零元(加法么元)必是R的零元；如果S有
乘法么元e,则e也是R的乘法么元。 证:1)设1、2分别是S和R中的零元(加法么元) ， ∵ <S，+，*>是环<R,+,*>的一个子环 ∴对aS,有aR, 又∵ a+ 1 =a+ 2 =a ∴由定理16.1，有1=2 2018/11/13 计算机学院

24 ∵ <S，+，*>是环<R,+,*>的一个子环 ∴对aS,有aR, 又∵ a*e1 =a*e2 =a
2)设e1、e2分别是S和R中的乘法幺元， ∵ <S，+，*>是环<R,+,*>的一个子环 ∴对aS,有aR, 又∵ a*e1 =a*e2 =a ∴由定理16.1，有a*(e1 -e2 )=  即 e1 -e2 = ， ∴ e1 =e2 2018/11/13 计算机学院

25 7、设 R，+，*为环，且R中每个元都是乘法 幂等元。证明： 1）对任何aR，a+a=。 2）R，+，*为交换环。
证：1）对a、bR， ∵ (a+a)2=a+a ∴ (a+a)2*b=a*b+a*b+a*b+a*b =a*b+a*b 由定理 a*b+a*b=(a+a)*b=  ∴ a+a= 2018/11/13 计算机学院

26 (a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b =a2*b2=a*(a*b)*b ∴ R，*为交换半群
2）∵ 对a、bR， (a*b)2=a*b=a2*b2 (a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b =a2*b2=a*(a*b)*b ∴ R，*为交换半群 故R，+，*为交换环 2018/11/13 计算机学院