采用快速多极方法的边界元大规模计算 姚振汉 王海涛 雷霆 王朋波 清华大学工程力学系，北京 100084.

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1 采用快速多极方法的边界元大规模计算 姚振汉 王海涛 雷霆 王朋波 清华大学工程力学系，北京

2 内 容 提 要 引言 快速多极边界元法的基本原理 快速多极边界元法的精度和效率验证 二维和三维复合材料模拟中的应用
快速多极边界元大规模并行计算 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 国际上比较成功的其它方面应用 进一步研究方向

3 引 言 边界元法简介 快速多极算法发展概况 快速多极边界元法研究概况 本研究组相关研究概况

4 引 言 边界元法简介 (Boundary Element Method, BEM) 求解连续介质问题的一种数值方法
引 言 边界元法简介 (Boundary Element Method, BEM) 求解连续介质问题的一种数值方法 只需在边界离散单元，降低一维 易于处理无限和半无限域问题 应用于力学、热学、电磁、声学等领域

5 引 言 传统边界元法的缺点：不适合处理大规模问题 直接求解方法 (Gauss Elimination) 方程组 存储量: O(N 2)
引 言 传统边界元法的缺点：不适合处理大规模问题 方程组 A: 非对称满阵 直接求解方法 (Gauss Elimination) 存储量: O(N 2) 计算量: O(N 3) N: 未知量的个数 (Number of DOFs)

6 引 言 边界元迭代算法研究 (GMRES, CG, CGS, Bi-CGSTAB) 迭代算法求解效率 存储量: O (N 2)
引 言 边界元迭代算法研究 (GMRES, CG, CGS, Bi-CGSTAB) Mullen等 (1987) ：将几种迭代法用于Laplace方程的BEM迭代求解 Barra等 (1992) ：将GMRES用于二维弹性力学的BEM迭代求解 Mansur等(1992) ：将用于FEM的迭代算法的非对称版本用于BEM Prasad等 (1994) ：验证了GMRES用于各种BEM格式的迭代求解的效率 迭代算法求解效率 存储量: O (N 2) 计算量: O (kN 2) k: 迭代步数

7 引 言 常规边界元法对解题规模的制约 例如： N = 1,000 双精度 存储量: 8 MB N = 10,000 双精度
引 言 常规边界元法对解题规模的制约 例如： N = 1,000 双精度 存储量: 8 MB N = 10,000 双精度 存储量: 800 MB 又例如： N = 40,000 双精度 8台PIII-600微机并行求解，需要 43 h (2000)

8 引 言 求解方法已经成为制约边界元法发展和应用的瓶颈！ 如何提高边界元的解题规模？ 新硬件：代价昂贵，无竞争力 新方法：
引 言 求解方法已经成为制约边界元法发展和应用的瓶颈！ 如何提高边界元的解题规模？ 新硬件：代价昂贵，无竞争力 新方法： 快速多极算法 (Fast multipole method, 简称FMM) 存储量: O(N) 计算量: O(N)

9 引 言 Sandia BEM软件(1994) Coyote AutoMEMS 软 件 评 论 计算机 CPU 算法 计算能力 计算速度
引 言 2000年得到的启示： Sandia BEM软件(1994) Coyote AutoMEMS 软 件 评 论 计算机 CPU 算法 计算能力 计算速度 大规模并行机 1900个Intel i860 传统边界元法 50,000个常值面元 每小时140,000常值元 PC机 1个Intel Pentium III 快速多极边界元法 20,000,000个常值面元 每小时1,200,000常值元 便宜了2000倍 关键是改进了算法 规模增大400倍 提高速度9倍

10 引 言 Barnes, Hut (1986) ： 树结构算法 (tree code) 计算量：O (NlogN) 快速多极算法发展概况
引 言 快速多极算法发展概况 传统的求解 N particle 问题算法的计算量： O(N 2) 静电势 静电力 Barnes, Hut (1986) ： 树结构算法 (tree code) 计算量：O (NlogN) J. Barnes, P. Hut. A hierarchical O (NlogN) force calculation algorithm. Nature, 324, (1986),

11 引 言 快速多极算法发展概况 Rokhlin, Greengard (1987)：
引 言 快速多极算法发展概况 Rokhlin, Greengard (1987)： 快速多极算法 (Fast multipole method, FMM)： O(N) 采用了： 多极展开 (multipole expansion) 局部展开 (local expansion) Carrier等 (1988) 自适应快速多极算法 (Adaptive FMM)： O(N)

12 引 言 快速多极算法发展概况 Greengard, Rokhlin (1997): 引入 Hrycak, Rokhlin (1998)：
引 言 快速多极算法发展概况 Greengard, Rokhlin (1997): 3D新型快速多极算法 (New Version FMM) O(N) 引入 指数展开 (Exponential expansion) Hrycak, Rokhlin (1998)： 2D新型快速多极算法 O(N)

13 引 言 快速多极边界元法研究概况 Yamada, Hayami (1995)： 二维弹性力学 复数域Taylor展开 O (NlogN)
引 言 快速多极边界元法研究概况 Yamada, Hayami (1995)： 二维弹性力学 复数域Taylor展开 O (NlogN) Pierce, Napier (1995)： 二维弹性力学 实数域Taylor展开 O (NlogN) Hayami, Sauter (1998)： 三维弹性力学 实数域Taylor展开 O (NlogN) Nishimura等(1999)： 三维含裂纹的Laplace方程 球谐函数展开 O(N) Popov, Power (2001)： 三维弹性力学 实数域Taylor展开 O(N) Yoshida (2001)： 三维含裂纹的弹性力学方程 球谐函数展开 O(N) Lai, Rodin (2003)： 三维含裂纹的弹性力学方程 球谐函数展开 O(N)

14 引 言 采用快速多极方法的新型算法 快速多极边界元法研究概况 Yoshida等 (2001)
引 言 快速多极边界元法研究概况 采用快速多极方法的新型算法 Yoshida等 (2001) 三维含裂纹的Laplace方程 球谐函数展开 O(N) 局限性：均匀树结构，单一边界条件

15 引 言 本研究组相关研究概况 王海涛, 姚振汉 (2002)：二维弹性力学 BeTeQ 2002
引 言 本研究组相关研究概况 王海涛, 姚振汉 (2002)：二维弹性力学 BeTeQ 2002 赵丽滨, 姚振汉 (2002)：板弯曲问题 BeTeQ 2002 王海涛, 姚振汉 (2003)：二维弹性力学 nd MIT Conference 王朋波, 姚振汉 (2003)：二维裂纹问题 Tsinghua Science & Technology 赵丽滨, 姚振汉 (2003)：三维薄结构 Tsinghua Science & Technology 王海涛, 姚振汉 (2004)：颗粒增强复合材料 工程力学 雷 霆, 姚振汉 (2004)：二维并行计算 工程力学 王海涛, 姚振汉 (2004)：三维弹性力学 WCCMVI

16 引 言 本研究组发表和录用的相关SCI论文 Yao ZH, Kong FZ, Wang HT, et al. 2D simulation of composite materials using BEM. Engineering Analysis with Boundary Elements 28 (8): Aug 2004 Wang HT, Yao ZH. Application of a new fast multipole BEM for simulation of 2D elastic solid with large number of inclusions. Acta Mechanica Sinica 20 (6): DEC 2004 Wang HT, Yao ZH. A new fast multipole boundary element method for large scale analysis of mechanical properties in 3D particle-reinforced composites. Computer Modeling in Engineering & Sciences 7 (1):

17 引 言 本研究组发表和录用的相关SCI论文 Wang HT, Yao ZH, Wang PB. On the preconditioners for fast multipole boundary element methods for 2D multi-domain elastostatics. Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (7): Jul 2005 Wang PB, Yao ZH. Fast multipole DBEM analysis of fatigue crack growth. Computational Mechanics (in printing) Lei T, Yao ZH et al. A parallel fast multipole BEM and its application to large-scale analysis of 3-D fiber-reinforced composites. Acta Mechanica Sinica (in printing) Wang PB, Yao ZH et al. Analysis of solids with numerous microcracks using the fast multipole DBEM. CMC (in printing)

18 快速多极边界元法的基本原理 以二维弹性力学问题为例 二维弹性力学的边界元法 初始快速多极边界元法基本原理 初始快速多极边界元法实现步骤
新型快速多极边界元法基本原理 新型快速多极边界元法实现步骤

19 快速多极边界元法的基本原理 二维弹性力学的边界元法 2D 弹性力学边界积分方程 基本解

20 快速多极边界元法的基本原理 边界离散（常值元、线性元、二次元等） 矩阵形式 施加边界条件 U: 边界位移列阵 T: 边界面力列阵
A: 最终系数矩阵 X: 未知的边界位移和面力

21 快速多极边界元法的基本原理 初始快速多极边界元法基本原理 使用四叉树结构作为存储和操作对象 基于迭代法 (如GMRES)
系数矩阵-迭代向量相乘运算由树结构替代 系数矩阵不需要显式存储 两个基本概念：多极展开和局部展开 三个基本传递关系

22 快速多极边界元法的基本原理 基本解的多极展开

23 快速多极边界元法的基本原理 基本解的多极展开

24 快速多极边界元法的基本原理 基本解的多极展开 gk系列函数是 y的多项式组合

25 快速多极边界元法的基本原理 基本解的多极展开 ck系列：多极展开系数 (Multipole Moments) 另一个积分 有同样的展开形式

26 快速多极边界元法的基本原理 基本解的多极展开 多极展开系数只需要计算一次，就可以用于针对多个源点 x 的积分计算

27 快速多极边界元法的基本原理 多极展开系数的传递

28 快速多极边界元法的基本原理 基本解的局部展开 局部展开系数(Local Moments)

29 快速多极边界元法的基本原理 基本解的局部展开 多极展开系数 局部展开系数

30 快速多极边界元法的基本原理 局部展开系数的传递

31 快速多极边界元法的基本原理 自适应四叉树结构

32 上行遍历计算多极展开系数 O(Np+Np2)
快速多极边界元法的基本原理 初始快速多极边界元法实现步骤 边界单元离散和自适应树结构生成 上行遍历计算多极展开系数 O(Np+Np2) 下行遍历计算局部展开系数 O(28Np2) 利用树结构等效计算积分 O(Np2) 迭代求解 O(N(30p2+p)) O(N)

33 快速多极边界元法的基本原理 新型快速多极边界元法基本原理 一个基本概念：指数展开 三个基本传递关系 多极向指数展开系数的传递
多极向局部展开系数的传递 指数展开系数之间的传递 指数向局部展开系数的传递

34 快速多极边界元法的基本原理 指数展开

35 快速多极边界元法的基本原理 多极展开向指数展开系数的传递 指数展开系数(exponential moments)

36 快速多极边界元法的基本原理 多极展开向指数展开系数的传递 多极展开系数 指数展开系数 q: 指数展开阶数

37 快速多极边界元法的基本原理 指数展开系数之间的传递 新的指数展开系数可以由原来的指数展开系数传递得到
对角化形式的传递(Diagonal Form)

38 快速多极边界元法的基本原理 指数展开向局部展开系数的传递 局部展开系数可以由同一个结点的指数展开系数传递得到

39 快速多极边界元法的基本原理 新型快速多极边界元法实现步骤 边界单元离散和自适应树结构生成 上行遍历计算多极展开系数 O(Np+Np2)
下行遍历计算指数展开系数 O(4Npq) 下行遍历传递指数展开系数 O(27Nq) 下行遍历计算局部展开系数O(N(p2+4pq)) 利用树结构等效计算积分 O(Np2) 迭代求解 O(N(p+3p2+8pq+27q)) O(N)

40 快速多极边界元法的精度效率验证 软硬件环境 初始快速多极边界元法性能考核 新型快速多极边界元法性能考核 三维快速多极边界元法性能比较

41 快速多极边界元法的精度效率验证 软硬件环境 编程语言： 运行环境： ANSI C++ 一台PC机： Pentium IV 3.0GHz
内存: 1GB

42 快速多极边界元法的精度效率验证 初始快速多极边界元法性能考核 算例1——初始快速多极边界元法精度验证 带孔方板承受均匀拉伸
板边长 l = 1.0mm 孔半径 r = 0.2mm 四边法向位移: 0.01mm 平面应力 自由度

43 快速多极边界元法的精度效率验证 算例1 —— 初始快速多极边界元法精度验证 孔洞不同位置的法向位移值 (mm) p: 多极和局部展开阶数
角度 误差 45 90 高斯消去 --- 快速多极 (p=20) 210-6 210-7 快速多极 (p=15) 110-6 快速多极 (p=10) 410-4 310-6 快速多极 (p=5) 310-3 210-3

44 快速多极边界元法的精度效率验证 算例2－初始快速多极边界元法大规模计算精度验证 含周期分布圆形夹杂的正方形四边给定均匀法向位移
夹杂半径: r = 0.2mm 平面应变 快速多极边界元求解 p = 20 正方形尺寸 2×2mm2 30×30mm2 自由度 10,880 696,000 四边法向位移 0.02mm 0.3mm

45 夹杂－基体界面不同位置的法向位移和应力值
快速多极边界元法的精度效率验证 算例2－初始快速多极边界元法大规模计算精度验证 夹杂－基体界面不同位置的法向位移和应力值 角度 误差 45 90 Un (mm) 2×2 210-5 310-5 30×30 Tn (MPa)

46 快速多极边界元法的精度效率验证 算例3－初始快速多极边界元法的求解效率 快速多极: 高斯消去:

47 快速多极边界元法的精度效率验证 算例4－初始快速多极边界元法收敛性验证 快速多极：

48 快速多极边界元法的精度效率验证 新型快速多极边界元法性能考核 算例5: 新型算法展开阶数的选取 方程组 直接矩阵-向量相乘 快速多极
相对残差

49 快速多极边界元法的精度效率验证 算例5: 新型算法展开阶数的选取

50 快速多极边界元法的精度效率验证 算例6: 新型快速多极边界元法精度验证 孔洞不同位置的法向位移值(mm) 45 90 角度 误差 高斯消去
误差 45 90 高斯消去 --- 新型算法 (p=25,q=20) 210-6 110-6 新型算法 (p=20,q=15) 310-5 110-5 新型算法 (p=15,q=10) 110-3 210-4 610-4

51 快速多极边界元法的精度效率验证 算例7－新旧算法与高斯消去法的求解效率比较 初始算法: 新型算法:

52 快速多极边界元法的精度效率验证 三维快速多极边界元法性能比较 算例8－三维快速多极边界元法精度验证 带球形孔洞的立方体
立方体尺寸1×1×1mm3 孔洞半径r = 0.2mm 法向拉伸位移Unx= 0.01mm 法向压缩位移Uny =Unz = -0.01mm 杨氏模量E=1000MPa 泊松比v=0.3 三角形常值元 自由度: 9,396

53 孔洞与X-Z平面相交圆上不同位置的法向位移值 (mm)
快速多极边界元法的精度效率验证 算例8 ——三维快速多极边界元法精度验证 孔洞与X-Z平面相交圆上不同位置的法向位移值 (mm) p: 多极和局部展开阶数 角度 误差 45 90 高斯消去 --- 初始算法 (p =18) 110-6 210-5 210-6 初始算法 (p =10) 210-4 510-4 新算法 (p, q =18) 110-4 410-5 新法 (p, q =10, 9) 410-3 510-2 110-2

54 快速多极边界元法的精度效率验证 算例9－三维快速多极边界元法大规模计算精度验证

55 中心孔洞与X-Z平面相交的圆上不同位置的法向位移值(mm)
快速多极边界元法的精度效率验证 算例9－三维快速多极边界元法大规模计算精度验证 中心孔洞与X-Z平面相交的圆上不同位置的法向位移值(mm) 角度 误差 45 90 高斯消去(1×1×1) --- 初始算法 (p=18) 3×3×3 410-4 510-4 210-4 5×5×5 310-4 (p=10) 610-3 110-2 810-4 910-4

56 快速多极边界元法的精度效率验证 算例10－三维快速多极边界元与高斯消去法效率比较 高斯消去: 初始算法: 新型算法:

57 二维和三维复合材料模拟中的应用 用于含夹杂复合材料的预处理技术 二维含大量随机分布圆形夹杂的复合材料大规模计算
三维含大量随机分布球形颗粒的复合材料大规模计算 三维含大量随机分布和随机方向短纤维的复合材料大规模计算

58 二维和三维复合材料模拟中的应用 用于含夹杂复合材料的预处理技术 基于夹杂的块矩阵，矩阵 元素由夹杂－基体界面的 边界单元相互作用形成

59 二维和三维复合材料模拟中的应用 二维含大量随机分布圆形夹杂的复合材料大规模计算 二维快速多极边界元法与重复相似子域法结合
模拟二维含有大量随机分布的圆形夹杂的正方形复合材料 分析细观结构和材料参数对宏观等效模量的影响 平面应变 夹杂个数: 1,600 自由度数: 544,000

60 二维和三维复合材料模拟中的应用 二维含大量随机分布圆形夹杂的复合材料大规模计算

61 二维和三维复合材料模拟中的应用 二维含大量随机分布圆形夹杂的复合材料大规模计算
复合材料等效体积模量K/Km随夹杂/基体杨氏模量比Ei /Em的变化

62 二维和三维复合材料模拟中的应用 二维含大量随机分布圆形夹杂的复合材料大规模计算 复合材料等效体积模量K/Km随夹杂体积比c 的变化

63 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布球形颗粒的复合材料大规模计算 三维快速多极边界元法与重复相似子域法结合
模拟三维含有大量随机分布的球形颗粒的立方体复合材料 分析细观结构和材料参数对宏观等效模量的影响 分析颗粒/基体的界面力分布 颗粒个数: 100 自由度数: 187,000

64 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布球形颗粒的复合材料大规模计算

65 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布球形颗粒的复合材料大规模计算
复合材料等效体积模量K/Km随颗粒/基体杨氏模量比Ei/Em的变化

66 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布球形颗粒的复合材料大规模计算 沿X轴单向拉伸时颗粒/基体界面法向应力分布图

67 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布球形颗粒的复合材料大规模计算 沿X轴单向拉伸时颗粒/基体界面剪切力分布图

68 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布和随机方向短纤维的复合材料大规模计算 三维快速多极边界元法与重复相似子域法结合
模拟三维含有大量随机分布和随机方向的短纤维的立方体复合材料 分析细观结构和材料参数对宏观等效模量的影响 短纤维长细比（长度/直径，aspect ratio）: 3.0 短纤维数: 100 自由度数: 172,800

69 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布和随机方向短纤维的复合材料大规模计算

70 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布和随机方向短纤维的复合材料大规模计算

71 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维含大量随机分布和随机方向短纤维的复合材料大规模计算 K/Km随c 和Ei/Em的变化

72 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维纤维长度和方向分布对复合材料等效模量的影响 沿X轴方向单向拉伸应力1MPa
分析纤维长度和方向分布对等效杨氏模量Ex的影响 分析纤维/基体界面的应力分布 纤维长细比: 3.0、6.0、11.0 纤维允许偏离X轴的最大角度: 0、30、60、90度 体积比 c=3% 纤维/基体杨氏模量比 Ei/Em=5.0 纤维个数: 100 较长的短纤维增强复合材料自由度: 259,200

73 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维纤维长度和方向分布对复合材料等效模量的影响

74 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维纤维长度和方向分布对复合材料等效模量的影响 X轴方向等效杨氏模量Ex随纤维长细比和方向分布的变化

75 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维纤维长度和方向分布对复合材料等效模量的影响 沿X轴单向拉伸时纤维/基体界面法向应力分布图

76 二维和三维复合材料模拟中的应用 三维纤维长度和方向分布对复合材料等效模量的影响 沿X轴单向拉伸时纤维/基体界面剪切力分布图

77 快速多极边界元大规模并行计算 计算环境 实现快速多极边界元大规模并行计算的几个关键技术 并行计算的性能测试
三维含大量随机分布短纤维复合材料的大规模并行计算

78 快速多极边界元大规模并行计算 计算环境 PC机群(Cluster)： 开发环境：
清华大学工程力学系固体力学研究所机群(16 nodes, Intel® Xeon™ CPUx2, 2.8GHz, 1GB Memory per node, Linux OS) 清华大学理学院数学系机群(16 nodes, Intel ® Pentinum™ III CPUx2, 1.2GHz, 2GB Memory per node, Linux OS) 开发环境： Linux, GCC, MPICH, LAM-MPI, ATLAS, LAPACK, ScaLapack… Valgrind, GDB, gprof…

79 快速多极边界元大规模并行计算 分布式存储结构

80 快速多极边界元大规模并行计算 实现快速多极边界元大规模并行计算的几个关键技术 按树结构节点划分任务并实现负载平衡

81 快速多极边界元大规模并行计算 根据任务间树结构相互关系判断消息传递关系

82 快速多极边界元大规模并行计算 并行计算的性能测试 并行计算的精度考核

83 快速多极边界元大规模并行计算 并行计算的计算规模 最大三维算例 (4000夹杂)： 5,064,000自由度，44.775小时。
最大二维算例 (4000夹杂)： 8,080,000自由度，8.29小时。

84 快速多极边界元大规模并行计算 并行计算的加速比 并行效率>0.6

85 快速多极边界元大规模并行计算 三维含大量随机分布短纤维复合材料的大规模并行计算 镍－聚酯单向纤维增强复合材料
弹性模量之比 镍：聚酯=100:1

86 快速多极边界元大规模并行计算 前处理建模(MSC/Patran 2001)

87 快速多极边界元大规模并行计算 边界元模型:随机分布的200根短纤维模型 自由度数：2,600,000
16计算节点，32 Xeon 2.8GHz处理器，13.5GB 内存，计算时间38小时

88 (Conventional Straight fiber)
快速多极边界元大规模并行计算 纤维形状对等效弹性模量的影响 直纤维 (Conventional Straight fiber) 骨型纤维 (Bone-shaped fiber)

89 快速多极边界元大规模并行计算 纤维形状对等效杨氏模量的影响

90 快速多极边界元大规模并行计算 界面法向面力分布（隐去基体显示）

91 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 弹性裂纹体数值模拟 含大量裂纹弹性体的疲劳裂纹扩展模拟 含大量微裂纹弹性体的等效材料特性

92 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 弹性裂纹体数值模拟 二维无限弹性体中单裂纹用快速多极边界元法计算的考题 沿裂纹划分16个二次单元
多极展开 p = 25 裂纹张开位移和解析解相比 误差<1%

93 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 二维无限弹性体中四裂纹考题和有限元比较 FMBEM 用128个直线二次元 MARC 用13000三角形二次元

94 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 二维无限弹性体中3000裂纹 (900,000 DOF, p = 20, h)

95 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 二维有限弹性体中裂纹模拟 (FMDBEM) 特殊裂尖单元的形函数

96 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 二维有限弹性体中裂纹模拟 (FMDBEM) 精度和效率考核

97 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 二维有限弹性体中裂纹模拟 (FMDBEM) 大规模计算精度考核 (含10000条周期分布裂纹方板)
KI(DBEM) KI(MARC) 5653.7MPa mm1/2 5651.7MPa mm1/2 FMDBEM (大规模计算) (KI)max (KI)min 5658.3MPa mm1/2 5647.8MPa mm1/2

98 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含大量裂纹弹性体的疲劳裂纹扩展模拟 双向拉伸十字形板角裂纹扩展考题

99 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含大量裂纹弹性体的疲劳裂纹扩展模拟 双向拉伸十字形板角裂纹扩展考题 (和DBEM结果吻合)
Portella et al. (1993) DBEM FMDBEM

100 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含大量裂纹弹性体的疲劳裂纹扩展模拟 扩展方向的判断
最大主应力准则，假定裂纹将沿垂直于裂尖附近最大主应力的方向，因此裂纹扩展的方向由局部剪应力为零的条件决定：

101 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 扩展长度的判断 设扩展速率满足Paris公式： 数值实现时： 按照Tanaka的模型：

102 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 裂纹相交和止裂的模拟

103 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含400裂纹交变受拉长方板疲劳裂纹扩展模拟

104 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含400裂纹交变受拉长方板疲劳裂纹扩展模拟

105 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含400裂纹交变受拉长方板疲劳裂纹扩展模拟

106 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含大量裂纹弹性体的等效材料特性 含4000随机分布微裂纹的二维弹性体模型

107 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 等效体积模量和其它方法结果的比较

108 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 含大量裂纹弹性体的等效材料特性 微裂纹非均匀随机分布的二维弹性体模型

109 弹性裂纹体和裂纹扩展模拟 等效体积模量和其它方法结果的比较

110 国际上比较成功的其它应用 快速多极边界元法的SCI收录文献可以查到近百篇，其中：
日本同行做了很多研究，京都大学的Nishimura教授曾在应用力学评论发表评论文章； 美国刘轶军副教授学术休假期间先后在Nishimura教授和我这里进行这方面的合作研究； 此法在MEMS设计等领域已经得到成功应用； 电磁波散射等无限域大规模计算问题是优势领域； 在声场-结构耦合分析中也有应用。

111 国际上比较成功的其它应用 碳纳米管复合材料大规模模拟

112 国际上比较成功的其它应用 碳纳米管复合材料大规模模拟 最大模型： 16,000 CNT 28,800,000 DOF 计算时间 34 小时

113 国际上比较成功的其它应用 碳纳米管复合材料大规模模拟

114 国际上比较成功的其它应用 超高频电磁波散射大规模分析

115 国际上比较成功的其它应用 超高频电磁波散射大规模分析

116 进一步研究方向 边界元法和各种无网格法等在许多工程领域都属于有限元法的一个补充。
它的发展既受到有限元法的启发，又受到有限元法的制约。只有在其优势领域，作为补充才有实际意义。如果只是有限元能计算的它也能算，而且结果吻合，那就证明这种补充没有必要。

117 进一步研究方向 快速多极边界元法已经证明可以有效地进行有限元法都难以完成的大规模计算。当务之急是为它寻找工程上有重要意义的实际应用。
由于线性问题的有限元方法已经非常成熟，而边界型数值方法在非线性分析方面的研究还很少，因此快速多极边界元法在非线性分析中的应用值得进行研究。我们在弹塑性分析快速多极边界元法方面已经初步取得成功。

118 谢谢诸位！