第 8 章 扭 转 §8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形

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1 第 8 章 扭 转 §8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形
02:02 第 8 章 扭 转 §8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能 §8-5 矩形截面杆的扭转 02:02

2 §8-0 扭矩和扭矩图 A B l A B l o a b b′ O O′ T 02:02

3 m A B l o a b b′ O T O′ 如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为螺旋线ab′, 诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于A截面转过一角度∠bOb′。 为了分析横截面上的内力，取m--m截面。 02:02

4 m A B l o a b b′ O T O′ m x T MT 由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号MT表示。 02:02

5 02:02 由 ∑Mx（F）= 0 T – MT = 0 即 MT = T m A B l o a b b′ O T O′ m x m MT

6 02:02 扭矩的正负号由右手螺旋法则规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩MT的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。
(a) (b) 例： 扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。 02:02

7 一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：TA=2 kN·m , TB=3
一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：TA=2 kN·m , TB=3.5kN·m , TC =1 kN·m , TD = 0.5 kN·m , 转向如图。试作该传动轴之扭矩图。 例题 6-6 a A B C D TA TB TC TD 解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即可作出扭矩图。 02:02

8 例题 6-6 02:02 分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。 考虑1-1截面 1-1截面： ∑Mx（F）= 0 得
例题 6-6 a A B C D TA TB TC TD 1 2 3 分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。 考虑1-1截面 1-1截面： TA MT 1 x A 1 ∑Mx（F）= 0 MT1 + TA = 0 得 MT1=TA= -2 kN.m 02:02

9 例题 6-6 02:02 2-2截面： ∑Mx（F）= 0 得 MT2 - TB + TA = 0
例题 6-6 A B x TA TB 2 MT 2 a C D TC TD 1 3 2-2截面： ∑Mx（F）= 0 MT2 - TB + TA = 0 得 MT2= TB - TA = = 1.5 kN·m 02:02

10 例题 6-6 02:02 同理得 MT3 = 0.5 kN·m 由此,可作扭矩图如下： x MT (kN·m) 1.5 0.5 + 2 a
例题 6-6 同理得 MT3 = 0.5 kN·m 由此,可作扭矩图如下： x MT (kN·m) 1.5 0.5 + 2 a A B C D TA TB TC TD 02:02

11 02:02 思考题6-6 该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？ a A B C D TA TB TC TD x MT (kN·m) 1.5
0.5 + 2 02:02

12 思考题6-7 作杆的扭矩图。 1 m 0.2m 0.1 m 4 kN 1 kN 2 kN 02:02

13 思考题6-7参考答案 1m 0.2m 0.1m 4 kN 1 kN 2 kN MT /kN·m x 0.4 0.2 O 02:02

14 我们在讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：
A B a b T | m l b′ O′ m MT T x A B 02:02

15 02:02 杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转变形，产生相对扭转角 bO′b(B截面相对于A截面），受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT 。 本章主要研究以下内容： (1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。） (3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截面不再保持平面，要发生扭曲，求解复杂。）　　　 02:02

16 02:02 思考题 8-1 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？
思考题 8-1　 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？ 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。 02:02

17 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 02:02 平均半径为 r。厚度为且δ« r。
T φ g (rad) l 平均半径为 r。厚度为且δ« r。 受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为切应变。 02:02

18 T φ g (rad) l 根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系 02:02

19 02:02 沿外圆周的切向，如下图所示。 上述内容主要说明： (1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；
T φ MT（ MT =T） 上述内容主要说明： (1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同； (2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等； 02:02

20 02:02 (3) 薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的切线。
对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。 T φ MT（ MT =T） 02:02

21 02:02 这样，知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利用静力学关系 r —— 用平均半径r0代替 则 从而有 (8-1)
上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。 02:02

22 当d /r0=10％ ，其误差为4.5％。 T φ g (rad) l 至于切应变，由上图得 式中 r为圆筒外半径。 则 02:02

23 02:02 通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角f 与外力偶矩T之间成正比。 剪切比例 极限 T O 

24 02:02 图中的线性关系为 t = Gg 上式称之为材料的剪切胡克定律，不只是适用于薄壁圆筒。 ( 拉压胡克定律 s = Ee)
剪切比例 极限  O 图中的线性关系为 t = Gg 上式称之为材料的剪切胡克定律，不只是适用于薄壁圆筒。 ( 拉压胡克定律 s = Ee) 式中 G—材料切变模量，量纲为MPa。如各种钢的切变模量均约为8.0×104 MPa，至于剪切比例极限，则随钢种而异；Q235钢，tp =120 MPa。 02:02

25 02:02 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量与其它两弹性参数E和n 之间存在下列关系：
泊松比 以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。 02:02

26 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 02:02 8.2.1 横截面上的切应力
横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。 现在的关键在于： 确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径r 的一点处切应力tr与r的关系。 02:02

27 02:02 首先观察受扭时，表面的变形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间的物理关系。 (1) 几何关系
(2) 物理关系 (3) 静力学关系 02:02

28 1. 几何关系： 如下图，实验表明： A B a b′ O′ b T (1) 等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。 02:02

29 A B a b′ O′ b T (2) 平截面假设 等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。 02:02

30 02:02 取微段dx分析：得半径为r的任意圆柱面上的切应变。 (1)
 (a) r d x 取微段dx分析：得半径为r的任意圆柱面上的切应变。 (1) 式中：d f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，r与gr 成线性关系。 02:02

31 02:02 2. 物理关系： 由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1)式代入，得： (2)
2. 物理关系： 由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1)式代入，得： (2) 上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径r的圆周上各点处大小相同，但它们随r 作线性变化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上（图(b))，方向垂直于各自的半径。 (b) 02:02

32 3. 静力学关系： (2) 上式与MT没有联系起来。 若等截面圆杆在MT 作用下，则t 如何？ 02:02

33 (2) 整个横截面面积A范围内每个微面积dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即： （单位：mm4或m4） 02:02

34 02:02

35 又 故 上式为等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式。 若求tmax，则令r =r，有 02:02

36 改写成 其中抗扭截面模量 ， 常用单位：mm3或m3 。 上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭情况。 02:02

37 思考题8-2 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘出水平直经AB上各点处切应力的变化图。 . O A B MT 02:02

38 思考题8-2参考答案: MT A B O 02:02

39 思考题8-3 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直经的变化图，若(1) 两杆材料相同，即G1=G2=G；(2) 两材料不同，G1=2G2。 MT 1 2 02:02

40 思考题8-3(1)答案： MT G1=G2=G 2 1 02:02

41 思考题8-3(2)答案： MT G1=2G2 2 1 02:02

42 极惯性矩和抗扭截面模量Ip和Wp 主要计算实心圆截面和空心圆截面。 o 如图有 对于实心圆截面 02:02

43 对于空心圆截面（外径D，内径d） o 式中：a =d / D 02:02

44 应当注意： 千万不要出错！ 02:02

45 思考题：教材133页思考题８－２（第二版165页思考题８－３）
02:02

46 扭转角 02:02

47 l g T 若 l 范围内，T是常量，GIp也为常量，则上式 GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。 比较： 02:02

48 例题 8-2 一水轮机的功率为Nk=7350 kW，其竖轴是直径为d =650 mm，而长度为l =6000 mm的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G =0.8×105 MPa。求当水轮机以转速n = 57.7 r/min匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角f。 O T a 02:02

49 例题 8-2 02:02 解：轴传递功率Nk(kW) ， 相当于每分钟传递功 W=1000×Nk×60(N·m) (1) 外力偶作功 (2)
例题 8-2 O T a 解：轴传递功率Nk(kW) ， 相当于每分钟传递功 W=1000×Nk×60(N·m) (1) 外力偶作功 (2) 令(1)、(2)相等，得 即 02:02

50 例题 8-2 因此作用在轴上的外力偶矩T为 O T a 极惯性矩 02:02

51 例题 8-3 02:02 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知： T1=1592N·m，T2=955N·m，T3=637N·m
例题 8-3 截面A与截面B 、C之间的距离分别为lAB=300mm 和lAC=500mm。轴的直径d =70mm, 钢的剪切弹性模量G=8×104 MPa 。试求截面C对B的扭转角 d A B C 02:02

52 例题 8-3 d A B C 解：由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为M TⅠ= 955 N·m, M TⅡ= 637 N·m 。先分计算B ，C截面对A之扭转角fAB， fAC , 则可以假想此时A不动。 02:02

53 上两式中的Ip可以利用 例题 8-3 d A B C 由于假想截面A固定不动，故截面B、C相对于截面A的相对转动应分别与扭转力偶矩T2、T3的转向相同，从而fAB和fAC的转向相同。由此可见，截面C对B的扭转角fBC应是： 02:02

54 例题 8-3 其转向与扭转力偶矩T3相同。 d A B C 02:02

55 02:02 思考题8-4 直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩MT=1.5 kN·m，求横截面上的最大切应力。 T l

56 思考题 8-5 空心圆轴的直径d =100 mm，长l =1m，作用在两个端面上的外力偶之矩均为T=14 kN·m，但转向相反。材料的切变模量G=8×104 MPa。求： (1) 横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭转角。 (2) 图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。 A B C O 25 T l 02:02

57 02:02 思考题8-5答案： (1) tmax=71.3 MPa f = 0.01784 rad
B C O 25 (1) tmax=71.3 MPa f = rad (2) tA=tB=tmax= 71.3 MPa tC=35.7 MPa 02:02

58 思考题8-6 下图(a)所示的扭转超静定问题，若假想地解除B端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条件求解(图(b))，试列出其求解过程。 A a b l C B T 02:02

59 思考题8-6答案： A T B TB 先考虑 T 作用，则 只考虑TB的作用，则 02:02

60 A T B TB 相容条件： 得 则 TA=T b/l 上述结果可与书例题8-4进行比较。 02:02

61 02:02 8.2.4 斜截面上的应力 通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断；
斜截面上的应力 通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成45º的螺旋线剪断； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。 研究类似铸铁试件破坏原因 考虑斜截面上的应力。 02:02

62 方法：扭杆假想切开斜截面　 扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面　　 点上切一个单元体 x T A (a) 02:02

63 x (b) a d c (1) 左、右横截面 (2) 顶、底面，径向截面 前、后面，切向截面 切应力互等，纯剪切状态　 02:02

64 02:02 思考题 8-7 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出
思考题 8-7 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出 （1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布； （2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。 E C F D B A G 02:02

65 思考题8-7答案: E C F D B A G 02:02

66 02:02 现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图(b)）,图(b)处于纯剪切状态,现改其为平面图表示： x (b) a d c b x T
y a b c d e n x (a) d e t n x c (b) 02:02

67 02:02 研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如图(a)、(b)。de 斜面作着未知的正应力sa和切应力ta。
n x c (b) y a b c d e n x (a) 研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如图(a)、(b)。de 斜面作着未知的正应力sa和切应力ta。 设de的面积为dA，则 02:02

68 d e t n x c (b) 简化后： 同理 得： 02:02

69 02:02 当a＝0o与a＝90o时： ta有最大值，即为t a=±45o的情况下： sa有极值，即为t。
d e t n x c (b) 当a＝0o与a＝90o时： ta有最大值，即为t a=±45o的情况下： sa有极值，即为t。 a=145o，sa=smin=-t a=-45o，sa=smax=+t 02:02

70 02:02 由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º方向拉伸引起的断裂。
　　也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力smax总是等于横截面上相应的切应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的t 作为依据。如下图所示。 T 断裂线 σmin 02:02

71 02:02 小结： 1. 薄壁圆筒扭转时的应力和变形。 ——材料的剪切胡克定律 ——Ｅ、Ｇ、n三者之间的关系 2. 圆杆扭转时的应力和变形。
2. 圆杆扭转时的应力和变形。 (1) 横截面上的应力 02:02

72 (a) 几何关系 (b) 物理关系 (c) 静力学关系 02:02

73 代入Ip得 (d) 极惯性矩和抗扭截面模量 实心圆截面 02:02

74 空心圆截面 扭转角 斜截面上的应力 02:02

75 思考题 8-8 直径d =25 mm的钢圆杆，受轴向拉力60 kN作用时，在标距为200 mm的长度内伸长了 mm；当它受一对矩为0.2 kN·m的外力偶作用而扭转时，相距200 mm的两个横截面相对转动了0.732º的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数E、G和v。 02:02

76 思考题8-8答案 02:02

77 §8-3 强度条件及刚度条件 1. 强度条件 实心或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点均处于纯剪切应力状态,而整个杆的危险点在横截面的边缘处。 受扭圆杆的强度条件： 对于等截面杆：危险点必在MTmax 所在截面边缘处, 即 由以上两式得到 02:02

78 02:02 根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行 (1) 校核强度 (2) 选择截面尺寸 (3) 计算容许荷载 2. 刚度条件
(1) 校核强度 (2) 选择截面尺寸 (3) 计算容许荷载 2. 刚度条件 满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率q (=df/dx ), 其最大值qmax不超过某一规定的容许值[q ] 来表达，即 02:02

79 02:02 式中[q ] 为单位长度杆的容许扭转角，单位°/m 对于等直的圆杆，其qmax按式： 来计算。化为角度每米则为 (8-17)
式中，MTmax — N·m，G — Pa，Ip — m4 02:02

80 02:02 容许扭转角[q ]，对于精密仪器的轴 ，常常取 0.15～0.30 °/m。至于一般的轴则取 2 °/m。 书例[8-4]
校核强度和刚度 书例[8-5] 选择截面尺寸 书例[8-6] 建立强度条件 02:02

81 第八章 扭 转 例题 8-7 阶梯形圆柱直径分别为d1= 4 cm , d2=7 cm,轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为T3=30 kW,轮1输出的功率为 T1=13 kW , 轴作匀速转动,转速n = 200转/分,材料的剪切许用应力[t ]=60 MPa,G = 80 GPa,许用扭转角[q ]= 2 º/m。试校核轴的强度和刚度。 0.5 m 0.3 m 1 m A C D B 1 2 3 d1 d2 02:02

82 0.5 m 0.3 m 1 m A C D B 1 2 3 d1 d2 例题 8-7 解: 计算扭矩： 强度校核： 02:02

83 0.5 m 0.3 m 1 m A C D B 1 2 3 d1 d2 例题 8-7 故强度满足。 刚度校核： AC段： 02:02

84 0.5 m 0.3 m 1 m A C D B 1 2 3 d1 d2 例题 8-7 DB段： 故刚度满足。 02:02

85 例题 8-8 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=100 转/分，传输功率N =7.5 kW,材料的容许切应力[t ]=40MPa,试选择实心轴直径d1和内外径比值为0.5的空心轴的外径D。 02:02

86 例题 8-8 解: 扭矩计算： 计算实心轴直径,由强度条件 02:02

87 例题 8-8 计算空心轴直径,由强度条件: 02:02

88 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能 如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，f 与Me成线性关系。 Me Me 02:02

89 Me 又 则 或 02:02

90 对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取微段分析入手。
例如： 从而知：左段杆内的应变能： 02:02

91 右段杆内： 整个杆内积蓄的应变能为： 02:02

92 02:02 思考题 8-9 (1) 求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此杆在线弹性范围内工作，且变形微小。 (c) l = 1 m
思考题 8-9 (1) 求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此杆在线弹性范围内工作，且变形微小。 l = 1 m d=80 mm Me1=4 kN·m (a) 0.6 m 0.4 m Me2=10 kN·m (b) Me1= 4 kN·m (c) 02:02

93 02:02 (2) 杆在第三种受力情况下的应力和变形是否分别等于前两种情况下的叠加？应变能呢？ (c) l = 1 m d=80 mm
Me1=4 kN·m (a) 0.6 m 0.4 m Me2=10 kN·m (b) Me1= 4 kN·m (c) 02:02

94 02:02 思考题8-9答案： (1) l = 1 m d=80 mm Me1=4 kN·m (a) 0.6 m 0.4 m
(b) 02:02

95 02:02 (2) (c) l = 1 m d=80 mm Me1=4 kN·m (a) 0.6 m 0.4 m Me2=10 kN·m
(b) 0.6 m 0.4 m Me2=10 kN·m Me1= 4 kN·m (c) (2) 02:02

96 02:02 思考题8-10 求下列各图杆的应变能。 l T (c) d A B F p=F/l l (a) (b) A B l t (d)

97 02:02 思考题8-10答案： (a) (b) 取微段分析 F l (a) A B p=F/l l A B x dx FN(x) px

98 02:02 思考题8-10答案： (c) 其中 (d) 取微段分析 l T (c) d A B l t d A B dx tx T(x)

99 思考题8-10答案： l t d A B dx tx T(x) (d) 02:02

100 §8-5 矩形截面的扭转 1. 几个概念 非圆截面杆受扭时,横截面会发生扭曲。因此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形的计算公式。 (1) 约束扭转 非圆截面杆受扭时,既然横截面要发生翘曲,因此，如果翘曲受到牵制, 例如杆件是变截面的，或者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还有正应力。这种扭转称为约束扭转。 02:02

101 02:02 (2) 自由扭转 横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。
(2) 自由扭转 横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。 要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而无正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只在两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。 本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。 02:02

102 02:02 2. 矩形截面杆的扭转 主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。
2. 矩形截面杆的扭转 主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。 根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横截面上最大的剪应力在长边的中点，其计式为 单位长度杆的扭转角： 其中： Wt —— 抗扭截面模量 It —— 相当极惯性矩 02:02

103 02:02 GIt ——杆的抗扭刚度 It 和 Wt 除了在量纲上与圆截面的Ip 和 Wp 相同外，在几何意义上则是不同的。 矩形截面：
其中a和b由表8 -1差得，此系数随m=h/b的比值而变。其中h为长边尺寸，b为短边尺寸。 则强度条件 刚度条件 02:02

104 由弹性力学分析结果表明： 横截面上的最大切应力tmax发生在长边中点。而在短边中点处的切应力则为该边上各点处切应力中的最大值可以按下式计算。 如右图，矩形截面周边上各点处的切应力方向必与周边相切。这是因为杆表面上没有切应力，故由切应力互等定理可知： 02:02

105 在横截面上周边上各点处不可能有垂直于周边的切应力分量。
矩形截面上,顶点处的切应力必等于零。 τ1 τ2 τ1’ τ2’ 02:02

106 02:02 弹性力学的分析结果还表明: 狭长矩形截面的It 和 Wt 有
h 狭长矩形截面的It 和 Wt 有 切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切,其数值除在靠近顶点处以外均相等，如图所示： 02:02

107 例题 8-9 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为h =100 mm, b=50 mm,长度l =2 m，在杆的两端作用一对矩为T的扭转力偶。已知T=4000 N·m，钢的允许切应力 [ t ]=100MPa，G = 8×104 MPa , [q ]=1o /m, 试校核杆的强度和刚度。 解： 02:02

108 例题 8-9 以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。 02:02

109 第八章结束 02:02