2018/11/21 第 8 章 影 响 线 西安建筑科技大学 惠宽堂 2007.9 2018/11/21.

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1 2018/11/21 第 8 章 影 响 线 西安建筑科技大学 惠宽堂 2007.9 2018/11/21

2 第 8 章 影 响 线 §8.1 移动荷载及影响线概念 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线
第 8 章 影 响 线 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 §8.5 机动法作静定梁的影响线 §8.6 影响线的应用 §8.7* 公路、铁路的标准荷载制及换算荷载 §8.8 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图 2018/11/21

3 §8.1 移动荷载及影响线概念 1、移动荷载及其对结构的作用 作用在结构上的荷载：恒载＋活载
2018/11/21 1、移动荷载及其对结构的作用 作用在结构上的荷载：恒载＋活载 前面各章讨论了恒载作用下的结构计算问题。其特点是，荷载作用位置固定不变，结构的支座反力和任一截面的内力是固定不变的。 在工程实际中，有些结构还承受移动荷载或可动荷载，这种荷载的作用点在结构上是移动的。许多活荷载可视作移动荷载，常见的有两类： （1）移动的集中荷载—指一组排列、间距和数值保持不变的共同移动的集中力系，又叫行列荷载。如，火车、汽车轮压对桥梁的作用，吊车轮压对吊车梁的作用。 （2）可动的均布荷载—指作用位置可以变动或断续分布的均布荷载。如，履带式起重机、拖拉机，材料的任意堆放，人群的任意走动。 2018/11/21

4 §8.1 移动荷载及影响线概念 定义：把结构的支座反力、任一截面的内力（N、Q、M）和位移等统称为结构的量值，一般用S表示。
在给定的移动荷载作用下，结构的量值不仅与其所在位置有 关，而且与荷载的位置有关。其特点是： （1）每个量值Sj都随着荷载位置的移动而变化； （2）每个量值Sj的变化规律和变化范围不尽相同； （3）每个量值Sj都有一个最大值Smax，相应的荷载位置称为该量值的最不利荷载位置； （4）所有截面同一量值的最大值中，总有一个最大者，称为结构最大该量值，例如绝对最大弯矩Mmax。 本章内容就是围绕这些问题进行的。 2018/11/21

5 §8.1 移动荷载及影响线概念 2、研究移动荷载作用的基本工具——影响线
移动荷载通常都具有大小和方向保持不变的特点，考虑到结构的量值与荷载成正比，故可先研究单位移动荷载（P=1）在结构上移动时某指定量值的变化规律，根据叠加原理就可研究实际移动荷载作用下该量值的变化规律。 定义：表示结构中某一量值S随单位移动荷载（P=1）的位置 而变化的规律的图形，称为量值S的影响线。 影响线是研究移动荷载作用的基本工具。 例： P=1 P=1 x 绘制影响线的两种基本方法 ——静力法和机动法 B C D yC yD A l RA ——影响线方程 作出函数图形即得影响线。 1 RA影响线 注意影响线竖标的意义！ 2018/11/21

6 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 1、用静力法作影响线的步骤 （1）选取坐标系，设单位移动荷载P=1作用点的横坐标为x；
（2）用静力平衡条件求出量值S与x的关系S=S(x),影响线方程； （3）根据影响线方程画出影响线； （4）注明正负号和控制点的数值。通常将正号竖标画在水平基线的上侧，负号画在下侧。 本方法的关键是用静力平衡条件求影响线方程，故称静力法。 2018/11/21

7 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 2、简支梁的影响线 现在用静力法作简支梁支座反力RA、RB及指定截面C的弯矩MC和剪力QC的影响线。
（1）支座反力影响线 前已作出RA影响线； 现作RB影响线。 A B l a b C P=1 P=1 x RA RB 1 RA影响线 （＋） 线性函数，图形是一条直线。两点连一线。 1 RB影响线 （＋） 注意：单位移动荷载P=1的量纲； RA、 RB影响线的量纲。 2018/11/21

8 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （2）截面C的弯矩影响线 对水平梁，规定使下侧纤维受拉的弯矩为正。 当P=1在截面C左侧：
A B l a b C P=1 x P=1 x P=1 RA RB 1 RA影响线 （＋） 1 RB影响线 （＋） 当P=1在截面C右侧： a b （＋） MC影响线 注意：单位移动荷载P=1的量纲； MC影响线的量纲。 可见， MC影响线由两条直线组成。 左直线是RB影响线的b倍，右直线是RA影响线的a倍。 2018/11/21

9 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （3）截面C的剪力影响线 剪力的正负号规定同前。 当P=1在截面C左侧： 当P=1在截面C右侧：
A B l a b C P=1 x P=1 x P=1 RA RB 1 RA影响线 （＋） 当P=1在截面C右侧： 1 RB影响线 （＋） MC影响线 a b （＋） 可见， QC影响线由两条直线组成。 即由部分负的RB影响线和部分正的RA影响线组成。 两条直线相互平行，QC在两支座处为零，C处的突变值为1。 1 QC影响线 （＋） 注意：单位移动荷载P=1的量纲； QC影响线的量纲。 1 （－） 2018/11/21

10 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 3、伸臂梁的影响线
现在用静力法作伸臂梁支座反力RA、RB及跨内指定截面和伸臂段内指定截面的弯矩M和剪力Q的影响线。 P=1 x P=1 （1）支座反力影响线（注意x坐标） A B l C a b l1 l2 RA RB 1 （＋） （－） A B C RA影响线 这两个支座反力影响线方程与简支梁支座反力影响线方程完全相同，只是x的变化范围扩大了。可由简支梁支座反力影响线延伸而得。 1 （＋） A B C （－） RB影响线 2018/11/21

11 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （2）AB跨内指定截面内力影响线 截面C的弯矩影响线（注意x坐标） 当P=1在截面C左侧：
l C a b l1 l2 RA RB a 当P=1在截面C右侧： b （＋） （－） A B C MC影响线 （－） 这两个弯矩影响线方程与简支梁弯矩影响线方程完全相同，只是x的变化范围扩大了。可由简支梁弯矩影响线延伸而得。 2018/11/21

12 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （2）AB跨内指定截面内力影响线 截面C的剪力影响线（注意x坐标） 当P=1在截面C左侧：
l C a b l1 l2 RA RB 当P=1在截面C右侧： 1 （+） （＋） A B C QC影响线 （－） 1 这两个剪力影响线方程与简支梁剪力影响线方程完全相同，只是x的变化范围扩大了。可由简支梁剪力影响线延伸而得。 2018/11/21

13 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （3）伸臂段上截面内力影响线 截面F的弯矩、剪力影响线 注意x坐标 当P=1在截面F左侧：
E D F A C B G e d l1 l2 l A B （－） d MF影响线 当P=1在截面F右侧： A B （－） QF影响线 1 2018/11/21

14 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （3）伸臂段上截面内力影响线 截面G的弯矩、剪力影响线 注意x坐标 当P=1在截面G左侧：
E D F A C B G e d l1 l2 l A B （－） e MG影响线 当P=1在截面G右侧： 1 （+） A B QG影响线 2018/11/21

15 §8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线 4、影响线与内力图的比较 内力图：已知荷载作用下各截面内力沿杆长变化规律的图形。
MC影响线 （＋） A B l a b C P M图 P=1 K 内力图：已知荷载作用下各截面内力沿杆长变化规律的图形。 影响线：结构中某一量值S随单位移动荷载 (P=1)的位置而变化的规律的图形。 比较简支梁弯矩影响线和弯矩图的不同 荷载 影响线 内力图 量纲(单位) 横座标 纵座标 图形画法 移动的单位荷载P=1 实际的固定荷载 单位荷载P=1的位置 求内力的截面位置 指定截面内力的影响系数 截面的内力 弯矩影响线：长度(m) 弯矩图:力×长度(kN.m) 正值画在基线上侧 正值画在基线下侧 2018/11/21

16 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 图示桥梁结构体系，荷载直接作用于纵梁，纵梁两端简支于横梁上，而横梁支承于主梁上。
A d B C 1 2 3 主梁 横梁 纵梁 P=1 图示桥梁结构体系，荷载直接作用于纵梁，纵梁两端简支于横梁上，而横梁支承于主梁上。 荷载通过纵梁下面的横梁传给主梁，即主梁只在横梁处（称作结点）承受集中力，因此主梁承受的是结点荷载。 对主梁而言，荷载是间接作用的，称为间接荷载。 下面以主梁MC为例，说明间接荷载作用下主梁的影响线的作法。 2018/11/21

17 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 当P=1在纵梁上移动时，有两种情况：
(2)当P=1移动到两个结点之间时，主梁受的力是横梁传来的两个结点荷载V1和V2 。 A d B C 1 2 3 x P=1 A B C 1 2 3 y1 yC y2 y3 MC影响线(直接荷载) MC影响线(间接荷载) （+） 2018/11/21

18 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 (2)当P=1移动到两个结点之间时。 由叠加原理， V1和V2产生的MC为
在1、2两点的竖标为： 当x=0， MC=y1; 当x=d， MC=y2。 相邻结点间连直线即可。 P=1 A d B C 1 2 3 x P=1 A B C 1 2 3 y1 yC y2 y3 MC影响线(直接荷载) MC影响线(间接荷载) （+） 2018/11/21

19 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 间接荷载作用下主梁影响线的两个特点： （1）在结点处的竖标与直接荷载的影响线竖标相同；
（2）在相邻两个结点之间影响线为一直线。 间接荷载作用下主梁影响线作法： （1）用虚线画出相应直接荷载作用下的影响线； （2）用实直线连接相邻两个结点处的竖标，即得间接荷载作用下的影响线。 2018/11/21

20 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 例1 ： 间接荷载作用下主梁的影响线 P=1 A C K B D 1.25 0.25 1 RA影响线 2
2m 1.25 0.25 （+） 1 RA影响线 2 4 1 （+） MK影响线 2018/11/21

21 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 例1 ：续 间接荷载作用下主梁的影响线 P=1 A C K B D 0.75 0.25 1 0.25
2m 0.75 0.25 1 0.25 （+） QC左影响线 0.75 0.25 1 0.25 （+） QC右影响线 2018/11/21

22 §8.3 结点荷载作用下梁的影响线 例1 ：续 间接荷载作用下主梁的影响线 P=1 A C K B D 1 MD影响线 1 QD影响线 2m
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23 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 图示平行弦桁架，设P=1沿桁架下弦AB（或上弦ab）移动，求各杆轴力的影响线。
桁架一般承受结点荷载，移动荷载作用下，荷载的传递方式与主梁在间接荷载作用下的传递方式相同。把主次梁结构称为原桁架的等代梁。 桁架影响线的特点与主梁在间接荷载作用下的影响线特点相同——相邻两结点之间为直线。 P=1 c d e f g a b 静力法作桁架影响线的基础是求静定桁架内力的方法，即： 截面法 和 结点法。 h A B P=1 C D E F G l=6d A B C D E F G 2018/11/21

24 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 (1)支座反力RA和RB的影响线 与简支梁支座反力RA和RB的影响线相同。 RA RB P=1 h
c d e f g a b h A B P=1 C D E F G l=6d RA RB A B C D E F G 1 RA影响线 RB影响线 2018/11/21

25 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 (2)上弦杆轴力Nde的影响线 RA RB 作截面Ⅰ-Ⅰ
P=1 P=1 (2)上弦杆轴力Nde的影响线 c d e f g a b Ⅰ 作截面Ⅰ-Ⅰ h P=1在D(d)点左侧，取截面Ⅰ-Ⅰ右部为隔离体，∑ME=0： A B C D E F G l=6d RA RB A B C D E F G P=1在E(e)点右侧，取截面Ⅰ-Ⅰ左部为隔离体，∑ME=0： Nde影响线 P=1在D(d)、E(e)点之间，影响线为直线。 式中ME0为相应简支梁E截面的弯矩。 实际上Nde的影响线方程可用一个统一的式子表示，即 因此， Nde的影响线可由ME0的影响线求得。 2018/11/21

26 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 (3)下弦杆轴力NDE的影响线 仍用截面Ⅰ-Ⅰ 由∑Md=0： RA RB
P=1 (3)下弦杆轴力NDE的影响线 c d e f g a b Ⅰ 仍用截面Ⅰ-Ⅰ h 由∑Md=0： A B C D E F G l=6d RA RB A B C D E F G 式中MD0为相应简支梁D截面的弯矩。 因此， NDE的影响线可由MD0的影响线求得。 MD0影响线 NDE影响线 2018/11/21

27 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 (4)斜杆轴力NdE的影响线 RA RB P=1在D(d)点左侧，取截面Ⅰ-Ⅰ右部为隔离体，∑Y=0：
c d e f g a b Ⅰ P=1在D(d)点左侧，取截面Ⅰ-Ⅰ右部为隔离体，∑Y=0： h α( A B C D E F G l=6d RA RB A B C D E F G P=1在E(e)点右侧，取截面Ⅰ-Ⅰ左部为隔离体，∑Y=0： P=1在D(d)、E(e)点之间，影响线为直线。 NdE影响线 实际上NdE的影响线方程可用一个统一的式子表示，即 式中QDE0为相应简支梁DE间的剪力。 因此， NdE的影响线可由QDE0的影响线求得。 2018/11/21

28 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 (5)竖杆轴力NcC的影响线 （P=1在下弦） Ⅱ 作截面Ⅱ-Ⅱ 由∑Y=0： RA RB
d e f g a b h 作截面Ⅱ-Ⅱ A B P=1 C D E F G l=6d 由∑Y=0： RA RB A B C D E F G 式中QCD0为相应简支梁CD节间的剪力。 QCD0影响线 (P=1在下弦) 因此， NcC的影响线可由QCD0 的影响线求得。 NcC影响线 (P=1在下弦) 2018/11/21

29 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 (5)竖杆轴力NcC的影响线 Ⅱ 作截面Ⅱ-Ⅱ 由∑Y=0： RA RB
P=1 (5)竖杆轴力NcC的影响线 （P=1在上弦） Ⅱ c d e f g a b h 作截面Ⅱ-Ⅱ A B C D E F G 由∑Y=0： l=6d RA RB A B C D E F G 式中QAC0为相应简支梁AC节间的剪力。 因此， NcC的影响线可由QAC0 的影响线求得。 QAC0影响线 (P=1在上弦) NcC影响线 (P=1在上弦) 2018/11/21

30 §8.4 静力法作梁式桁架的影响线 (6)竖杆轴力NeE的影响线 P=1在下弦移动时，由上弦结点e的平衡，∑Y=0： RA RB
c d e f g a b h P=1在下弦移动时，由上弦结点e的平衡，∑Y=0： A B P=1 C D E F G l=6d RA RB 即P=1在下弦移动时， NeE恒等于零。 A B C D E F G P=1在上弦移动时，当P在上弦结点e时，由结点e的平衡，∑Y=0： NeE影响线 (P=1在下弦) 当P在上弦其他结点时，由结点e的平衡，∑Y=0： 1 NeE影响线 (P=1在上弦) 2018/11/21

31 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 1、刚体体系的虚位移原理 基础：刚体体系的虚位移原理。
特点：把作支座反力或内力影响线的静力问题转化问题转化为作刚体位移图的几何问题。 优点：可不经过计算就能得到影响线的轮廓，从而迅速确定最不利荷载位置；也可用来校核用静力法作的影响线 例： P1 Pi Pn R1 R2 1、刚体体系的虚位移原理 刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有主动力在任一与约束条件相容的无限小刚体虚位移上所作的总虚功等于零，即 We=0 注意，这里的“平衡力系”和“虚位移”是两种独立的状态。 ——可用虚功原理证明。 （a）平衡力系 C1 C2 ⊿1 ⊿i ⊿n （b）虚位移 2018/11/21

32 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 2、机动法作影响线的原理和步骤
现以简支梁支座反力RB为例，运用刚体体系的虚位移原理说明机动法作影响线的原理和步骤。 P=1 拆除与RB相应的约束，代以约束力S=RB，这时体系有一个自由度，图(b)。 （a） A B 沿S正向给体系以虚位移，图(b)。 （b） x P=1 δS——与未知力S相应的位移，以与S正向一致者为正。 δP——与单位荷载P=1 相应的位移，以与P=1 正向一致者为正。 列虚功方程 SδS+PδP =0 由于P=1，所以 δS δP S 2018/11/21

33 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 2、机动法作影响线的原理和步骤
当P=1 移动时，位移δP也随P=1的位置变化而变化，是荷载位置参数x的函数；而δS则与x 无关，是一常数。因而 P=1 （a） A B （b） x P=1 P=1 δS 这里S(x)表示S随P=1位置x变化而变化的规律，即是S的影响线(方程)；而δP (x)是单位荷载作用点的竖向位移图。 由此可知， S的影响线竖标与荷载作用点位移成正比，或者说，由δP可得到S的影响线的形状。 δP δP S 2018/11/21

34 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 2、机动法作影响线的原理和步骤 为方便起见，令虚位移δS=1，则 S(x)=－δP (x)
（a） A B （b） x P=1 P=1 δS 正负号规则：由于δP 以向下为正，即在梁轴线(横坐标轴)的下方为正，所以，S在横坐标轴的上方为正，如图(c) 所示。 δP δP S （c） δP S 1 （+） S影响线即是RB影响线 RB影响线 S影响线 2018/11/21

35 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 2、机动法作影响线的原理和步骤 3、机动法作静定结构影响线示例
机动法作静定结构支座反力或内力S的影响线的步骤： （1）拆除与S相应的约束，代以约束力S； （2）使体系沿S的正向发生与S相应的单位虚位移，作出体系上各点沿P=1作用线方向的虚位移图，即为S的影响线； （3）水平基线上方的虚位移图，影响线的竖标取正号；水平基线下方的虚位移图，影响线的竖标取负号。 3、机动法作静定结构影响线示例 2018/11/21

36 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 例2 ： 简支梁截面C的MC和QC的影响线 A B l a b P=1 b )δ=1 B A MC
（+） MC MC影响线 1 QC δ=1 （+） B A QC影响线 （－） 1 2018/11/21

37 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 例3 ： 伸臂梁截面C的MC和QC的影响线 P=1 l a b l1 l2 b )δ=1 MC
（＋） MC （－） A B C MC影响线 （－） 2018/11/21

38 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 例3 ：续 伸臂梁截面C的MC和QC的影响线 P=1 l a b l1 l2 1 QC δ=1 1
（+） δ=1 A B （－） 1 QC影响线 2018/11/21

39 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 例4 ： 静定多跨梁支座反力和内力的影响线 P=1 A B C D E F 2 MA MA影响线
（+） MA影响线 )δ=1 （－） 4 1 δ=1 （+） QB QB影响线 （－） 0.5 MC ) δ=1 （－） MC影响线 2 2018/11/21

40 §8.5 用机动法作静定梁的影响线 例4 ：续 静定多跨梁支座反力和内力的影响线 P=1 A B C D E F QC左 QC左影响线
4m 2m 3m A B C D E F QC左 QC左影响线 （－） （－） δ=1 0.5 1 1 1 QC右 （+） QC右影响线 δ=1 3 1.5 )δ=1 MC （+） ME影响线 2018/11/21

41 §8.6 影响线的应用 1、计算影响量值 作出结构某量值S的影响线后，根据叠加原理，可利用影响线计算一般荷载作用下该量值的大小（称作影响量）。 （1）集中荷载作用下影响量的计算 P1 P2 Pi Pn 根据影响线的定义，由叠加原理可得： A B C y1 y2 yi yn S影响线 正负号：Pi与P=1方向一致取正号，相反取负号； yi在基线以上取正号，在基线以下取负号。 2018/11/21

42 §8.6 影响线的应用 作出结构某量值S的影响线后，根据叠加原理，可利用影响线计算一般荷载作用下该的大小（称作影响量）。
（2）分布荷载作用下影响量的计算 q(x)dx q(x) 根据影响线的定义，由叠加原理，积分可得： A B C x dx y(x) 若为均布荷载，即q=常量，有： S影响线 A B C q 一般地，S=∑qA ，A为影响线的面积。 正负号：q与P=1方向一致取正号，相反取负号； A在基线以上取正号，在基线以下取负号。 2018/11/21

43 §8.6 影响线的应用 例5 ： 用影响线求MC、QC左、QC右。 解：（1）求MC。先作MC影响线。 40kN 10kN/m A B 3m
（2）求QC左、QC右。先作QC影响线。 3m 1.875m 0.75m MC影响线 0.625 0. 25 1 0.375 QC影响线 2018/11/21

44 §8.6影响线的应用 使量值S达最大值的荷载位置，称为最不利荷载位置。 解决的方法有：观察法、试算法和分析法。
2、均布荷载的最不利位（布）置 对于可任意布置的均布荷载，由S=∑qA可知： 将荷载q布满S影响线的所有正面积范围内，是Smax的最不利荷载位置，且有Smax=∑qA+； 将荷载q布满S影响线的所有正面积范围内，是Smin的最不利荷载位置，且有Smin=∑qA- 。 S影响线 q Smax最不利位(布)置 q Smin最不利位(布)置 2018/11/21

45 §8.6影响线的应用 3、移动荷载的最不利位置 （１）一个集中荷载 （２）一组集中荷载
S影响线 当只有一个集中荷载P时，显然P在S影响线最大竖标(顶点)处，即为Smax的最不利荷载位置；P在S影响线最小竖标处，即为Smin的最不利荷载位置。 有多个集中荷载，当数值较大、距离较近的几个荷载走到S影响线竖标较大值处时，可能为Smax的最不利荷载位置。此时，总有一个集中荷载位于影响线顶点处。 于是，可选几个可能的最不利荷载位置，分别求S=∑Py，其最大者即为Smax ，相应的荷载位置即为Smax的最不利荷载位置。 2018/11/21

46 §8.6影响线的应用 例6： 求MKmax、QKmax和QKmin。两台吊车，P2、P3的最近距离为1.2m。 P1=P2=70kN, P3=P4=152kN P1 P2 4m P3 P4 4m 解：（1）求MKmax。先作MK影响线。 两个荷载位置可能产生MKmax 。 P2在MK影响线的顶点 MK1=70× ×( ) =523.52kN.m P3在MK影响线的顶点 MK2=70× ×( ) =529.28kN.m MKmax =529.28kN.m；最不利荷载位置？ A B K 2.4m 9.6m 2.4m 1.92 0.96 1.68 1.12 0.88 MK影响线 P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 2018/11/21

47 §8.6影响线的应用 解：（2）求QKmax和QKmin 。 例6 ：续 先作QK影响线。 两个荷载位置可能产生QKmax 。
P2在QK影响线的顶点右侧 QK1=70× ×( ) =218.18kN P3在QK影响线的顶点右侧 QK2=152×( ) = kN QKmax =218.18kN；最不利荷载位置？ 一个荷载位置可能产生QKmin ，即P4在QK影响线的顶点左侧。 QKmin =152×(－ 0.2) =－30.4kN P1 P2 4m P3 P4 4m A B K 2.4m 9.6m 1 0.8 0.2 0.467 0.7 0.367 QK影响线 P1 P2 P3 P4 P3 P4 P3 P4 2018/11/21

48 §8.6影响线的应用 （3）用分析法确定移动集中荷载的最不利位置 1)影响量函数
在一组移动集中荷载作用下，S的影响量为 S=∑Piyi 设第i个力Pi的位置为x，因各力间距不变，其它各力的位置也是x的函数，故 S=∑Piyi = ∑Piyi (x)=S (x) ——称为影响量函数 2)影响量函数可导时最不利荷载位置的确定 如果S 影响线为x的二次或二次以上函数，则影响量函数S(x)也为相同次数的曲线。 S(x)出现极值的条件为 dS/dx=0 由此可确定最不利荷载位置。 S x 影响量函数 2018/11/21

49 §8.6影响线的应用 3)折线形影响线最不利荷载位置的确定 对于由直线组成的多边形影响线，量值S是由x的一次函数组成。
使量值S达极大值时荷载的临界位置为：荷载自临界位置向左移动或向右移动时，量值S均应减少或等于零。即 显然 2018/11/21

50 §8.6影响线的应用 使S成为极大值的临界位置必须满足的条件： 使S成为极小值的临界位置必须满足的条件： 设荷载向右移动Δx，
2018/11/21

51 §8.6影响线的应用 在极值位置时，只要荷载移动，∑Ri · tanαi 就变号！ 在什么情形下它才会变号呢？
首先，由于影响线是给定的， tanαi =常量，因此，只有在荷载移动时，使合力Ri 改变，才有可能使∑Ri · tanαi 变号； 其次，为使左、右微小移动荷载时， Ri 改变数值，则必须有一个集中荷载正好位于影响线顶点处。 结论：荷载处于临界位置时，必有一个集中荷载正好位于影响线顶点处。把位于影响线顶点处且使∑Ri · tanαi 改变符号的荷载称为临界荷载，用Pcr表示。 Pcr 临界位置： 必要条件？ 充分条件？ 2018/11/21

52 §8.6影响线的应用 使S成为极大值的临界位置必须满足的条件： 使S成为极小值的临界位置必须满足的条件： 临界荷载判别式 Pcr
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53 §8.6影响线的应用 计算步骤： 1）选一个荷载置于影响线的某个顶点； 2）判别临界荷载、临界位置； 3）求出每个临界位置对应的S极值；
4）比较可得出Smax、Smin及相应的荷载最不利位置。 2018/11/21

54 求间接荷载作用下主梁K截面的最大弯矩MKmax。
例7 求间接荷载作用下主梁K截面的最大弯矩MKmax。 P1 P2 4m P3 P4 4m P1=P2=70kN, P3=P4=152kN C A B K D P2、P3的最近距离为1.2m。 2.4m 1.2m MK影响线 2.4m 1.92m 1.68m 0.96m )α1 )α2 )α3 解： (1)作MK影响线 tgα1=0.8 tgα2=0.3 tgα3=－0.2 0.88m 1.32m P1 P2 P3 P4 P2在D点 P2 P3 P4 P3在D点 (2)判别临界荷载，求MKmax。P1不可能为临界荷载。 2018/11/21

55 求间接荷载作用下主梁K截面的最大弯矩MKmax。
例7 ：续 求间接荷载作用下主梁K截面的最大弯矩MKmax。 P1=P2=70kN, P3=P4=152kN 解： (1)作MK影响线 tgα1=0.8 tgα2=0.3 tgα3=－0.2 MK影响线 2.4m 1.92m 1.68m 0.96m )α1 )α2 )α3 0.88m 1.32m P1 P2 P3 P4 P2在D点 P2 P3 P4 P3在D点 P4 P4在D点 2018/11/21

56 即：Pcr在影响线顶点哪一侧，那一侧的平均荷载就来的大。
§8.6影响线的应用 3)折线形影响线最不利荷载位置的确定 极大值的临界荷载判别式 4)三角形影响线最不利荷载位置的确定 P1 P2 … Pcr … Pn )α )β a b h 即：Pcr在影响线顶点哪一侧，那一侧的平均荷载就来的大。 注意a、b的取值！ a b 2018/11/21

57 例8 ： 并列简支吊车梁，求RBmax。 P1=P2=70kN, P3=P4=152kN P2、P3的最近距离为1.2m。 P1 P2 P3
C 1 0.35 0. 5 RB影响线 P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 P2 P3 P4 最不利荷载位置 2018/11/21

58 §8.7* 公路、铁路的标准荷载制及换算荷载 略 2018/11/21

59 §8.8 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图 1、简支梁的绝对最大弯矩 （1）绝对最大弯矩的概念
定义：在一组移动的集中荷载作用下，简支梁所有截面最大弯矩中的最大值，叫简支梁的绝对最大弯矩。 确定绝对最大弯矩应解决两个问题：截面位置；荷载位置。 （2）确定绝对最大弯矩的方法 直观判断：无论荷载在什么位置，弯矩图的最大竖标值总是在某一集中荷载下面。因此可以断定，绝对最大弯矩也一定出现在某一个集中荷载作用点处的截面上。 因此，可假定某一荷载Pk为某一截面最大弯矩的临界荷载，然后移动荷载找出截面位置和相应的最大弯矩。 比较各荷载对应的最大弯矩，即可得到绝对最大弯矩。 2018/11/21

60 §8.8 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图 （2）确定绝对最大弯矩的方法 P1 P2 … Pk R … Pn 设 ： Pk—临界荷载；
x a l-x-a C A B 设 ： Pk—临界荷载； x —Pk到A点的距离； R —梁上荷载的合力且在Pk右侧； a —合力R与Pk的距离； Mk左—Pk以左梁上荷载对Pk作用点的力矩之和，是与x无关的常量。 2018/11/21

61 §8.8 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图 （2）确定绝对最大弯矩的方法 P1 P2 … Pk R … Pn
x a l-x-a P1 P2 … Pk R … Pn x a l-x-a P1 P2 … Pk R … Pn C A B RA 2018/11/21

62 §8.8 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图 （3）确定绝对最大弯矩的步骤 P1 P2 … Pk R … Pn
x a l-x-a P1 P2 … Pk R … Pn x a l-x-a 简支梁的绝对最大弯矩总是发生在梁中点截面附近。使梁中点截面产生最大弯矩的临界荷载Pk ，通常也就是产生绝对最大弯矩的临界荷载。 P1 P2 … Pk R … Pn C A B (1)确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载Pk ； (2)计算梁上荷载的合力R 及其到Pk的距离a ； (3)确定发生绝对最大弯矩的截面位置。移动荷载使Pk与R对称于梁的中点。若发现此时梁上荷载有增减，应按梁上实际荷载重复以上步骤； (4)按式 计算绝对最大弯矩。 2018/11/21

63 例10 ： 求吊车梁的绝对最大弯矩Mmax。 P1=P2=P3=P4=280kN P1 P2 P3 P4 P2、P3的最近距离为1.44m。
解： (1)作MC影响线 (2)判别临界荷载，求MCmax 只有 P2 、 P3能产生MCmax。 P2 在C 处时 MCmax= 280×( )=1646.4kN 由于对称， P2 、 P3都可能产生Mmax (3)求Mmax 。以P2为例： 梁上有4个荷载 R=280×4=1120kN，a=1.44/2=0.72m x=(12－0.72)/2=5.64m 检查梁上荷载！ M1= A B 6m C 3m MC影响线 0.6 2.28 R=1120kN P1 P2 P3 P4 4.8m 1.44m x=5.64m 5.64m 0.36 a=0.72 2018/11/21

64 求吊车梁的绝对最大弯矩Mmax。 例10 ：续 解： (1)作MC影响线 (2)判别临界荷载，求MCmax (3)求Mmax 梁上有3个荷载
P1 P2 4.8m P3 P4 4.8m P1=P2=P3=P4=280kN P2、P3的最近距离为1.44m。 解： (1)作MC影响线 (2)判别临界荷载，求MCmax MCmax= 280×( )=1646.4kN (3)求Mmax 梁上有3个荷载 R=280×3=840kN， a=(280×1.44 －280×4.8)/840=－1.12m x=( )/2=6.56m 检查梁上荷载！ M2= A B 6m C 3m MC影响线 0.6 2.28 R=840kN P1 P2 P3 P4 4.8m 1.44m 0.56 x=6.56m 5.44m a=－1.12 2018/11/21

65 §8.8 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图 2、简支梁的内力包络图 （1）内力包络图的概念
定义：在移动荷载(活载)和恒载共同作用下，结构各截面最大内力坐标的连线叫最大内力图；各截面最小内力坐标的连线叫最小内力图；最大内力曲线和最小内力曲线画在同一图上，叫内力包络图。 （2）内力包络图的计算 最大内力 Smax=S恒+S活max 最小内力 Smin=S恒+S活min 作内力包络图时，通常将梁分成若干等分，如10等分。 2018/11/21

66 例11 ： 吊车梁在两台吊车作用下的内力包络图。 3.5m 1.5 12m A B 6.0 1.2 2.4 12m 弯矩包络图（kN·m）
1.2 2.4 12m 215 366 465 559 574 578 弯矩包络图（kN·m） 212 179 153 127 94.3 65.0 41.7 25.3 16.4 8.2 0.0 剪力包络图（kN） 2018/11/21

67 The end Thank you! 2018/11/21