《 University Physics 》 Revised Edition

《 University Physics 》 Revised Edition
普通物理 (精華版) 《 University Physics 》 Revised Edition 歐亞書局

第 26 章電容器與介電質 26.1 電容 26.2 串聯與並聯 26.3 電容器中所貯存的能量 26.4 電場的能量密度
26.1 電容 26.2 串聯與並聯 26.3 電容器中所貯存的能量 26.4 電場的能量密度 26.5 介電質 26.6 從原子觀點看介電質 26.7 有介電質時的高斯定律歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.347

能將電荷或電能貯存起來的裝置，也就是今天所謂電容器（capacitor）的前身。
這個裝置在科技應用上扮演著一個相當吃重的角色，諸如收音機的調諧電路、鎂光燈的發光器等等。電容器可使電視機電源輸出的變動範圍縮小；在核融合的研究上，它可提供高能加速器所需之極高的瞬間功率（比全美國發電廠的功率水準都要高得多）。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.348

為了防止傳輸線的過載（overload），許多地區的供電設施都使用電容器組（capacitor bank），平時緩緩充電，需要時則快速放電。
歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.348

26.1 電容電容器由兩個導體（稱為電容板）組成，中間隔以絕緣物質，例如空氣或紙片。
26.1 電容電容器由兩個導體（稱為電容板）組成，中間隔以絕緣物質，例如空氣或紙片。將電容板接於電池的兩個接線端（可維持固定大小的電位差）時，板子會被賦予等電量但電性相反的電荷，如圖 26.1 所示。就效果上而言，等於是電池將某一電容板上的電荷轉移至另一板上。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.348

圖26.1 連接於一電池的兩端時，電容板會獲得等量而電性相反的電荷。
圖26.1 連接於一電池的兩端時，電容板會獲得等量而電性相反的電荷。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.348

電容器的電路符號為 ∥，電池則為∣（短線代表負端）。
由於導體（包括導線及電容器板）內部在靜態時並無電位差，故電容板之電位應分別等電池兩端的電位，換句話說，板間電位差即等於電池兩端的電位差。若將板子與電池的連線切斷，電荷由於相互吸引之故，會繼續留在板子上。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.348 7

板子上所貯存的電荷 Q ，其大小直接正比於板間之電位差 V ，故可寫成：
其中 C 為比例常數，稱做此電容器的電容（capacitance），它代表電容器貯存電荷和電能的一種「能力」。若將 26.1 式改寫成：可看出電容 C 是每一單位電位差所能貯存的電荷數。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.348 8

電容的 SI 單位為法拉（farad ；F），由 26.2 式知：
1 法拉＝ 1 庫侖/伏特在實際應用上， 1 法拉是個相當大的電值，故通常我們都只使用 pF（1 pF ＝ 10－12 F）或 μF（1μF ＝ 10－6 F）做單位。一個電容器的電容大小，跟電容器板的幾何形狀（大小形狀、板的相對位置）及其間之介質（空氣、紙、塑膠物）有很大關係。電容量並不單獨由 Q 或 V 決定：若 V 為兩倍，則 Q 亦會變成兩倍，結果其比值並無改變。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.348 9

圖26.2 兩塊電性相反且大小有限之平板，所造成的電場並不均勻。

平行板電容器（Parallel-Plate Capacitor）
有一種常見的電容器，是由兩塊平板組成。若平板間的距離很小，如圖 26.2 ，則其電場的邊緣效應（場）可以忽略，我們便假設板間電場為均勻的，如圖 26.3 。若平板面積為 A ，兩板間距為 d ，且各帶有等電量之反性電荷 Q 。這些電荷皆位於平板內面。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.349

圖26.3 當平板間距極小時，邊緣效應可被忽略，電場仍可被視為均勻的。
圖26.3 當平板間距極小時，邊緣效應可被忽略，電場仍可被視為均勻的。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.349 12

由高斯定律（24.8 式）或由直接的計算（23.10 式），均可獲得板間電場的大小為：
其中 σ ＝ Q/A 為面電荷密度。由 25.6c 式，均勻電場的電位差 V ＝ Ed ，故電容值（C ＝ Q/V）為：由 26.3 式可看出 ε0 的另一單位表示法 F/m ：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.349

實用上，平板電容多由兩片金屬箔隔以絕緣塑膠片做成，並將夾層物捲成如圖 26.4a 所示之圓柱。
我們可將「電容對幾何量 A 和 d 的相依情形」作如下之理解：對一固定的電位差 V 而言，較大的 A 可以貯存較大的 Q 值，故 C ∝ A 。實用上，平板電容多由兩片金屬箔隔以絕緣塑膠片做成，並將夾層物捲成如圖 26.4a 所示之圓柱。另有一種在老式收音機裡常見的平板電容，如圖 26.4b 所示。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.349 14

圖26.4 (a) 將塑膠物質包入金屬箔片中而製成電容。電容大小視兩組板子間之重疊部分而定；一組板子固定，另一組可轉動。
歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.349 15

圖26.4 (b)可變電容。電容大小視兩組板子間之重疊部分而定；一組板子固定，另一組可轉動。

兩組半圓板間重疊部份的面積，可藉著轉動其中一組半圓板而加以調變。
當你在旋轉調諧鈕時，你正是在改變電容的大小！此種改變會使收音機所能接收的電波頻率隨之而變。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.349 17

例題 26.1 一平行板電容器之平板間距為 1 mm ，電容值為 1F ，求平板面積。解由 26.3 式，
這已近乎是 10 km × 10 km ！顯然，法拉為一相當大的電容單位。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.349

例題 26.2 一平行板電容器之平板大小為 3 cm × 4 cm ，間距 2 mm ，且平板分別連接於 60 V 電池的兩端。求
(a) 電容； (b) 各平板上的電荷量。解 (a) 平板面積A ＝ 12 × 10－ 4 m2 ，由 26.3 式，電容為：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.350 19

(b) 各平板上的電荷量由 26.1 式決定：Q ＝ CV 。由 (a) 所求得之電容值代入，得
例題 26.2 (續) (b) 各平板上的電荷量由 26.1 式決定：Q ＝ CV 。由 (a) 所求得之電容值代入，得歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.350

例題 26.3 一半徑為 R 的孤立球體，其電容大小為何？解
若有一金屬球荷電＋Q ，可將這些電荷視為由地球傳入（地球可被當成一個導體），它相對於金屬球而言形同「另一平板」。球的電位 V ＝ kQ/R ，因 k ＝ 1/(4πε0)，故電容 C ＝ Q/V ：可看出電容與半徑有關。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.350 21

這個結果相當合理，因為對一較大的球體而言，要讓它升高至某個電位，所需的電荷量也必定較
例題 26.3 (續) 這個結果相當合理，因為對一較大的球體而言，要讓它升高至某個電位，所需的電荷量也必定較大。若假設地球為半徑 6370 km 的導體球，則由26.4 式可預測其電容為 710μF 。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.350 22

例題 26.4 一球形電容器由兩個同心導體球組成，如圖 26.5 所示。內球半徑 R1 ，帶電＋Q ；外球半徑 R2 ，
解兩球之間的電位差由電場決定， ΔV ＝－∫E‧ds 。因電場只具有徑向分量，故點積（內積）E‧ ds ＝ Er dr ，其中 Er＝＋kQ/r2（ Er 由內球上之電荷形成）。由內球至外球選取一積分路徑，得電位差為：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.350 23

雖然這是一個負值（由於所選積分方向的影響），但我們只在意數值的大小，由 C ＝ Q/V ，得：
例題 26.4 (續) 雖然這是一個負值（由於所選積分方向的影響），但我們只在意數值的大小，由 C ＝ Q/V ，得：此式與孤立球體及平行板電容器的電容有關。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.350 24

例題 26.4 (圖 26.5) 圖26.5 球形電容器。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.350

例題 26.5 一柱形電容器的內部是半徑為 a 的核心導線，包覆以半徑為 b 的圓柱殼，如圖 26.6 所示。例如用
來傳輸電視訊號的共軸纜線（同軸電纜），就具有類似的幾何結構。外層披覆通常接地，以防止內層導線上的訊號受到干擾；且兩者之間大多以尼龍或鐵弗龍隔開。試求長度為 L 之纜線的電容大小（假設兩「平板」之間以空氣為絕緣體）。解假設軸線長得足以忽略邊界效應，此處的電場將與無限長直導線之電場（例題 24.3）相同，可由高斯定律求出。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 26

例題 26.5 (圖 26.6) 圖26.6 圓柱形電容器。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 27

若 λC/m 為中心導線之線電荷密度，則在區域 a < r < b 內之電場為：
例題 26.5 (續) 若 λC/m 為中心導線之線電荷密度，則在區域 a < r < b 內之電場為：此處必須注意：電場是由核心導線上的電荷決定。因電場只具徑向分量，故 E‧ds ＝ Er dr 。導線與被覆間的電位差為：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 28

我們需要的只是電位差的「大小」而已。在長度為 L 的纜線內，電荷量為 Q ＝λL ，故電容為：
例題 26.5 (續) 我們需要的只是電位差的「大小」而已。在長度為 L 的纜線內，電荷量為 Q ＝λL ，故電容為：電容值與軸線長成正比，並且當 a 趨近於 b 時，電容值會隨之而遞增。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 29

例題 26.5 (續) 這是因為對於固定的 b 和電位差而言，當 a 增大時 ln (b/a) 會變小，而由 Vb － Va 的表示式可看出λ 必須隨之增大；這意味著在此電壓下的總電荷貯存量增大了－換句話說，電容隨之變大了。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 30

26.2 串聯與並聯在特定運用上，如果某個電容值不符所需，則可以將兩個或兩個以上的電容器以不同的形式結合。
26.2 串聯與並聯在特定運用上，如果某個電容值不符所需，則可以將兩個或兩個以上的電容器以不同的形式結合。在此介紹兩種基本結合形式的有效電容。在串聯（series connection）的情況下，兩個電路元件作「尾隨式」的連接，並使用「一個」共同端。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 31

圖 26.7 a所示為兩個電容的串聯，並且外接一個電池。
兩電容器的電場方向相同，故而組合兩端之電位差即等於個別電位差的和；亦即：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 32

圖26.7 兩電容器串聯。所有電容板上的電荷量均相同；等效電容為 1/Ceq ＝1/C1 ＋ 1/C2 。

從而在串聯的情況下，每個電容器上的電荷量均相同。
電池會在 a 、d 兩板間作電荷轉移， b 、c 兩板則會獲得等量而電性相反的感應電荷，因為它們實際上是相同導體的一部份，而且這導體的淨電荷為 0 。從而在串聯的情況下，每個電容器上的電荷量均相同。若將這兩個電容器視為一個單一的電容器 Ceq（圖 26.7b）。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.351 34

在此等效的電容器上，電荷量與原來那兩個電容器的電荷量相同，故 Q ＝ Q1 ＝Q2 。
又因 V ＝ V1 ＋ V2 ，且 V ＝ Q/C ，故得：由此看出：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.352 35

此式可推廣成數個電容器串聯的情況。對 N 個串聯的電容器而言，等效電容：
在串聯情況下，等效電容值必定小於任一個別電容值! 在並聯（parallel connection）的情況下，兩電路元件作「併肩式」的連接，並享有「兩個」共同端。圖 26.8a 顯示兩個電容與一個電池並聯的情形。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.352 36

圖26.8 兩電容器並聯。跨於各電容器兩端之電位差均相等；等效電容 Ceq＝ C1 ＋ C2 。

在靜電平衡時，所有元件左端的電位相等，因為它們是由導線（內部電場為 0）連接起來
的。同樣地，所有右端的電位也都相等。故兩元件（電容器）兩端之電位差相等，即 V ＝ V1 ＝ V2 。等效電容兩板上的電荷量，分別等於兩電容器電荷量的總和，故：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.352 38

其中，我們使用了 Q ＝ CV 及 V1 ＝ V2 ＝ V 這些關係式。顯然：
將此結果推擴至 N 個電容器並聯的情形，則有：亦即在並聯時，等效電容值永遠大於任一個別電容值。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.352 39

例題 26.6 就圖 26.9a 所示之電路，求 (a) 等效電容， (b) 每個電容器上的電荷量及電位差。解
在處理較大型的連接問題時，可分解成幾個數目較小的串聯或並聯，分別計算之。(a) 先從 C2 、C3 開始。因為是並聯的形式，故等效電容值等於4μF 。此 4μF 之等效電容器又與 C1 、C4 串聯（如圖 26.9b），故其等效總電容（圖 26.9c）為：亦即 Ceq ＝ 2μF 。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.352 40

(b) 因串聯之各電容器有相同電荷量，故：
例題 26.6 (續) (b) 因串聯之各電容器有相同電荷量，故：這也就是等效電容器上的電荷量， Q ＝ CeqV ＝ (2 μF) (48 V) ＝ 96 μC 。故 Q1 ＝ Q4 ＝ 96 μC 。要計算另外兩個電容器上的電荷量，必須藉用兩者共同的電位差，即 V 2 ＝V3 。先求C1 、C4 上之電位差：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.353 41

因電池之電位差為 48V ，故 V2 ＝ V3 ＝ 48V －(16V ＋ 8V) ＝ 24V 。結果：
例題 26.6 (續) 因電池之電位差為 48V ，故 V2 ＝ V3 ＝ 48V －(16V ＋ 8V) ＝ 24V 。結果：讀者可注意 Q2 ＋ Q3 ＝ 96μC ，這結果正如所料。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.353 42

例題 26.6 (圖 26.9 ) 圖26.9 計算數個電容器的等效電容值時，可分解成幾個步驟逐步計算。 P.353
圖計算數個電容器的等效電容值時，可分解成幾個步驟逐步計算。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.353 43

26.3 電容器中所貯存的能量貯存於電容器中的能量，會等於電源（例如電池）對該電容器充電時所做的功。
26.3 電容器中所貯存的能量貯存於電容器中的能量，會等於電源（例如電池）對該電容器充電時所做的功。假設在某特定時刻電容板上的電荷量為 q ，電位差為 V（V ＝ q/C），則要從負板上轉移無限小之電荷量 dq 至正板上，電力需作功 dW ＝ V dq （q/C）dq（電荷是經由導線轉移的，而不是經由平板間之溝隙）。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.353

這些功被電容器以電位能 UE 的形式貯存起來。因為 Q ＝CV ，故：
26.9 式所代表的，是兩平板上電荷系統的位能。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.353

例題 26.7 兩電容器 C1 ＝ 5μF 且 C2 ＝ 3μF ，最初與 12V 的電池並聯，如圖 26.10a 所示。之後切斷各接
線，而重新連接成圖 26.10b 的形式。請特別注意各平板的編號，並求 (a) 初狀況， (b) 末狀況下之電荷量、電位差以及所貯存的能量。解 (a) 因各電容器起初與電池並聯，故電位差皆與電池之電壓相等：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.354 46

－36 μC）相連時，有部份電荷被中和掉了，也就是說，只剩下差值 24μC 可被此二電容器重新分配。
例題 26.7 (續) 因此， Q1 ＝ 60 μC 且Q2 ＝ 36 μC 。初能量各為： (b) 當平板 1（荷電 60 μC）與平板 4（荷電－36 μC）相連時，有部份電荷被中和掉了，也就是說，只剩下差值 24μC 可被此二電容器重新分配。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.354 47

例題 26.7 (續) 故末狀況下的電荷值 Q'1 和 Q'2 為：由於兩電容器之電位差相等，故得：因而 P.354

例題 26.7 (續) 由(i) (ii)可得： Q ‘ 1 ＝ 15μ C 而 Q ’ 2 ＝ 9 μC 。因電位差 V ＝ Q/C ，故 V ‘1 ＝ V ’2＝ 3V 。末（貯存）能量： U ‘1 ＝　Q ’1 V ‘1＝ 22.5 μJ ， U ’2 ＝　 Q ' 2V '2 ＝ 13.5 μJ 。起初的總能量 U ＝ 576 μJ ，比後來的總能量 U ' ＝ 36 μJ 大很多。損失的能量可作兩方面解釋：首先，任何實際系統在連（導）線上均會有熱能損耗；其次，即使在無電阻的情況下，電容器的電荷量亦無法瞬間達到其最終值，電荷會在兩電容板間作振盪，一如 U 型管中的水面那樣。 1 2 1 2 1 2 歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.354 49

振盪電荷會產生電磁輻射，例如光、熱及輻射波等。因此，可以說某些逸失的能量是被「輻射掉」的。關於這一點，我們會在第 34 章中進一步討論。
例題 26.7　(續) 振盪電荷會產生電磁輻射，例如光、熱及輻射波等。因此，可以說某些逸失的能量是被「輻射掉」的。關於這一點，我們會在第 34 章中進一步討論。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.354 50

例題 26.7 (圖 26.10) 圖26.10 (a) 兩電容器在並聯的情況下充電。(b) 移去電池並重接各電容。 P.354

26.4 電場的能量密度我們先考慮一下電容器所貯存的能量。平行板電容器的電容（圖 26.12）為 C ＝ε0 A/d
26.4 電場的能量密度我們先考慮一下電容器所貯存的能量。平行板電容器的電容（圖 26.12）為 C ＝ε0 A/d ，平板間之電位差為 V ＝ Ed 。所貯存的能量 UE ＝ CV 2 /2，可改寫為：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.354 52

因電場所在之平板間體積為 Ad ，故能量密度（即每單位體積內的能量）為：
必須注意的是，上式與電容器本身並無直接關聯。我們甚至可以說：能量是被貯存於電場之中。 1 2 歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.354 53

圖26.11 電容器的能量貯存於電場內，能量密度為 UE ＝ ε0 E2 。

此外， 26.10 式雖是由平行板電容器的例子導出，但對「電場中能量密度」的表示式而言，它是普遍有效的。

例題 26.8 在空氣中，電場的崩潰強度約為 3 × 106V/m ，此時乾燥空氣喪失絕緣功能，而允許放電過程在其
中進行。試問：此時的能量密度為何？解由式可知，臨界（場）強度下之能量密度為：這個數值是由崩潰強度計算得來，因此，它也可以代表空氣中靜電場的「最大能量密度」。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.355 56

26.5 介電質如果在一電容器的兩平板間插入一些「非導電性物質」，則電容的大小將會增加。
26.5 介電質如果在一電容器的兩平板間插入一些「非導電性物質」，則電容的大小將會增加。法拉第是第一位注意到這種效應的人，他稱呼這些非導電性物質（例如玻璃、紙、塑膠等）為介電質（dielectrics）。在電容器板間插入介電質所獲得的效果，可藉以下兩個簡單的實驗來說明：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.355 57

(i) 不連接電池的情況（Battery Not Connected）
圖 26.12a 中的電容器荷電＋Q0 ，電位差為 V0 ；平板間若為真空時，電容值為 C0 ＝ Q0/V0 。現在插入介電質並使之充滿於兩板之間，如圖26.12b 所示，則電位差會減少 k 倍。 k 稱為介電常數（dielectric constant）：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.355

圖26.12 (a) 兩板各帶電量相等而電性相反的電荷 ±Q0 ，板間電位差為 V0 。 (b) 介電質充滿於兩板之間時，電位差減為 VD ＝ V0/κ，κ 為介電常數。

由V ＝ Ed 這個關係式可看出電場強度亦以同樣的比率變小：
因兩板上的電荷量並未減少（它們實在也沒地方可去），故在填入介電質的情況下，電容的大小成為： CD ＝ Q0 /VD ＝κC0 。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.355

（ii）連接電池的情況（Battery Connected）
在圖 26.13a 裡，初狀況與圖 26.12a 相同，但電池可保持板間電位差為 V0 。插入介電質後，如圖 26.13b ，板上之荷電量增加為 κ 倍，亦即 QD ＝ κQ0。利用 CD ＝ QD/ V0 ，我們同樣可發現 CD ＝ κC0 。在以上兩種情況裡，插入介電質的效果均是使電容值增加為 κ 倍：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.356

圖26.13 (a) 除了接有電池外，其餘狀況與圖 26.12a 相同。 (b) 電位差不變，而板上荷電量增加為 QD ＝ κQ0。

「介電質」這個名詞雖然一成不變地用在絕緣物質上，但這仍會有一些例外的情形存在。以水為例，它雖具有高介電常數，但卻不是絕緣體。
幾種典型的 κ 值如表 26.1 所示。「介電質」這個名詞雖然一成不變地用在絕緣物質上，但這仍會有一些例外的情形存在。以水為例，它雖具有高介電常數，但卻不是絕緣體。使用介電質（就某種形狀的電容板而言）除可增加電容大小之外，還有其他好處。比如說，在平行板電容器的兩平板間插入薄片塑膠或氧化物，則兩個平板就可以非常靠近而無碰觸之虞。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.356

表26.1 介電常數與介電強度歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.356 64

因 C ∝ 1/d ，故對某個固定電容值而言，電容器之大小可以儘量縮減。

26.6 從原子觀點看介電質一個物質的介電常數，表示的是該物質內部電荷對外加電場的反應程度。這些電荷重新分布的方式，可以分為兩方面來說明。
26.6 從原子觀點看介電質一個物質的介電常數，表示的是該物質內部電荷對外加電場的反應程度。這些電荷重新分布的方式，可以分為兩方面來說明。首先，就非極性物質而言，我們在 23.6 節裡已經知道：原子在外加電場作用下，會獲得「感應」電偶極矩（induced dipole moment），這是它對外加電場唯一的靜電反應。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.356 66

其次，就極性分子（例如水）而言，正電荷跟負電荷的中心位置並不重合，故而它們具有「永久」電偶極矩。
在沒有無外加電場時，這些電偶極的方向是隨機散佈的，如圖 26.14a 。加上外加電場以後，則作用在電偶極上的轉矩會令它們沿著電場方向排列，儘管（因熱擾動之故）排列方向並不完全一致。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.357 67

圖26.14 (a) 無外加電場作用時，極性物質內的電偶極方向為隨機分布。

從介電質的兩端看上去，某一種電性的電荷數目會比另一種電性的大很多，結果便在物體兩端造成一種有效的電荷區隔（這項結果可以與非極性分子之貢獻量合併考慮），如圖 26.14b 所示。
因此，不管物質本身是極性或非極性，其端面均同樣獲得與鄰近平板電性相反的感應電荷。這種有效的電荷區隔，稱為電極化現象􀿪􀻂（polarization）。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.357 69

圖26.14 (b) 加上電場以後，電偶極有隨著電場方向排列的趨勢。就效果而言，可以看成介電質兩端被充電了。

在物質內部，感應電荷會產生感應電場 Ei ，其指向與外加電場 E0 相反，如圖 26.15a 。
從而，如圖 26.15b 所示，介電質內部的淨電場ED 減少為 1/ κ 倍：對一般氣體來說，由於分子密度低，故 κ 值不大。水為液體而且水分子具有極性，因此相對地較易產生方向上之重新排列，這就是水具有較大介電常數的原因。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.357 71

圖26.15 (a) 介電質表面電荷所造成的感應電場 Ei ，其方向與外加電場的方向相反。 (b) 介電質內之淨電場 ED ＝ E0－ Ei 。

例題 26.9 有一片介電質，厚度為 t ，介電常數 κ 。將它插入平行板電容器（平板面積 A 、平板間距 d）中
間，如圖。假設在插入之前電池已被拆走，求插入電介質後的電容值。解先計算板間電位差。空氣中及介電質內之電場強度分別為：空氣部份的總電位 ΔV0 ＝ E0（d －t），而介電質兩端之電位差則為 ΔVD ＝EDt ＝ σt /(κε0)。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.357 73

電容值 C ＝ Q /ΔV ＝ σA/ΔV ，亦即為：
例題 26.9 (續) 因此板間總電位差為：電容值 C ＝ Q /ΔV ＝ σA/ΔV ，亦即為：注意：當 κ ＝ 1 時， C ＝ε0 A/d 。與前文所得的答案一致。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.357 74

例題 26.9 (圖 26.16 ) 圖26.16 將介電質插入電容的兩平板之間。要計算電容值前，須先計算板間電位差。 P.357
圖將介電質插入電容的兩平板之間。要計算電容值前，須先計算板間電位差。歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.357 75

26.7 有介電質時的高斯定律此處以平行板電容器為例，討論當有介電質存在時，高斯定律應作何種修正。
26.7 有介電質時的高斯定律此處以平行板電容器為例，討論當有介電質存在時，高斯定律應作何種修正。真空內及介電質內的電場，可以用金屬板上的自由電荷密度（free charge density; σf），以及介電質表面束縛電荷密度（bound charge density）σb 表示： E0＝ σf /ε0 ， Ei ＝ σb /ε0 。由式可得: 歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.358 76

圖 26.17 所示為一「高斯藥盒」（Gaussian pillbox），盒的一個平面在金屬板裡
（E ＝ 0），而另一面則埋在介電質裡（電場 ED）。若 A 為此圓柱盒的橫截面積，則盒內所包容的淨電荷量為 σf A － σb A ＝ Qf － Qb 。因為只有在介電質裡的那個盒面有通量，故運用式，可得：歐亞書局第 26 章電容器與介電質 P.358

由此式可看出：在物質內部，由電荷所造成的電場減少為 1/κ 倍。

圖26.17 高斯藥盒。由金屬板伸至介電質內，盒中的淨電荷量為（Q f －Q b）。Q f 代表金屬上的自由電荷， Q b 代表介電質表面的束縛電荷。

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