第五章 数组和广义表.

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1 第五章 数组和广义表

2 5.1 数组的类型定义 5.2 数组的顺序表示和实现 5.3 稀疏矩阵的压缩存储 5.4 广义表的类型定义 5.5 广义表的表示方法 5.6 广义表操作的递归函数

3 5.1 数组的类型定义 ADT Array { 数据对象：
5.1 数组的类型定义 ADT Array { 数据对象： D＝{aj1,j2, ...,,ji,jn| ji =0,...,bi -1, i=1,2,..,n } 数据关系： R＝{R1, R2, ..., Rn} Ri＝{<aj1,... ji,... jn , aj1, ...ji +1, ...jn > | 0  jk  bk -1, 1  k  n 且k  i, 0  ji  bi -2, i=2,...,n } } ADT Array 基本操作:

4 二维数组的定义: 数据对象: D = {aij | 0≤i≤b1-1, 0 ≤j≤b2-1} 数据关系: R = { ROW, COL } ROW = {<ai,j,ai+1,j>| 0≤i≤b1-2, 0≤j≤b2-1} COL = {<ai,j,ai,j+1>| 0≤i≤b1-1, 0≤ j≤b2-2}

5 基本操作： InitArray(&A, n, bound1, ..., boundn) DestroyArray(&A)
Value(A, &e, index1, ..., indexn) Assign(&A, e, index1, ..., indexn)

6 InitArray(&A, n, bound1, ..., boundn)
返回OK。

7 DestroyArray(&A) 操作结果：销毁数组A。

8 Value(A, &e, index1, ..., indexn)
初始条件：A是n维数组，e为元素变量， 随后是n 个下标值。 操作结果：若各下标不超界，则e赋值为 所指定的A 的元素值，并返 回OK。

9 Assign(&A, e, index1, ..., indexn)
初始条件：A是n维数组，e为元素变量， 随后是n 个下标值。 操作结果：若下标不超界，则将e的值赋 给所指定的A的元素，并返回 OK。

10 5.2 数组的顺序表示和实现 类型特点: 1) 只有引用型操作，没有加工型操作； 2) 数组是多维的结构，而存储空间是 一个一维的结构。
5.2 数组的顺序表示和实现 类型特点: 1) 只有引用型操作，没有加工型操作； 2) 数组是多维的结构，而存储空间是 一个一维的结构。 有两种顺序映象的方式: 1)以行序为主序(低下标优先)； 2)以列序为主序(高下标优先)。

11 LOC(i,j) = LOC(0,0) + (b2×i＋j)× L
以“行序为主序”的存储映象 例如： a0,0 a0,1 a0,2 a0,0 a0,1 a0,2 a1,0 a1,1 a1,2 a1,0 a1,1 a1,2 L 二维数组A中任一元素ai,j 的存储位置 LOC(i,j) = LOC(0,0) + (b2×i＋j)× L 称为基地址或基址。

12 推广到一般情况，可得到 n 维数组数据元素存储位置的映象关系
LOC(j1, j2, ..., jn ) = LOC(0,0,...,0) + ∑ ci ji =1 i 其中 cn = L，ci-1 = bi ×ci , 1 < i  n。 称为 n 维数组的映象函数。数组元素 的存储位置是其下标的线性函数。

13 5.3 稀疏矩阵的压缩存储 何谓稀疏矩阵？ 假设 m 行 n 列的矩阵含 t 个非零元素，则称 为稀疏因子。
通常认为   0.05 的矩阵为稀疏矩阵。

14 高阶的稀疏矩阵时产生的问题: 1) 零值元素占了很大空间; 2) 计算中进行了很多和零值的运算， 遇除法，还需判别除数是否为零。
以常规方法，即以二维数组表示 高阶的稀疏矩阵时产生的问题: 1) 零值元素占了很大空间; 2) 计算中进行了很多和零值的运算， 遇除法，还需判别除数是否为零。

15 解决问题的原则: 1) 尽可能少存或不存零值元素； 2) 尽可能减少没有实际意义的运算； 3) 操作方便。 即： 能尽可能快地找到与
下标值(i，j)对应的元素， 能尽可能快地找到同 一行或同一列的非零值元。

16 有两类稀疏矩阵： 1) 特殊矩阵 非零元在矩阵中的分布有一定规则 例如: 三角矩阵 对角矩阵 2) 随机稀疏矩阵 非零元在矩阵中随机出现

17 随机稀疏矩阵的压缩存储方法: 一、三元组顺序表 二、行逻辑联接的顺序表 三、 十字链表

18 一、三元组顺序表 #define MAXSIZE 12500 typedef struct {
int i, j; //该非零元的行下标和列下标 ElemType e; // 该非零元的值 } Triple; // 三元组类型 typedef union { Triple data[MAXSIZE + 1]; int mu, nu, tu; } TSMatrix; // 稀疏矩阵类型

19 如何求转置矩阵？

20 用常规的二维数组表示时的算法 for (col=1; col<=nu; ++col) for (row=1; row<=mu; ++row) T[col][row] = M[row][col]; 其时间复杂度为: O(mu×nu)

21 用“三元组”表示时如何实现？

22 首先应该确定每一行的第一个非零元在三元组中的位置。
cpot[1] = 1; for (col=2; col<=M.nu; ++col) cpot[col] = cpot[col-1] + num[col-1];

23 T.mu = M.nu; T.nu = M.mu; T.tu = M.tu; if (T.tu) {
Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T){ T.mu = M.nu; T.nu = M.mu; T.tu = M.tu; if (T.tu) { for (col=1; col<=M.nu; ++col) num[col] = 0; for (t=1; t<=M.tu; ++t) ++num[M.data[t].j]; cpot[1] = 1; for (col=2; col<=M.nu; ++col) cpot[col] = cpot[col-1] + num[col-1]; for (p=1; p<=M.tu; ++p) { } } // if return OK; } // FastTransposeSMatrix 转置矩阵元素

24 Col = M.data[p].j; q = cpot[col]; T.data[q].i = M.data[p].j; T.data[q].j = M.data[p].i; T.data[q].e = M.data[p].e; ++cpot[col]

25 分析算法FastTransposeSMatrix的时间复杂度：
for (col=1; col<=M.nu; ++col) … … for (t=1; t<=M.tu; ++t) … … for (col=2; col<=M.nu; ++col) … … for (p=1; p<=M.tu; ++p) … … 时间复杂度为: O(M.nu+M.tu)

26 二、行逻辑联接的顺序表 三元组顺序表又称有序的双下标法，它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。然而，若需随机存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。

27 Triple data[MAXSIZE + 1]; int rpos[MAXMN + 1]; int mu, nu, tu;
#define MAXMN 500 typedef struct { Triple data[MAXSIZE + 1]; int rpos[MAXMN + 1]; int mu, nu, tu; } RLSMatrix; // 行逻辑链接顺序表类型

28 例如：给定一组下标，求矩阵的元素值 ElemType value(RLSMatrix M, int r, int c) {
p = M.rpos[r]; while (M.data[p].i==r &&M.data[p].j < c) p++; if (M.data[p].i==r && M.data[p].j==c) return M.data[p].e; else return 0; } // value

29 矩阵乘法的精典算法: for (i=1; i<=m1; ++i) for (j=1; j<=n2; ++j) { Q[i][j] = 0; for (k=1; k<=n1; ++k) Q[i][j] += M[i][k] * N[k][j]; } 其时间复杂度为: O(m1×n2×n1)

30 for (arow=1; arow<=M.mu; ++arow) { // 处理M的每一行 ctemp[] = 0; // 累加器清零
两个稀疏矩阵相乘（QMN） 的过程可大致描述如下： Q初始化； if Q是非零矩阵 { // 逐行求积 for (arow=1; arow<=M.mu; ++arow) { // 处理M的每一行 ctemp[] = 0; // 累加器清零 计算Q中第arow行的积并存入ctemp[] 中； 将ctemp[] 中非零元压缩存储到Q.data； } // for arow } // if

31 if (M.nu != N.mu) return ERROR; Q.mu = M.mu; Q.nu = N.nu; Q.tu = 0;
Status MultSMatrix (RLSMatrix M, RLSMatrix N, RLSMatrix &Q) { if (M.nu != N.mu) return ERROR; Q.mu = M.mu; Q.nu = N.nu; Q.tu = 0; if (M.tu*N.tu != 0) { // Q是非零矩阵 for (arow=1; arow<=M.mu; ++arow) { // 处理M的每一行 } // for arow } // if return OK; } // MultSMatrix

32 处理 的每一行 M ctemp[] = 0; // 当前行各元素累加器清零 Q.rpos[arow] = Q.tu+1;
for (p=M.rpos[arow]; p<M.rpos[arow+1];++p) { //对当前行中每一个非零元 brow=M.data[p].j; if (brow < N.nu ) t = N.rpos[brow+1]; else { t = N.tu+1 } for (q=N.rpos[brow]; q< t; ++q) { ccol = N.data[q].j; // 乘积元素在Q中列号 ctemp[ccol] += M.data[p].e * N.data[q].e; } // for q } // 求得Q中第crow( =arow)行的非零元 for (ccol=1; ccol<=Q.nu; ++ccol) if (ctemp[ccol]) { if (++Q.tu > MAXSIZE) return ERROR; Q.data[Q.tu] = {arow, ccol, ctemp[ccol]}; } // 处理 的每一行 M

33 分析上述算法的时间复杂度 若M是m行n列的稀疏矩阵，N是n行p列的稀疏矩阵， 则M中非零元的个数 M.tu = Mmn，
累加器ctemp初始化的时间复杂度为(M.muN.nu)， 求Q的所有非零元的时间复杂度为(M.tuN.tu/N.mu)， 进行压缩存储的时间复杂度为(M.muN.nu)， 总的时间复杂度就是(M.muN.nu+M.tuN.tu/N.mu)。 若M是m行n列的稀疏矩阵，N是n行p列的稀疏矩阵， 则M中非零元的个数 M.tu = Mmn， N中非零元的个数 N.tu = Nnp， 相乘算法的时间复杂度就是 (mp(1+nMN)) ， 当M<0.05 和N<0.05及 n <1000时， 相乘算法的时间复杂度就相当于 (mp)。

34 三、 十字链表 ^ 1 1 3 1 4 5 ^ ^ 2 2 -1 ^ ^ 3 1 2 ^ ^

35 5.4 广义表的类型定义 ADT Glist { 数据对象：D＝{ei | i=1,2,..,n; n≥0;
ei∈AtomSet 或 ei∈GList, AtomSet为某个数据对象 } 数据关系： LR＝{<ei-1, ei >| ei-1 ,ei∈D, 2≤i≤n} } ADT Glist 基本操作:

36 广义表是递归定义的线性结构， 例如: A = ( ) F = (d, (e)) D = ((a,(b,c)), F)
LS = ( 1, 2, , n ) 其中：i 或为原子 或为广义表 例如: A = ( ) F = (d, (e)) D = ((a,(b,c)), F) C = (A, D, F) B = (a, B) = (a, (a, (a,  , ) ) )

37 例如： 广义表是一个多层次的线性结构 D D=(E, F) E F 其中: E=(a, (b, c)) F=(d, (e)) a ( ) d
( ) d ( ) e b c

38 广义表 LS = ( 1, 2, …, n )的结构特点: 1) 广义表中的数据元素有相对次序；
1) 广义表中的数据元素有相对次序； 2) 广义表的长度定义为最外层包含元素个数； 3) 广义表的深度定义为所含括弧的重数； 注意：“原子”的深度为 0 　“空表”的深度为 1 4) 广义表可以共享； 5) 广义表可以是一个递归的表。 递归表的深度是无穷值，长度是有限值。

39 Head( D ) = E Tail( D ) = ( F )
6) 任何一个非空广义表 LS = ( 1, 2, …, n) 均可分解为 表头 Head(LS) = 1 和 表尾 Tail(LS) = ( 2, …, n) 两部分。 例如: D = ( E, F ) = ((a, (b, c))，F ) Head( D ) = E Tail( D ) = ( F ) Head( E ) = a Tail( E ) = ( ( b, c) ) Head( (( b, c)) ) = ( b, c) Tail( (( b, c)) ) = ( ) Head( ( b, c) ) = b Tail( ( b, c) ) = ( c ) Head( ( c ) ) = c Tail( ( c ) ) = ( )

40 基本操作  结构的创建和销毁  状态函数  插入和删除操作  遍历 InitGList(&L); DestroyGList(&L);
 结构的创建和销毁 InitGList(&L); DestroyGList(&L); CreateGList(&L, S); CopyGList(&T, L); 基本操作  状态函数 GListLength(L); GListDepth(L); GListEmpty(L); GetHead(L); GetTail(L);  插入和删除操作 InsertFirst_GL(&L, e); DeleteFirst_GL(&L, &e);  遍历 Traverse_GL(L, Visit());

41 5.5 广义表的表示方法 通常采用头、尾指针的链表结构 表结点: 原子结点： tag=1 hp tp tag=0 data

42 构造存储结构的两种分析方法: 1) 表头、表尾分析法： 空表 ls=NIL 非空表 ls 指向表尾的指针 tag=1 指向表头的指针
若表头为原子，则为 tag=0 data 否则，依次类推。

43

44    L = ( ) L = ( a, ( x, y ), ( ( x ) ) ) a ( x, y ) ( ) ( ) x L 1
( ) ( ) x L  1 1 1  1 1 0 a  1 0 a

45 …  2) 子表分析法： 空表 ls=NIL 非空表 ls 1 1 1 指向子表1 的指针 指向子表2 的指针 指向子表n 的指针
若子表为原子，则为 tag=0 data 否则，依次类推。

46 例如: LS=( a, (x,y), ((x)) ) ls  a (x, y) ((x))

47 5.6 广义表操作的递归函数 递归函数 一个含直接或间接调用本函数语句的函数被称之为递归函数，它必须满足以下两个条件：
1)在每一次调用自己时，必须是(在某 种意义上)更接近于解; 2)必须有一个终止处理或计算的准则。

48 例如: 梵塔的递归函数 void hanoi (int n, char x, char y, char z) { if (n==1)
move(x, 1, z); else { hanoi(n-1, x, z, y); move(x, n, z); hanoi(n-1, y, x, z); }

49 (PreOrderTraverse(T->lchild, Visit); } } // PreOrderTraverse
二叉树的遍历 void PreOrderTraverse( BiTree T,void (Visit)(BiTree P)) { if (T) { Visit(T->data); (PreOrderTraverse(T->lchild, Visit); (PreOrderTraverse(T->rchild, Visit); } } // PreOrderTraverse

50 如何设计递归函数？ 一、分治法 (Divide and Conquer) (又称分割求解法)
二、后置递归法(Postponing the work) 三、回溯法(Backtracking)

51 分治法的设计思想为: 对于一个输入规模为 n 的函数或问题， 用某种方法把输入分割成 k(1<k≤n)个子集，
从而产生 l 个子问题，分别求解这 l 个问题， 得出 l 个问题的子解，再用某种方法把它们 组合成原来问题的解。若子问题还相当大， 则可以反复使用分治法，直至最后所分得 的子问题足够小，以至可以直接求解为止。

52 在利用分治法求解时，所得子问题的类型常常和原问题相同，因而很自然地导致递归求解。

53 例如: 梵塔问题: Hanoi(n, x, y, z) 将 n 个盘分成两个子集(1至n-1 和 n )，从而产生下列三个子问题：
可递归求解 Hanoi(n-1, x, z, y) 2) 将 n号盘从 x 轴移动至 z 轴； 3) 将1至n-1号盘从y轴移动至z轴； 可递归求解 Hanoi(n-1, x, z, y)

54 又如: 遍历二叉树: Traverse(BT) 将 n 个结点分成三个子集(根结点、左子树 和右子树 )，从而产生下列三个子问题：
1) 访问根结点； 2) 遍历左子树； 可递归求解 Traverse(LBT) 3) 遍历右子树; 可递归求解 Traverse(RBT)

55 广义表从结构上可以分解成 广义表 = 表头 + 表尾 或者 广义表 = 子表1 + 子表2 + ··· + 子表n 因此常利用分治法求解之。 算法设计中的关键问题是，如何将 l 个子问题的解组合成原问题的解。

56 广义表的头尾链表存储表示： typedef enum {ATOM, LIST} ElemTag;
typedef struct GLNode { ElemTag tag; // 标志域 union{ AtomType atom; // 原子结点的数据域 struct {struct GLNode *hp, *tp;} ptr; }; } *GList 表结点 tag=1 hp tp ptr

57 例一 求广义表的深度 例二 复制广义表 例三 创建广义表的存储结构

58 例一 求广义表的深度 广义表的深度=Max {子表的深度} +1 空表的深度 = 1 原子的深度 = 0
将广义表分解成 n 个子表，分别(递归)求得每个子表的深度， 广义表的深度=Max {子表的深度} +1 可以直接求解的两种简单情况为： 空表的深度 = 1 原子的深度 = 0

59 int GlistDepth(Glist L) {
for (max=0, pp=L; pp; pp=pp->ptr.tp){ dep = GlistDepth(pp->ptr.hp); if (dep > max) max = dep; } return max + 1; } // GlistDepth if (!L) return 1; if (L->tag == ATOM) return 0;

60 …  例如: pp pp pp L 1 1 1 for (max=0, pp=L; pp; pp=pp->ptr.tp){
pp->ptr.hp pp->ptr.hp pp->ptr.hp for (max=0, pp=L; pp; pp=pp->ptr.tp){ dep = GlistDepth(pp->ptr.hp); if (dep > max) max = dep; }

61 例二 复制广义表 新的广义表由新的表头和表尾构成。 空表复制求得的新表自然也是空表; 原子结点可以直接复制求得。
例二 复制广义表 将广义表分解成表头和表尾两部分，分别(递归)复制求得新的表头和表尾， 新的广义表由新的表头和表尾构成。 可以直接求解的两种简单情况为： 空表复制求得的新表自然也是空表; 原子结点可以直接复制求得。

62 复制求广义表的算法描述如下: 若 ls= NIL 则 newls = NIL 否则 构造结点 newls, 由 表头ls->ptr.hp 复制得 newhp 由 表尾 ls->ptr.tp 复制得 newtp 并使 newls->ptr.hp = newhp, newls->ptr.tp = newtp

63 Status CopyGList(Glist &T, Glist L) {
if (!L) T = NULL; // 复制空表 else { if ( !(T = (Glist)malloc(sizeof(GLNode))) ) exit(OVERFLOW); // 建表结点 T->tag = L->tag; if (L->tag == ATOM) T->atom = L->atom; // 复制单原子结点 else { } } // else return OK; } // CopyGList 分别复制表头和表尾

64 CopyGList(T->ptr.hp, L->ptr.hp);
CopyGList(T->ptr.tp, L->ptr.tp); // 复制求得表尾T->ptr.tp 的一个副本L->ptr.tp 语句 CopyGList(T->ptr.hp, L->ptr.hp); 等价于 CopyGList(newhp, L->ptr.tp); T->ptr.hp = newhp;

65 例三 创建广义表的存储结构 对应广义表的不同定义方法相应地有不同的创建存储结构的算法。

66 假设以字符串 S = (1, 2, , n ) 的形式定义广义表 L，建立相应的存储结构。
由于S中的每个子串i定义 L 的一个子表，从而产生 n 个子问题，即分别由这 n个子串 (递归)建立 n 个子表，再组合成一个广义表。 可以直接求解的两种简单情况为： 由串( )建立的广义表是空表； 由单字符建立的子表只是一个原子结点。

67 首先分析广义表和子表在存储结构中的关系。
如何由子表组合成一个广义表？ 首先分析广义表和子表在存储结构中的关系。 先看第一个子表和广义表的关系: 指向广义表 的头指针 L 1 指向第一个 子表的头指针

68 再看相邻两个子表之间的关系: 1 1 指向第i个 子表的头指针 指向第i+1个 子表的头指针 可见，两者之间通过表结点相链接。

69 若 S = ( ) 则 L = NIL； 否则，构造第一个表结点 *L， 并从串S中分解出第一个子串1，对应创建第一个子广义表 L->ptr.hp； 若剩余串非空，则构造第二个表结点 L->ptr.tp，并从串S中分解出第二个子串 2，对应创建第二个子广义表 ……； 依次类推，直至剩余串为空串止。

70 void CreateGList(Glist &L, String S) {
if (空串) L = NULL; // 创建空表 else { L=(Glist) malloc(sizeof(GLNode)); L->tag=List; p=L; sub=SubString(S,2,StrLength(S)-1); //脱去串S的外层括弧 } // else } 由sub中所含n个子串建立n个子表;

71 do { sever(sub, hsub); // 分离出子表串hsub=i if (!StrEmpty(sub) { p->ptr.tp=(Glist)malloc(sizeof(GLNode)); // 建下一个子表的表结点*(p->ptr.tp) p=p->ptr.tp; } } while (!StrEmpty(sub)); p->ptr.tp = NULL; // 表尾为空表 创建由串hsub定义的广义表p->ptr.hp;

72 if (StrLength(hsub)==1) {
p->ptr.hp=(GList)malloc(sizeof(GLNode)); p->ptr.hp->tag=ATOM; p->ptr.hp->atom=hsub; // 创建单原子结点 } else CreateGList(p->ptr.hp, hsub); //递归建广义表

73 后置递归的设计思想为:

74 递归的终结状态是，当前的问题可以直接求解，对原问题而言，则是已走到了求解的最后一步。
链表是可以如此求解的一个典型例子。 例如：编写“删除单链表中所有值为x 的数据元素”的算法。

75 分析: 1) 单链表是一种顺序结构，必须从第一个结点起，逐个检查每个结点的数据元素；
2) 从另一角度看，链表又是一个递归结构，若 L 是线性链表 (a1, a2, , an) 的头指针，则 L->next是线性链表 (a2, , an)的头指针。

76 L …  L …  L …  例如: 已知下列链表 a1 a2 a3 an 1) “a1=x”，则 L 仍为删除 x 后的链表头指针
p=L->next L …  a1 a2 a3 an L->next=p->next 2) “a1≠x”，则余下问题是考虑以 L->next 为头指针的链表 L->next L …  a1 a1 a2 a3 an

77 void delete(LinkList &L, ElemType x) { // 删除以L为头指针的带头结点的单链表中
if (L->next) { if (L->next->data==x) { p=L->next; L->next=p->next; free(p); delete(L, x); } else delete(L->next, x); } // delete

78 删除广义表中所有元素为x的原子结点 分析: 比较广义表和线性表的结构特点： 相似处：都是链表结构。 不同处：1)广义表的数据元素可能还是个
广义表； 2)删除时，不仅要删除原子结点， 还需要删除相应的表结点。

79 … … … … void Delete_GL(Glist&L, AtomType x) { //删除广义表L中所有值为x的原子结点
if (L) { head = L->ptr.hp; // 考察第一个子表 if ((head->tag == Atom) && (head->atom == x)) { } // 删除原子项 x的情况 else { }// 第一项没有被删除的情况 } } // Delete_GL … … … …

80 p=L; L = L->ptr.tp; // 修改指针 free(head); // 释放原子结点 free(p); // 释放表结点
1 1 head 0 x p=L; L = L->ptr.tp; // 修改指针 free(head); // 释放原子结点 free(p); // 释放表结点 Delete_GL(L, x); // 递归处理剩余表项

81 if (head->tag == LIST) //该项为广义表 Delete_GL(head, x);
L->ptr.tp L 1 1 head 0 a 1 if (head->tag == LIST) //该项为广义表 Delete_GL(head, x); Delete_GL(L->ptr.tp, x); // 递归处理剩余表项

82 回溯法是一种“穷举”方法。其基本思想为：
假设问题的解为 n 元组 (x1, x2, …, xn)， 其中 xi 取值于集合 Si。 n 元组的子组 (x1, x2, …, xi) (i<n) 称为部分解，应满足一定的约束条件。 对于已求得的部分解 (x1, x2, …, xi) ， 若在添加 xi+1Si+1 之后仍然满足约束条件，则得到一个新的部分解 (x1, x2, …, xi+1) ,之后继续添加 xi+2Si+2 并检查之。

83

84 例一、皇后问题求解 设四皇后问题的解为 (x1, x2, x3, x4), 按回溯法的定义，皇后问题求解过程为：
其中： xi (i=1,2,3,4)  Si={1, 2, 3, 4} 约束条件为：其中任意两个xi 和xj不能位于棋盘的同行、同列及同对角线。 按回溯法的定义，皇后问题求解过程为： 解的初始值为空；首先添加 x1=1, 之后添加满足条件的 x2=3，由于对所有的 x3{1,2, 3, 4}都不能找到满足约束条件的部分解(x1, x2, x3), 则回溯到部分解(x1), 重新添加满足约束条件的x2=4, 依次类推。

85 void Trial(int i, int n) {
// 进入本函数时，在n×n棋盘前i-1行已放置了互不攻 // 击的i-1个棋子。现从第 i 行起继续为后续棋子选择 // 满足约束条件的位置。当求得(i>n)的一个合法布局 // 时，输出之。 if (i>n) 输出棋盘的当前布局; else for (j=1; j<=n; ++j) { 在第 i 行第 j 列放置一个棋子; if (当前布局合法) Trial(i+1, n); 移去第 i 行第 j 列的棋子; } } // trial

86 回溯法求解的算法一般形式： void B(int i, int n) {
// 假设已求得满足约束条件的部分解(x1,..., xi-1)，本函 //数从 xi 起继续搜索，直到求得整个解(x1, x2, … xn)。 if (i>n) else while ( ! Empty(Si)) { 从 Si 中取 xi 的一个值 viSi; if (x1, x2, …, xi) 满足约束条件 B( i+1, n); // 继续求下一个部分解 从 Si 中删除值 vi; } } // B

87 综合几点： 1. 对于含有递归特性的问题，最好设计递归形式的算法。但也不要单纯追求形式，应在算法设计的分析过程中“就事论事”。例如，在利用分割求解设计算法时，子问题和原问题的性质相同；或者，问题的当前一步解决之后，余下的问题和原问题性质相同，则自然导致递归求解。

88 2. 实现递归函数，目前必须利用“栈”。一个递归函数必定能改写为利用栈实现的非递归函数；反之，一个用栈实现的非递归函数可以改写为递归函数。需要注意的是递归函数递归层次的深度决定所需存储量的大小。

89 3. 分析递归算法的工具是递归树，从递归树上可以得到递归函数的各种相关信息。例如：递归树的深度即为递归函数的递归深度；递归树上的结点数目恰为函数中的主要操作重复进行的次数；若递归树蜕化为单支树或者递归树中含有很多相同的结点，则表明该递归函数不适用。

90 例如: n=3的梵塔算法中主要操作move的执行次数可以利用下列递归树进行分析:
move(3, a, b, c) move(2, a, c, b) move(2, b, a, c) move(1, a, b, c) move(1, b, c, a) move(1, c, a, b) move(1, a, b, c) 上图递归树的中序序列即为圆盘的移动操作序列。

91 又如: 求n!的递归函数的递归树已退化为一个单枝树;而计算斐波那契递归函数的递归树中有很多重复出现的结点。
F5 F3 n-1 F4 。。。 F3 F2 。。。 F2 F1 F1 F0 1 F1 F0

92 4. 递归函数中的尾递归容易消除。 例如：先序遍历二叉树可以改写为： void PreOrderTraverse( BiTree T) { While (T) { Visit(T->data); PreOrderTraverse(T->lchild); T = T->rchild; } } // PreOrderTraverse

93 void delete(LinkList &L, ElemType x) { // L为无头结点的单链表的头指针 if (L) {
又如: void delete(LinkList &L, ElemType x) { // L为无头结点的单链表的头指针 if (L) { if (L->data=x) { p=L; L=L->next; free(p); delete(L, x); } else delete(L->next, x);

94 void delete(LinkList &L, ElemType x) {
p=L->next; pre=L; while (p) { if (p->data=x) { pre->next=p->next; free(p); p=pre->next; } else { pre=p; p=p->next; } 可改写为

95 5. 可以用递归方程来表述递归函数的 时间性能。 例如: 假设解n个圆盘的梵塔的执行 时间为T(n) 则递归方程为： T(n) = 2T(n-1) + C， 初始条件为： T(0) = 0

96 1. 了解数组的两种存储表示方法，并掌握数组在以行为主的存储结构中的地址计算方法。
2. 掌握对特殊矩阵进行压缩存储时的下标变换公式。 3. 了解稀疏矩阵的两类压缩存储方法的特点和适用范围，领会以三元组表示稀疏矩阵时进行矩阵运算采用的处理方法。

97 4. 掌握广义表的结构特点及其存储表示方法，读者可根据自己的习惯熟练掌握任意一种结构的链表，学会对非空广义表进行分解的两种分析方法：即可将一个非空广义表分解为表头和表尾两部分或者分解为n个子表。
5. 学习利用分治法的算法设计思想编制递归算法的方法。