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現在我們想要以最少性質來描述這些特殊的四邊形,形成它們的「定義」,進而探討它們之間的包含關係。

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1 現在我們想要以最少性質來描述這些特殊的四邊形,形成它們的「定義」,進而探討它們之間的包含關係。
圖形的包含關係 我們透過推理的方式證明了正方形、長方形、平行四邊形與菱形等特殊四邊形的邊角關係以及它們的對角線性質,但是並未對這些圖形之間的關係進一步的討論。 現在我們想要以最少性質來描述這些特殊的四邊形,形成它們的「定義」,進而探討它們之間的包含關係。 動畫編輯手1 討論問題 根據動畫中三人的說法,請問何者比較符合原先所擬的辦法呢?為什麼?請提出你的理由。

2 電腦社招募新社員須符合以下條件: 只要符合條件2、5、6、7、8就可以了。 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字
圖形的包含關係 只要符合條件2、5、6、7、8就可以了。 電腦社招募新社員須符合以下條件: 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字 4.會上網瀏覽 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 7.會中英文輸入法 8.會製作電腦網頁 歡迎大家踴躍報名! 分析 「會製作電腦網頁」的人,他的中、英文打字與輸入法應該不是問題; 「數理每科85分以上」的人,其數學成績當然會在80分以上; 「語文每科80分以上」的人,其英文成績也必在80分以上; 所以我們可以刪除 2 和 7 的條件

3 只符合「數學成績80分以上」和「會製作電腦網頁」應該也可以。
圖形的包含關係 只符合「數學成績80分以上」和「會製作電腦網頁」應該也可以。 電腦社招募新社員須符合以下條件: 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字 4.會上網瀏覽 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 7.會中英文輸入法 8.會製作電腦網頁 歡迎大家踴躍報名! 分析 可能會招收到一些語文程度不好的社員,所以條件是不夠的。

4 電腦社招募新社員須符合以下條件: 根據以上的討論,如果多選用一個條件,則顯得多餘,但少選用一個條件,則又不夠充分。 1.英文80分以上
圖形的包含關係 根據以上的討論,如果多選用一個條件,則顯得多餘,但少選用一個條件,則又不夠充分。 電腦社招募新社員須符合以下條件: 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字 4.會上網瀏覽 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 7.會中英文輸入法 8.會製作電腦網頁 歡迎大家踴躍報名! 因此在所列的條件中,我們只要選用 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 8.會製作電腦網頁 這三個條件即可涵蓋其他的條件,而足夠當做電腦社招募新會員的條件。 活動心得 「如何以最少的條件、精簡的方法來描述一件事情」,並能了解「條件與條件之間的充分性」。

5 我們都知道「有兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形」,
圖形的包含關係 我們都知道「有兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形」, 我們已證明平行四邊形具有 「兩組對邊等長」和「兩組對角相等」的性質; 也證明了「有兩組對邊等長的四邊形是平行四邊形」或「兩組對角相等的四邊形是平行四邊形」 討論問題 1.兩組對邊平行的四邊形,其兩組對角會相等嗎? 2.兩組對角相等的四邊形,其兩組對邊會平行嗎? 3.兩組對邊相等的四邊形,其兩組對邊會平行嗎? 4.兩組對邊相等的四邊形,其兩組對角會相等嗎? 5.兩組對角相等的四邊形,其兩組對邊會相等嗎?

6 『以最少的條件,精簡的方法來描述一件事情』
圖形的包含關係 因此對平行四邊形而言,「兩組對邊平行」、「兩組對邊等長」和「兩組對角相等」這三個性質是可以互相推得的。 兩組對邊平行 兩組對邊等長 兩組對角相等 事實上,平行四邊形的性質不只這些,但這三個性質中的任何一個,都足以拿來描述一個平行四邊形並當作它的「定義」。 『以最少的條件,精簡的方法來描述一件事情』 不過若以「兩組對邊平行」作為平行四邊形的定義,在描述上不但是充分,而且是最直觀的,所以是最恰當。

7 我們是否可以用更少的性質來描述一個正方形呢?
圖形的包含關係 正方形具有很多的性質。 從圖形本身直觀來看,會有哪些性質呢? 1.兩組對邊平行 2.兩組對邊等長 3.兩組對角相等 4.四邊等長 5.四個內角均為直角 其它性質等等 我們是否可以用更少的性質來描述一個正方形呢?

8 1.「四邊等長」的四邊形是否具有上述的性質1、2、3?為什麼?
圖形的包含關係 1.兩組對邊平行 2.兩組對邊等長 3.兩組對角相等 4.四邊等長 5.四個內角均為直角 討論問題 1.「四邊等長」的四邊形是否具有上述的性質1、2、3?為什麼? 四邊等長的四邊形當然兩邊等長,所以可推得性質1、2、3。 2.「四個內角均為直角」的四邊形是否具有上述的性質1、2、3?為什麼? 四個直角的四邊形,兩組對角也必相等,所以可推得性質1、2、3。 3.根據1、2,用「四邊等長」和「四個內角均為直角」這兩個性質是不是可以充分描述正方形呢?

9 4.如果只用「四邊等長」來描述正方形是不是足夠呢?為什麼?
圖形的包含關係 4.如果只用「四邊等長」來描述正方形是不是足夠呢?為什麼? 不夠;四邊等長的四邊形有可能是菱形,其四個內角不一定是直角,所以不一定是正方形,也就是說,條件不充分。 5.如果只用「四個內角均為直角」來描述正方形是不是足夠呢?為什麼? 不夠;四個直角的四邊形有可能是長方形,其四個邊不一定等長,所以不一定是正方形,也就是說,條件不充分。 從以上討論,不論是具有「四邊等長」或是「四個內角均為直角」的四邊形都會有「兩組對邊等長、兩組對角相等、兩組對邊平行」的性質。

10 菱形 長方形 但是,根據我們過去所學的, 只具有「四邊等長」的四邊形是 只具有「四個內角均為直角」的四邊形 是
圖形的包含關係 但是,根據我們過去所學的, 只具有「四邊等長」的四邊形是 菱形 只具有「四個內角均為直角」的四邊形 長方形 所以只用「四個邊等長」或是只用「四個內角均為直角」來描述一個四邊形為正方形是不夠充分的, 至少必須同時具有「四邊等長」及「四個內角均為直角」才能確定是正方形。

11 平行四邊形 長方形 菱形 正方形 綜合以上的說明,我們以最少性質描述一些特殊的四邊形,並以此作為它們的定義: 1.兩組對邊平行的四邊形為
圖形的包含關係 綜合以上的說明,我們以最少性質描述一些特殊的四邊形,並以此作為它們的定義: 1.兩組對邊平行的四邊形為 平行四邊形 2.有四個直角的四邊形為 長方形 3.四邊等長的四邊形為 菱形 4.四邊等長和四個直角的四邊形為 正方形

12 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形?
圖形的包含關係 例題1 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形? 3 3 (A) (B) 已知有三個內角是直角,故可推知第四個內角也必是直角,所以「有四個直角的四邊形為長方形」。 已知有三個內角是直角,故可推知第四個內角也必是直角,又兩鄰邊等長,故可推知四邊均相等,所以「四邊等長和有四個直角的四邊形為正方形」。

13 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形?
圖形的包含關係 隨堂練習 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形? 920 880 (B) 870 930 4 (A) (A)第四個內角為 3600-870-930-930=870;又兩鄰邊等長,故可推知四邊均相等,所以「四邊相等的四邊形為菱形」。 (B)第四個內角為 3600-880-920-920=880;故兩組對角相等,可推知兩組對邊平行,所以「兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形」。

14 若一菱形有一個內角是直角,請問它會是哪一種四邊形?為什麼?
圖形的包含關係 例題2 若一菱形有一個內角是直角,請問它會是哪一種四邊形?為什麼? 因為菱形具有「四邊等長」的性質,故可推得 「兩組對角相等」 如果其中有一內角是直角,則可推得 「四個內角均為直角」 根據正方形的定義 「四邊等長和有四個直角的四邊形為正方形」 故可得知,若一菱形中有一內角是直角,則此菱形便會是正方形 GSP

15 若一長方形中至少有一組鄰邊等長,請問它會是哪一種四邊形?為什麼?
圖形的包含關係 隨堂練習 若一長方形中至少有一組鄰邊等長,請問它會是哪一種四邊形?為什麼? 因為長方形具有「四個直角」,故「兩組對角相等」,所以可推得 「兩組對邊等長」 現又一組鄰邊等長,則可推得 「四邊皆等長」 根據正方形的定義 「四邊等長和有四個直角的四邊形」 故可得知,若一長方形中至少有一組鄰邊等長,則此長方形會是正方形。 GSP

16 除了四邊形以外,對於生活中的一些特殊圖形,我們也可以學習用最少的性質來描述。
圖形的包含關係 除了四邊形以外,對於生活中的一些特殊圖形,我們也可以學習用最少的性質來描述。 例題3 袁太請小梅從圖鑑中幫忙找一種特別的窗形圖案,並提出這種窗形圖案的許多特徵: 小梅,麻煩妳幫我找一種特別的窗形圖案,它必須有以下的條件: (1)由三邊直線段和一個半圓弧組成。 (2)一組對邊等長。 (3)一組對邊平行。 (4)兩個角。 (5)半圓直徑和底邊等長。 (6)一組鄰角互補。 (7)兩個直角。

17 (1)請問上面的圖案中,有哪些符合袁太的條件?
圖形的包含關係 (1)由三邊直線段和一個半圓弧組成。 (4)兩個角。 (7)兩個直角。 (2)一組對邊等長。 (5)半圓直徑和底邊等長。 (3)一組對邊平行。 (6)一組鄰角互補。 小梅大略地找出下面的圖案: (B) (C) (D) (E) (A) (G) (F) (1)請問上面的圖案中,有哪些符合袁太的條件? 只有(E) 、(F)都符合袁太的條件;(A) 、(B) 、(C)對邊沒有平行或兩個直角, (G)對邊不等長,所以不是袁太所要的圖案。

18 (2)請用最少的特徵來描述袁太所要的圖形。
圖形的包含關係 (1)由三邊直線段和一個半圓弧組成。 (2)一組對邊等長。 (E) (3)一組對邊平行。 (4)兩個角。 (F) (5)半圓直徑和底邊等長。 (6)一組鄰角互補。 (7)兩個直角。 (2)請用最少的特徵來描述袁太所要的圖形。 有兩個角 因為由兩個直角 一組鄰角互補 一組對邊平行 所以袁太想要的圖案最少特徵為 「具有三邊直線段及一個半圓弧,且其中一組對邊等長,兩個直角的窗形圖案。」

19 將下圖視為同一類型的窗形圖案,請用最少的特徵來描述它們。
圖形的包含關係 隨堂練習 將下圖視為同一類型的窗形圖案,請用最少的特徵來描述它們。 「具有三邊線段、一個半圓弧、其中一組對邊平行且等長」的窗形圖案。

20 在電腦社招生的活動中,我們可以將袁太所擬的招募條件簡化成「語文每科80分以上」、「數理每科85分以上」與「會製作電腦網頁」三項。
圖形的包含關係 圖形的包含關係 在電腦社招生的活動中,我們可以將袁太所擬的招募條件簡化成「語文每科80分以上」、「數理每科85分以上」與「會製作電腦網頁」三項。 現有甲、乙、丙三人前來報名,他們的條件如下: 甲生 乙生 丙生 英文75分 數理每科均在85分以上 會製作電腦網頁 語文每科均在80分以上 會寫Java程式 請問哪幾位有資格參加電腦社呢? 編輯手圖形包含關係2

21 探索活動 下面為一些特殊四邊形的性質表,請勾選出該四邊形所具有的性質。 四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
圖形的包含關係 探索活動 下面為一些特殊四邊形的性質表,請勾選出該四邊形所具有的性質。 四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 兩組對邊平行 兩組對邊等長 兩組對角相等 四 邊 等 長 四 個 直 角 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

22 四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 兩組對邊平行 兩組對邊等長
圖形的包含關係 四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 兩組對邊平行 兩組對邊等長 兩組對角相等 四 邊 等 長 四 個 直 角 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 長方形、正方形、和菱形都具有「兩組對邊平行」的性質,都符合平行四邊形的定義,所以它們都是平行四邊形。 正方形具有「四個直角」的性質,符合長方形的定義,所以正方形也是長方形的一種。 正方形也具有「四邊等長」的性質,符合菱形的定義,所以正方形也是菱形的一種。

23 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖中哪些圖形是長方形?
圖形的包含關係 例題4 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖中哪些圖形是長方形? 2.7 2.7 2.5 (A) (B) (C) (D) (E) 根據長方形的定義「有四個直角的四邊形為長方形」,所以可推得(A) 、(B) 、(C) 、(E)均為長方形。 因為 (A)已有三個直角,所以第四個內角必為直角。 (B)因為同側內角互補(900+900=1800) ,所以對邊平行,又此組對邊等長,故必為平行四邊形,又已有兩個直角,所以四個內角必為直角。 (C)理由同(B)會有四個直角。 (D)內角並非直角,所以不是長方形。 (E)四邊等長,所以是為菱形,又已知一內角900,所以四個角必為直角。

24 動動腦 (C) (E) 有人把圖(C)和圖(E)的四邊形叫做長方形,你覺得恰當嗎?為什麼?
圖形的包含關係 動動腦 (C) 2.7 (E) 2.5 有人把圖(C)和圖(E)的四邊形叫做長方形,你覺得恰當嗎?為什麼? 可以,因為正方形具有四個直角,符合長方形的定義,所以正方形也可以算是長方形的一種。但為了達到更精確的溝通,稱為正方形較為恰當

25 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖中哪些圖形是菱形?
圖形的包含關係 隨堂練習 請根據所給定的邊角數據,判斷下圖中哪些圖形是菱形? (A) (B) (C) (D) 圖(A) 、(C) 、(D)均可推得該四邊形中四邊等長,故圖(A) 、(C) 、(D)為菱形。

26 綜合前面的說明,我們可以用下圖來表示平行四邊形、長方形、菱形、和正方形等圖形之間的「包含關係」。
圖形的包含關係 綜合前面的說明,我們可以用下圖來表示平行四邊形、長方形、菱形、和正方形等圖形之間的「包含關係」。 平行四邊形 長方形 菱形 正方形 從上圖中,可以明顯看出正方形包含於長方形之中,所以正方形是長方形的一種; 同理,正方形也包含於菱形之中,故正方形也 是菱形的一種; 而不論正方形、長方形或菱形,它們均包含於 平行四邊形之中, 也就是說,正方形、長方形、菱形都是平行四邊形的一種。

27 當我們了解正方形、長方形、菱形和平行四邊形之間的包含關係後,便可以利用這種「包含關係」來進行幾何推理。
圖形的包含關係 當我們了解正方形、長方形、菱形和平行四邊形之間的包含關係後,便可以利用這種「包含關係」來進行幾何推理。 我們知道一些四邊形的對角線性質如下: 例題5 (1)平行四邊形的兩對角線會 。 互相平分 (2)長方形的兩對角線會 。 互相平分且等長 (3)菱形的兩對角線會 。 互相平分且垂直 在下面的五個四邊形中,請根據所給定的邊角數據,判斷它們的兩條對角線具有哪些性質,並完成下表。 3 2.8 1200 600 5 6.3 2.5 3

28 (A)因為一組對邊平行(同側內角互補)且等長,又有兩個直角,所以可推得是長方形,故對角線互相平分且等長。
圖形的包含關係 3 (A) 2.8 (E) 1200 600 5 (C) 6.3 2.5 (D) 3 (B) (A) (B) (C) (D) (E) 互相平分 等長 互相垂直 圖形編號 對角線性質 ˇ ˇ (A)因為一組對邊平行(同側內角互補)且等長,又有兩個直角,所以可推得是長方形,故對角線互相平分且等長。

29 (C)因為一組對邊平行且等長,故為平行四邊形所以對角線互相平分。
圖形的包含關係 (A) (B) (C) (D) (E) 互相平分 等長 互相垂直 圖形編號 對角線性質 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 (B) (B)因為四邊等長,故為菱形。又有一個直角,所以可推得四個內角均為直角,所以是正方形,因為正方形既是菱形,也是長方形,故對角線會互相平分、等長且垂直。 1200 600 5 (C) (C)因為一組對邊平行且等長,故為平行四邊形所以對角線互相平分。

30 (D)因為兩組對邊等長,故為平行四邊形,又有一個直角,則可推得四個內角均為直角,所以是長方形,故對角線互相平分且等長。
圖形的包含關係 (A) (B) (C) (D) (E) 互相平分 等長 互相垂直 圖形編號 對角線性質 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 6.3 2.5 (D) (D)因為兩組對邊等長,故為平行四邊形,又有一個直角,則可推得四個內角均為直角,所以是長方形,故對角線互相平分且等長。 2.8 (E) (E)因為四邊等長,故為菱形,所以對角線互相平分且垂直。

31 討論問題 請討論下列敘述是否正確。如果不正確,請說明理由。 (1)若某四邊形為長方形,則此四邊形的兩對角線會互相平分。 ˇ
圖形的包含關係 討論問題 請討論下列敘述是否正確。如果不正確,請說明理由。 (1)若某四邊形為長方形,則此四邊形的兩對角線會互相平分。 ˇ □ 正確 □ 不正確,理由: (2)若某四邊形的兩對角線互相平分,則此四邊形為長方形。 □ 正確 □ 不正確,理由: ˇ 可能是平行四邊形 (3)若某四邊形為菱形,則此四邊形的兩對角線會互相垂直。 ˇ □ 正確 □ 不正確,理由: (4)若某四邊形的兩對角線互相垂直,則此四邊形為菱形。 □ 正確 □ 不正確,理由: ˇ 只是對角線垂直,不一定是菱形 如右上圖。

32 由討論問題中,我們知道「長方形的兩條對角線會互相平分」,但是「兩對角線互相平分的四邊形不全是長方形」,如下圖:
圖形的包含關係 由討論問題中,我們知道「長方形的兩條對角線會互相平分」,但是「兩對角線互相平分的四邊形不全是長方形」,如下圖: 這兩個四邊形其對角線皆互相平分,但不一定是長方形。 又「菱形的兩條對角線會互相垂直」但是「兩對角線互相垂直的四邊形不全為菱形」,如下圖: 這兩個四邊形其對角線皆互相垂直,但不見得就是菱形。 通常在數學上,我們將一個能判斷真或偽的敘述稱為「命題」。 由以上例題你能察覺什麼嗎? 敘述與逆敘述不一定同時成立

33 請判斷下列敘述是否正確。如果不正確,請說明理由。
圖形的包含關係 隨堂練習 請判斷下列敘述是否正確。如果不正確,請說明理由。 (1)若兩個三角形全等,則這兩個三角形面積相等。 ˇ □正確 □不正確,理由: (2)若兩個三角形面積相等,則這兩個三角形全等。 □正確 □不正確,理由: ˇ (3)若a=0,則ab=0 □正確 □不正確,理由: ˇ 兩三角形同底等高面積相等,但是沒有全等。 (4)若ab=0,則a=0 □正確 □不正確,理由: ˇ 若a=5,b=0,則ab=0

34 已知下圖ABCD為任意四邊形,且E、F、G、H分別為線段AB、線段BC、線段CD、線段DA的中點。
圖形的包含關係 例題6 已知下圖ABCD為任意四邊形,且E、F、G、H分別為線段AB、線段BC、線段CD、線段DA的中點。 A 求證:四邊形EFGH為平行四邊形 E H 問題分析 B D 要證明EFGH為平行四邊形,可先要證明 EH//FG 且 EH=FG F G C 證明 連接對角線BD 在△ABD中,∵EH為兩腰中點連線 ∴EH//BD,且EH= BD 1 2 (根據「三角形兩腰中點連線性質」) 同理,在△BCD中,FG//BD,且FG= BD 1 2 ∴EH//FG且EH=FG,∴四邊形EFGH為平行四邊形

35 討論問題 從例題的推導的結果,我們得知「四邊形的四邊中點連線為平行四邊形」是對的,那麼「菱形的四邊中點連線會不會也是平行四邊形呢?」
圖形的包含關係 討論問題 從例題的推導的結果,我們得知「四邊形的四邊中點連線為平行四邊形」是對的,那麼「菱形的四邊中點連線會不會也是平行四邊形呢?」 如果會,那麼我們需不需要再做一次證明呢?請提出你的理由。 因為菱形是四邊形的一種,所以由四邊形所發展出來的性質(四邊形中點連線為平行四邊形)菱形也當然會有,因此無須再做進一步的檢驗或證明。 菱形四邊中點連線是 長方形

36 承例題及討論問題的結果,下圖中哪些圖形的各邊中點連線也會是平行四邊形?如果真的不能確定,可畫畫看檢驗一下。
圖形的包含關係 隨堂練習 承例題及討論問題的結果,下圖中哪些圖形的各邊中點連線也會是平行四邊形?如果真的不能確定,可畫畫看檢驗一下。 (A) (B) (C) (D) (E) (F) (A) ~ (F)均為四邊形,所以四邊形中點連線均為平行四邊形。

37 補充說明 「三角形兩腰中點連線性質」 已知:△ABC中,D為AB的中點,E為AC的中點 求證:DE//BC且DE= BC 1 2 A B C
圖形的包含關係 補充說明 「三角形兩腰中點連線性質」 已知:△ABC中,D為AB的中點,E為AC的中點 求證:DE//BC且DE= BC 1 2 A B C E F D 證明: 在DE的延長線上取一點F 使EF=DE,並連接DC、AF、CF ∵AE=EC,DE=EF ∴ADCF為平行四邊形 (兩對角線互相平分) ∴AD//CF,AD=CF 又AD=DB ∴DB=CF,且DB//CF ∴DBCF為平行四邊形 (一組對邊平行且相等) ∴ DF//BC,DF=BC DE= DF= BC 1 2 ∴DE//BC,

38 已知:ABCD為平行四邊形,O為兩對角線AC、BD的交點。
圖形的包含關係 例題7 已知:ABCD為平行四邊形,O為兩對角線AC、BD的交點。 求證:任意一條通過O點的直線EF,必平分此平行四邊形 的面積。 D F C 從結果到已知 問題分析 O 四邊形ADFE面積=四邊形BCFE面積 A B E 即四邊形ADFE面積=四邊形BCFE面積 = ABCD面積 1 2 一對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形 △ABD △CDB ∴△ABD面積=△CDB面積= 平行四邊形ABCD面積 1 2 ∴ 四邊形ADFE面積=四邊形BCFE面積=△ABD面積

39 ∴四邊形ADFE面積=△DOF面積+四邊形ADOE面積
圖形的包含關係 證明 D F C 在△DOF和△BOE中 1 3 ∵ AB//CD ∴∠1=∠2 (內錯角) O 4 又 OD=OB (兩對角線互相平分) 2 A B 且∠3=∠4 (對頂角) E ∴△DOF △BOE (ASA) ∴四邊形ADFE面積=△DOF面積+四邊形ADOE面積 =△BOE面積+四邊形ADOE面積 =△ABD面積 ∵△ABD= 平行四邊形ABCD面積 1 2 (BD為對角線) ∴四邊形ADFE面積= 平行四邊形ABCD面積 1 2 同理可證,四邊形BCFE面積= 平行四邊形ABCD面積 1 2 ∴四邊形ADFE面積=四邊形BCFE面積

40 承例題7,下圖中哪些圖形也會具有上述的性質?如果真的不能確定,可畫畫看檢驗一下。
圖形的包含關係 隨堂練習 承例題7,下圖中哪些圖形也會具有上述的性質?如果真的不能確定,可畫畫看檢驗一下。 (E) (D) (B) (C) (A) 根據例題7得知,「任意一條通過平行四邊形兩對角線交點的直線,必平分此平行四邊形的面積」。 所以只要檢驗上列圖形是否為平行四邊形即可。 GSP (A)兩組對角相等∴是平行四邊形 (D)一組對角不相等∴不是平行四邊形 (B)一組對邊相等且平行∴是平行四邊形 (C)四個內角是直角∴是長方形 (E)兩組對邊相等∴是平行四邊形

41 討論問題 在例題7中,我們已證得「任意一條通過平行四邊形兩對角線交點的直線,必平分此平行四邊形的面積」,請問:
圖形的包含關係 討論問題 在例題7中,我們已證得「任意一條通過平行四邊形兩對角線交點的直線,必平分此平行四邊形的面積」,請問: (1)任意一條通過菱形兩對角線交點的直線,會不會平分此菱形的面積呢?如果會,那需不需要再做一次證明呢?說出你的理由。 ∵菱形是平行四邊形的一種 ∴平行四邊形所衍生的性質,菱形也會有,因此無需檢驗或證明就可以確認。 (2)任意一條通過梯形兩對角線交點的直線,會不會平分此梯形的面積呢? GSP ∵梯形不是平行四邊形 ∴平行四邊形所衍生的性質,梯形不一定會有,因此必須檢驗或證明,進一步確認才行。

42 圖形的包含關係 自我評量 1.有一個平行四邊形,已知其中至少有一個內角是直角,請問它會是哪一種四邊形呢?為什麼? 長方形 ∵平行四邊形具有「兩組對角相等」和「鄰角互補」的性質,如果已知有一平行四邊形中至少有一內角為直角,則四個角必都為直角,而有四個直角的平行四邊形必為長方形。 GSP

43 2.具有下列性質的四邊形,我們稱為「箏形」:
圖形的包含關係 2.具有下列性質的四邊形,我們稱為「箏形」: (1)兩組鄰邊相等 (2)一組對角相等 (3)內角均小於180度 (4)對角線互垂直 (5)至少一條對角線被另一條對角線平分 (6)一條對角線可將它分割成兩個等腰三角形 (7)具有線對稱 (C) (D) (E) (A) (B) (F) (1)上圖(A)~(F)中,有哪些圖形是箏形呢? (A) 、(C) 、(D) (2)請在上述7條性質中,找出最少的性質來「定義」箏形。 「兩組鄰邊相等」且「內角均小於180度」的四邊形為箏形。

44 3.有一個四邊形,既是長方形,又是菱形,它會是哪一種四邊形呢?為什麼?
圖形的包含關係 3.有一個四邊形,既是長方形,又是菱形,它會是哪一種四邊形呢?為什麼? ∵四邊形是長方形,其必有四個直角; 又為菱形,其四邊必相等。 根據正方形的定義 「四邊等長和有四個直角的四邊形為正方形」 故可得知,若四邊形既是長方形,又是菱形,則此四邊形會是正方形。 4.請判斷下列敘述是否正確。如果不正確,請說明理由。 (1)若菱形具有某種性質R,則正方形也一定具有性質R。 □正確 □不正確 ,理由: ˇ (2)若正方形具有某種性質Q,則菱形也一定具有性質Q。 □正確 □不正確 ,理由: ˇ 正方形具有四個直角,菱形則沒有。

45 5.如果長方形具有某種性質 p,請問下面哪些四邊形也一定具有這個性質?為什麼?
圖形的包含關係 5.如果長方形具有某種性質 p,請問下面哪些四邊形也一定具有這個性質?為什麼? 5 (B) 2.7 (A) 3 (D) (E) (C) (A) ~ (D)均可推得有4個直角,故(A) 、(B) 、(C) 、(D)均為長方形,所以也具有性質 p。


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