第十四章 数理统计方法 §14.1 数理统计的基本概念 §14.2 参数的点估计 §14.3 区间估计 §14.4 回归分析 返回.

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1 第十四章 数理统计方法 §14.1 数理统计的基本概念 §14.2 参数的点估计 §14.3 区间估计 §14.4 回归分析 返回

2 §14.1 数理统计的基本概念 一、总体与样本 称研究对象的全体为总体，组成总体的每个基本单元称为个体．
§14.1 数理统计的基本概念 一、总体与样本 称研究对象的全体为总体，组成总体的每个基本单元称为个体． 在一个总体 中，抽取 个个体 ，称为总体 的一个样本，样本所含个体的数目 称为样本容量．

3 样本 是从总体 中随机抽取出来的可能结果，是 个随机变量，但在一次抽取后，它们都是具体的数值，记作 ，称为样本的观测值，简称样本值．
如果总体中每个个体被抽到的机会是均等的，并且每次抽取时总体中的成分不变，这样抽取个体的方法，称为简单随机抽样．由简单随机抽样得到的样本，称为简单随机样本．

4 简单随机样本具有以下两个性质： （1）独立性：即 中，各个随机变量的取值互不影响，这时，我们称 是相互独立的随机变量． （2）代表性：即 中的每一个都与总体X有相同的概率分布．

5 总体、个体、样本和简单随机样本比较： 直观理解 数学本质 总体 研究对象的全体 随机变量X（指某个数量指标） 个体 组成总体的每个基本单元
与总体同分布的某个随机变量Xi 样本 从总体抽出的n个个体 n个随机变量X1，X2，…，Xn 简单随机样本 重复随机抽取所得的样本 n个相互独立且与总体X同分布 的随机变量X1，X2，…，Xn

6 二、样本的数字特征 1．样本均值和样本方差 设 是总体 的容量为 的样本，则称： 为样本均值． 　　　　　　　　　为样本方差．称样本方差　的算术平方根　为样本标准差．

7 对于一组样本值　　　　　　　，样本均值 表示数据集中的位置，样本方差 刻划了数据对均值　的离散程度，　越大，数据越分散，波动越大；　越小，数据越集中，波动越小．

8 例1 从某总体中抽取一个容量为5的样本，测得样本值为
求样本均值和样本方差． 解 ：

9 2．对总体均值和总体方差的点估计 用样本均值的观测值 作为总体均值 的估计值，用样本方差的观测值 作为总体方差 的估计值．这就是对总体均值和总体方差的点估计． 例2 某厂生产螺母，从某日的产品中随机抽取8件，量得内径的毫米数如下： 试估计该日生产的这些螺母内径的均值和标准差．

10 解 : 即螺母内径的均值估计为14.96毫米，标准差估计为0.25毫米.

11 三、统计量 1．统计量 若 是取自总体的一个样本，则称样 本的不包含任何未知参数的连续函数。 为统计量 。 如 都是统计量 。 ，

12 由于 都是随机变量，所以统计量也是 随机变量。 取定一组值 时，就得到了统计量 的一个观测值 而当 2．样本矩 设 是从总体X中抽取出来的一个样本， 称统计量。

13 为k阶样本原点矩．称统计量 为k阶样本中心矩 。 其中 是样本均值．显然，样本均值是一阶原点矩， 但样本方差不是二阶中心矩． 3．统计量的分布

14 （1） 一分布 设 是取自标准正态总体 。N（0，1）的 一个样本，则统计量 的分布密度为

15 称统计量 服从自由度为n的分布 ，记作 ~ （n）。 其中 是 Γ— 函数在 处 的函数值。 为 分布的图形与自由度n有关（见图14-1）， 的点 （n）分布的上100百分位点， 其中f（t）是 （n）分布的概率密度（见图14-2）． 对于给定的正数: 0< <1称满足式

16 定理14.1 设 是取自正态总体N（ ， ） 的一个样本，则 ① 样本均值 ~ N（ ， ） ② 统计量 ； ③ 与 相互独立．

17 定理14.2 设 是取自标准正态总体 N(0,1)的一个样本，则 ① ~ N（0，1/n）； ② ~ （n-1）； ③ 与Q相互独立．

18 例3 已知某单位职工的月奖金服从正态分布，总体均值
为200，总体标准差为40，从该总体中抽取一个容量 192~210的概率． 为20的简单随机样本， 求这一样本的均值介于 解 因为X ~ N（200，402），n=20，所以 E（ ）=200，D（ ）= 故 ~ N（200，80）．因此

19 =2Φ（1.118）－1=0.8686×2－1=0.737 即样本的均值介于192~210的概率是0.737。 （2）t—分布 设X与Y是两个相互独立的随机变量，且 X~ N（0，1），Y~ （n），

20 则统计量 的概率密度为 （－∞< x <＋∞） …… 称统计量 服从自由度为n的t—分布， 记作T~ t（n）。

21 t—分布的概率密度函数图形（见图14-3） 关于x=0对称， 且形状类似于正态概率密度的图形。 对于给定的正数：0< <1，称满足式 的点 为t—分布的上 百分位点， 其中 f（t）是t—分布的概率密度（见图14-4）。 定理14.3 设X1，X2，…，Xn（n≥2）是取自正态总体 N（ ， ）的一个样本，则

22 N（ ， ） 定理14.4 设X与Y是两个相互独立的随机变量 ， X1，X2，…，Xn1 是取自正态总体 N（ ， ）的一个 样本，Y1，Y2，…，Yn2 是取自正态总体 的一个样本 ，则随机变量

23 其中 与 分别是两总体的样本均值 ， 与 分别是 两总体的样本方差 ， 与 分别是两总体的样本容量。 特别地，当 = = n 时，有

24 （3）F—分布 若随机变量X1 ~ （ ），X2 ~ （ ），且X1与X2 相互独立，则统计量 的概率密度函数为

25 称统计量 服从第一自由度为 ，第二自由 度为 的F—分布，记作F ~ F（ ， ）即 ~ F（ ，） F—分布的图形与 、 有关（见图14-5）。 对于给定的正数 ：0 < <1，称满足式

26 的点 为F—分布的上 百分位点，其中 f（t）是F—分布的概率密度 （见图14-6）。 定理 设X1，X2，…，Xn1是取自正态总体 N（ ， ）的一个样本，Y1，Y2，…， Yn2是取自 正态总体N（ ， ）的一个样本，且X与Y相互独立 ， 则随机变量 其中 与 分别是两总体的样本方差， 与 分别 是两总体的样本容量 。

27 §14.2 参数的点估计 量为参数 的一个估计量，当x1，x2，…，xn为一组 设 为总体X的待估计参数，X1，X2，…，Xn 是总体X的一个样本 。构造一个统计量 作为 参数的一个估计，称统计 就是 的一个点估计 值。 样本值时，则

28 x1，x2，…，xn为总体X的一组样本值， 样本的k阶
一、矩估计 （k=1，2，…，m）中也包含了未知参数 设总体X的分布中包含参数 , 则其分 布函数可以表示成 。 显然它的k阶原 点矩 ，即 ，又设 （k=1，2，…，m），按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则 x1，x2，…，xn为总体X的一组样本值， 样本的k阶 原点矩为

29 建立方程， 即有

30 由上面m个方程，解出m个未知参数（ ）就是
（ ）的矩估计量． 例2 设某种灯泡的寿命X ~ N（ ，），其中 和 未知， 今随机抽取5只灯泡，测得寿命（单位：h）分别为 求 和 的估计值． 解 根据例1的结论，得

31 L（ ，x1，x2，…，xn）= 即 和 的估计值分别为 =1492， =14762.4。 二、最大似然估计
即 和 的估计值分别为 =1492， = 。 二、最大似然估计 设x1，x2，…，xn是来自密度为f（x；）的一个样本, 是未知参数，称 f(X1； ) f(X2； ) … f(Xn； ) 为 的似然函数，记作L（ ，x1，x2，…，xn）,即 L（ ，x1，x2，…，xn）= f（x1；）f（x 2；）…f（x n；）

32 由于样本值x1，x2，…，xn是常数，因此L是参数的函数
使似然函数L(x1，x2，…，xn； ）达到最大值的估计 称为参数 最大似然估计量．记作 = （x1，x2，…，xn） 例4 设总体X的分布为指数分布，其密度为

33 L（X1，X2，…，Xn； ） = f（X1； ）f（X2； ）…f（Xn； ） 其中λ为未知参数．设X1，X2，…，Xn是来自总体X的
一个样本，求参数λ的最大似然估计。 解 似然函数为 L（X1，X2，…，Xn； ） = f（X1； ）f（X2； ）…f（Xn； ） 取对数，得 ……

34 解方程…… 故参数λ的最大似然估计量为 三、估计的评价标准 1．无偏性 定义14.1 如果参数 的估计量（X1，X2，…，Xn）满足： E（ ）=

35 则称 为 参数的无偏估计量 。 例7 证明 （ ，i=1，2，…，n，且 ） 是总体均值 的无偏估计量． 证 因为 所以 是 的无偏估计量． 2．有效性

36 定义14.2 若 ，都是的无偏估计，而且D（ ）< D（ ）
则称 比 更有效． 样本均值 （ i=1，2，…，n，且 ， ） 与 都是总体均值的无偏估计量，验算它们的方差可知比更有效。 例9 若总体X服从泊松分布 …… k=0，1，2，…

37 对于容量为n（n>2）的样本X1，X2，…，Xn，
证明： 比 有效。 证 因为E（Xi）=λ， 所以E（ ）=λ，E（ ）=λ， 即 与 都是λ的无偏估计．但是D（ ）=λ/n， D（ ）=λ/2，所以比有效． 从上面两个评定估计量好坏的标准可知：方差最小的无

38 偏估计是一个“最佳”的估计．可以证明： N（ ，），则样本均值 = 与样本方差 是总体均值 与 总体方差的最小 方差无偏估计。 率p的最小方差无偏估计；（2）若总体X服从正态分布 （1）频率 是概

39 §14.3 区间估计 一、置信区间与置信度 是各次独立的，且都遵从N（0， ） 例1 设X1，X2，…，Xn是物体长度的测量值，已知误差
§14.3 区间估计 一、置信区间与置信度 是各次独立的，且都遵从N（0， ） 例1 设X1，X2，…，Xn是物体长度的测量值，已知误差 εi（i=1，2，…，n） 其中是已知的常数，问以99%的把握可以断言长度的真值 在什么范围内？

40 解 因为测量值xi =+εi，根据期望和方差的性质，有E（xi）= ，D（xi）= D（εi），
以X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量，即 Xi ~ N（ ， ）， 于是 的点估计量 = 就服从正态分布N（ ， ）， 由正态分布的性质可知

41 也即以0.95的概率断言不等式 成立，此不等式 这样就获得了长度真值的一个估计区间，该区间称为置信 真值 的偶然情况，出现这种偶然情况的概率有5% （即1-95%）。 就是 或写成 。 度为95%的置信区间．当然，也可能碰上这个区间不包含 完全类似，有以99%的把握（概率）断言真值 。

42 为参数 的置信度为1－ 的置信 定义14.3 设X1,X2,…,Xn是分布密度为f（x；）的 一个样本， 对给定的0< <1，如果能求得两个统计量 （X1，X2，…，Xn）与 (X1，X2，…，Xn)使得 则称1－ 为置信度，称区间 [（X1，X2，…，Xn）， P[ (X1，X2，…，Xn)≤ ≤ (X1，X2，…，Xn)]=1－ 区间．置信度简称为信度，置信度为1－ 的 置信区间在 （X1，X2，…，Xn）]

43 不至于混淆时也简称为置信区间。 求置信区间的步骤如下： 1．明确问题：明确要估计的参数，确定置信度； 2．用参数的点估计，导出估计量的分布； 3．利用估计量的分布给出置信区间． 二、数学期望的区间估计 1．已知方差 ，对 期望进行区间估计 设X1，X2，…，Xn为总体N（ ， ）的一个样本，

44 其中 未知， （已知），所以 = ~ N（ ， ） 即 对于给定的置信度1－ ，存在 ， ， 使得 即所求期望的的置信度为1－ 的置信区间为

45 例2 从正态总体N（ ，4）中抽取容量为4的样本，
样本均值为 = =13.2．求的置信度为0.95的置信 区间。 解 因为1－ =0.95，所以 =0.05，查正态分布数值表， 故， 于是

46 即 的置信度为0.95的置信区间是（9.28，17.12） 2.未知方差 ，对期望 进行区间估计 设X1，X2，…，Xn为总体N（ ， ）的一个样本， 由于方差 未知，用 的无偏估计样本方差 来估计 , 并且由定理12.3可知

47 对于给定的置信度1－ ，存在 , （见图14-8），使得 故所求期望的的置信度为1－ 的置信区间为

48 例3 用某仪器测量温度，重复5次，得 ， ， ， 若测得的数据 服从正态分布，试求温度真值所在的范围?( =0.05） 解 在总体方差未知的情况下，总体均值（温度 真值）的置信区间是

49 查t—分布表可知 计算知 = =1259， 所以

50 三、方差 的区间估计 故温度真值的置信度为0.95的置信区间是 （1244.2， 1273.8）.
三、方差 的区间估计 当总体N（ ， ）的参数未知时,方差 的置信度

51 1－ 的置信区间为 (见图14-9)

52 §14.4 回归分析 由一个（或一组）非随机变量来估计或预测某一个 随机变量的观测值时，所建立的数学模型和所进行的统
§14.4 回归分析 由一个（或一组）非随机变量来估计或预测某一个 随机变量的观测值时，所建立的数学模型和所进行的统 计分析,称为回归分析 .如果这个模型是线性的 ,就称为 线性回归分析．研究两个变量间的相关关系的回归分析， 称为一元回归分析.

53 yi=f(xi )+ε 一、元线性回归分析 用以近似地描述具有相关关系的变量间的联系的 函数，称为回归函数.
由于Y与x之间不存在完全确定的函数关系,因此 必须把随机波动产生的影响考虑在内．于是模型的 一般形式为 yi=f(xi )+ε 其中Y是随机变量，x是普通变量，ε是随机项．

54 yi=f(xi)+εi（i=1，2，…，n）
若进行n次独立试验，得到变量Y与x的一组观测值 （xi，yi）（i=1，2，…，n），则有 yi=f(xi)+εi（i=1，2，…，n） 将点(xi,yi)画在平面直角坐标系中得到的图称为散 点图（见图14-10）． 图14-10

55 如果所有的散点大体上散布在某一条直线附近
（见图14-11），就可以认为Y对x的回归函数的类型为 直线型，即 ,称此方程为Y对x的回归直线方程,并称其中b的为回归系数,在y的上方加“＾”，是为了区别于Y的实际观测值y． 如果随机变量Y与非随机变量x之间存在着线性相关关系,则可用回归直线方程 来描述. 图14-11

56 二、最小二乘法 设n次试验得到的观测数据为（x1，y1),(x2，y2), …，（xn，yn）,则有 （i=1，2，…，n） 即 （i=1，2，…，n） ． 取全部误差的平方和为

57 上式中只有a，b是未知数，即Q是a，b的函数,要找出一条总的看来最接近这n个观测点的直线，就是要求出使Q取得最小值的a，b（记作 ， ）
上式中只有a，b是未知数，即Q是a，b的函数,要找出一条总的看来最接近这n个观测点的直线，就是要求出使Q取得最小值的a，b（记作 ， ）.由于平方又叫做二乘方,因此把这种使“偏差平方和为最小”的方法称为最小二乘法 .这样求得的 ， 称为参数a，b的最小二乘估计． ， 的求法如下

58 整理可得 解此方程组，可得 为了方便记忆，引入记号

59 例1 以家庭为单位，某种商品的月需求量与该商品价格之间的一组调查数据为
, 于是有 例1 以家庭为单位，某种商品的月需求量与该商品价格之间的一组调查数据为 价格xi（元） 2 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 需求量yi（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 1.5 1.2

60 将这10对数字看作平面上点的坐标画出(见图14-12),易见所有散点大体上分布在一直线的附近,因此,可设月需求量Y对价格x的回归方程为
x y 图14-12 列出回归分析表：

61 ∑

62 从而 所求回归直线为

63 三、一元线性回归的相关性检验 1．相关性检验的统计假设 不能描述随机变量Y ,与非随机变量x之间的相关关系 . 在 中，如果b=0，就说明线性回归方程 所以，为了判断Y与x之间是否存在线性相关关系 ,应当提出的待检假设是 H0：b=0 2．偏差平方和的分解 只反映了x对y的影响，所以回归值

64 就是 中只受 影响的那一部分，而 就是除去 了 的影响后受其它种种因素影响的部分 ,故将 称为残差(或剩余),于是观测值 可以分解为两部分 = （回归值）+（ ）（残差） 将偏差平方和分解

65 可以证明 记 于是 Syy=U+Q U反映了回归值 ， ，…， 的分散程度.称U为回

66 归平方和.至于Q，则是在总偏差中已分离出x对Y的线性
影响之外的其余因素所产生的误差，它反映了观测值偏 离回归直线的程度 .在 的假定下,Q 完全 是由随机项引起的，称Q为剩余平方和. 注意到

67 沿用前面的记号Sxx和Sxy，便有 3．相关性检验 Syy给定后，U，Q的大小就反映了x对y的影响程度，

68 U越大，则Q越小，x对y的影响就越大；U越小，则Q
保留前面公式 （i=1，2，…，n）中 对所做的假定,当H0：b=0成立时，统计量

69 对给定的检验水平 ，由F分布表，可查得满足
的临界值 .如果 ,就接受假设H0， 认为Y对x的线性相关关系不显著；如果 ， 就否定假设H0，认为Y对x的线性相关关系显著；如果 ,亦否定假设H0，而且认为Y对x的线性相关关系 特别显著.这种检验方法称为F—检验． 4．一元线性回归分析的步骤

70 （1）列出回归分析表； （2）计算Sxx，Syy和Sxy： （3）计算U、Q的值： （4）计算统计量F的值； （5）查F分布表； （6）比较、判断． （7）在否定H0的情况下，求回归直线方程．

71 四、回归预测 当回归方程 有效时，就可以用 来预报真值y．通常假定y－ ~N（0， ），这样通过 对 的估计，就会知道y－ 的取值范围． 因此可用 作为 的无偏估计，记作 ， 即

72 用3 准则，就有 这样估计的y值落在区间 或 内的相应概率分别近似为0.99和0.95．

73 完

74 图１４－１ 返回

75 图１４－２ 返回

76 图１４－３ 返回

77 图１４－４ 返回

78 图１４－５ 返回

79 图１４－６ 返回

80 图１４－７ 返回

81 图１４－8 返回

82 图１４－9 返回