知识点7---矩阵初等变换的应用 1. 求矩阵的秩 2. 求矩阵的逆 3. 解矩阵方程.

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1 知识点7---矩阵初等变换的应用 1. 求矩阵的秩 2. 求矩阵的逆 3. 解矩阵方程

2 一、求矩阵的秩 求矩阵A的秩． 分析：用定义，二阶子式 三阶子式共有 (个)， 从40个子式中找出一个非零子式是相当麻烦的

3 当矩阵的行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .
行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. 用初等变换可以将矩阵化为行阶梯形. 两个等价的矩阵的秩是否相等？

4 定理：若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． 应用：求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩 阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵 中非零行的行数就是该矩阵的秩． 例1：求矩阵的秩.

5 解：

6 注意，矩阵前后变换必须用箭头－>，而不能用等号=.
由此得

7 用初等变换求矩阵的秩步骤： （1）用一系列初等行变换将矩阵 化为阶梯形矩阵. （2）所得阶梯形矩阵的非零行的行数 就是矩阵的秩.

8 二、求矩阵的逆

9 可逆矩阵A 经过一系列初等行（或列）变换，可化为单位矩阵E.
可见: 初等行变换法求逆矩阵 A 经过一系列初等行变换可以化为E， E 经过同样的初等行变换也可以化为A–1.

10 同理： 用A-1左乘得 如果A 经过一系列初等列变换化为E， 则E 经过同样的初等列变换化为A–1. 初等列变换法求逆矩阵

11 例2 E 行变换 解 11

12 E 12

13 三、解矩阵方程 已知矩阵方程AX=B,求X的值.A可逆 可见: 如果A经过一系列初等行变换化为E， 则B经过同样的初等行变换化为A–1B.

14 如果求矩阵方程XA=B 呢 不可写成 初等列变换

15 例3 解 A是可逆的.

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19 小 结 求矩阵的秩 矩阵初等变换的应用 求矩阵的逆 解矩阵方程 谢谢！