二次函数图象的幕后高手 博湖县博湖中学 贺玉萍.

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1 二次函数图象的幕后高手 博湖县博湖中学 贺玉萍

2 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
知识回顾 ：二次函数的图像及性质 x y x y y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 增减性 最值

3 谁是控制图象的“幕后高手”？ 小组讨论，三分钟后抢答。

4 高手揭秘（一） 谁是控制图像的“幕后高手”？
1. a决定开口方向： a＞0↔开口_______；（如图1） a＜0↔开口_______；（如图2） 相同，抛物线的形状_____； 越大，开口越____。 向上 向下 （图1） （图2） 相同 小

5 高手揭秘（二） 谁是控制图像的“幕后高手”？
2. a、b决定对称轴的位置： b=0↔对称轴是_______；（如图1） a、b同号↔对称轴在y轴的___侧；（如图2） a、b异号↔对称轴在y轴的___侧。（如图3） y轴 左 右 即：左同右异

6 高手揭秘（三） 谁是控制图像的“幕后高手”？
3. c决定抛物线与y轴的交点： c=0↔抛物线过_____；（如图1） c＜0↔抛物线交于y轴的_____；（如图2） c＞0↔抛物线交于y轴的_____。（如图3） 原点 负半轴 正半轴

7 幕后高手之初级攻略 示范解答，有理有据……

8 · B A C 初级攻略： １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 B o c 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（　　） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 x y A o 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ 　） A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0 C x y o 熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)

9 6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
o 4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a 0,b 0,c 0. < < = x y o 5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0. > > = 6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0， 那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限 四 x y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）

10 高手进阶之秘籍随影换形 仔细观察，有理有序……

11 四、二次函数图象的平移规律： 高手进阶之秘籍《随影换形》 抛物线 对称轴 顶点 坐标 结论 平移规律 左加右减，上加下减 y轴 y=ax2
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的形状相同，位置不同，经过平移后可以互相重合。 y=ax2 (0,0) y轴 (0,c) y=ax2 +k 抛物线y=ax2向左（h<0）、向右（h>0）平移|h|个单位, 向上（k>0）、向下（k<0）平移|k|个单位后,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k 。 (h,0) y=a(x-h)2 直线X=h (h,k) y=a(x-h)2+k 直线X=h 高手进阶之秘籍《随影换形》

12 高手进阶秘籍之《随影换形》 左加右减，上加下减 引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2 练习

13 进阶秘籍： 3.若将抛物线 向左平移 3个单位得抛物线 再向下平移 2 个单位得抛物线 右 1 上
3.若将抛物线 向左平移 3个单位得抛物线 再向下平移 2 个单位得抛物线 右 1 上 4.若将抛物线 y=x2向 平移 个单位，再向 平移 个单位得抛物线y=x2-2x+2。 1 5.将抛物线 沿 y 轴向上或向下平移后经过点（3，4），则平移后抛物线的解析式是 ； 6.若将抛物线 沿 x 轴向左或向右平移后经过点（3，10），则平移后抛物线的解析式是 。

14 幕后高手之强力进阶 认真辨识，体悟真理……

15 五 二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
五 二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. y=x2-2x+1 y=x2-2x+2 y=x2+2x (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

16 4. 与x轴的交点个数： (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: =0↔抛物线与x轴只有___个交点 ；（如图1）
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 与x轴的交点个数： =0↔抛物线与x轴只有___个交点 ；（如图1） ＞0↔抛物线与x轴有___个交点；（如图2） ＜0↔抛物线与x轴有___个交点。（如图3）

17 判别式： b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） 图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
O 与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0） 有两个不同的解x=x1，x=x2 b2-4ac＞0 x y O 与x轴有唯一个 交点 有两个相等的解 x1=x2= b2-4ac=0 与x轴没有 交点 x y O b2-4ac＜0 没有实数根

18 • • • • • 进阶秘籍1： 已知二次函数 解： 由图象可知： y 当-3 < x < 1时，y < 0 (-3,0)
(1,0) • 当x< -3或x>1时，y > 0 x • • 3 • (0,-–) 2 (-1,-2)

19 进阶秘籍2： .已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图； (1)方程-x2+3x+4=0的解 是__ ___
是__ ___ (2)不等式-x2+3x+4>0的解集 是__ __ (3)不等式-x2+3x+4<0的解集 是_ __ y x=-1,x=4 4 3 2 -1<x<4 1 -2 o 1 2 3 4 x -1 5 -1 -2 X<-1或x>4 -3 -4 -5

20 ax2+bx+c>0（a>0）解集
⊿=b2-4ac y=ax2+bx+c （a>0）图像 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 ax2+bx+c>0（a>0）解集 ax2+bx+c<0（a>0）解集 ⊿>0 ⊿＝0 ⊿＜0 X1= X2 x y O y x O X1 X2 x1 =x2 ＝－b/2a x1 ＝ x2 没有实数根 x 所有实数 x<x1或x>x2 x≠ x1的一切实数 x1<x<x2 无解 无解

21 高手巅峰之终极对战 学以致用，回归本真……

22 学以致用： 1、函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 1）方程ax2+bx+c=2的根是 __________;
X1=-2; X2=4 y X<-2;X>4 2 (-2,2) (4,2) -2<X<4 O x -1 3

23 终极对战 利用函数图象解下列方程和不等式:
终极对战 利用函数图象解下列方程和不等式: <1>①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. <2>①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. <3>①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0. -1 2 X y y= -x2+x+2 2 O x y X y

24 终极宝典 （四）展示交流，总结新知. 本节课—— 我学会了…… 使我感触最深的…… 我感到最困难的是…… 我最值得学习的同学是……

25 武林秘籍 二次函数 如何应用 规律 二次函数 应用 如何确定 对称轴 开口方向 顶点坐标 顶点式 交点式 增减性 一般式 最值 图象 解析式
抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的根 规律 图象 解析式 性质 平移 与一元二次方程的联系 二次函数 应用 二次函数

26 二、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象特征 与a、b、c 、Δ的关系
项目 字母的符号 图象的位置（特征） a b c Δ a>0 开口向上 a<0 开口向下 对称轴是y轴 b=0 ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 Δ=0 与x轴有唯一交点（顶点） Δ<0 与x轴有两个交点 Δ>0 与x轴没有交点

27 回忆录 想想你的秘籍！ （2）二次函数中的符号问题 （3）二次函数的平移 （4）二次函数与一元二次方程 （5）二次函数与一元二次不等式
（1）二次函数图象及性质的应用 （2）二次函数中的符号问题 （3）二次函数的平移 （4）二次函数与一元二次方程 （5）二次函数与一元二次不等式

28 求同存异： 数学思想方法是数学中的精髓,是联系数学中各类知识的纽带,是数学知识的重要组成部分. 本节主要的数学思想有分类讨论思想、数形结合思想和方程思想,主要方法是待定系数法和配方法.特别是数形结合的意识力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉也就越强，让形象思维与抽象思维结合，焕发出独特的精彩。

29 （五）内化于心，外化于形识. 1．阅读教材相应内容，完成课后习题第45--46页第1、2题. 2．实践题：推测植物的生长与温度的关系.

30 学以致用 y x ,在如图 1.丁丁推铅球的出手高度为 所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物 线 ①求k的值 ②求铅球的落点与丁丁
O ①求k的值 ②求铅球的落点与丁丁 的距离 ③一个1.5m的小朋友跑到 离原点6米的地方(如图)， 他会受到伤害吗？

31 参考答案 y x ①求k的值 解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6) 即当x=0时，y=1.6 1.6=-0.1k+2.5 K=±3
O ①求k的值 解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6) 即当x=0时，y=1.6 1.6=-0.1k+2.5 K=±3 又因为对称轴是在y轴的右侧， 即x=k>0 所以，k=3 2 B ③当x=6时， y=-0.1(6-3)+2.5 =1.6 2 ②-0.1(x-3)+2.5=0 解之得，x =8,x =-2 所以，OB=8 故铅球的落点与丁丁的距离是8米。 2 1 >1.5 所以，这个小朋友不会受到伤害。