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A D B C E 人教版八年级数学(上) 11.3.1角平分线的性质（1）
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不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
情境问题 活 动 1 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ （对折） A O B 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ C
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· 情境问题 1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
活 动 2 D C B A E 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
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2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应角相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） A D B C E
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探究新知 活 动 3 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（尺规作图） A B N N M C E E C O M O
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实践应用(1) A B 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
活 动 4 A B O 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 D
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探究角平分线的性质 活 动 5 (1)发现猜想：画、测 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. (3)验证猜想 (4)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
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探究角平分线的性质 (5)证明猜想 活 动 5 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE (5)证明猜想 P A O B C E D 1 2 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°（垂直定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
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角平分线上的点到角两边的距离相等。 (6)归纳角平分线的性质： 活 动 5 ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等） P A O B C E D 1 2 利用此性质怎样书写推理过程?
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思考： Ｓ 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 公路
Ｏ 公路 铁路 Ｓ
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A C D E B F 实践应用(2) 活 动6 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 试试自己写证明。你一定行！ DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.
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做一做 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
驶向胜利的彼岸 老师期望: 做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
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回味无穷 一、过程小结： 情境→观察→作图→应用→探究→再应用 二、知识小结： 本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？
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奥妙无穷 拓 展 已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1= ∠2， ∠3= ∠4，点E恰在AD上。 （1）求证：CE⊥BE
拓 展 奥妙无穷 已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1= ∠2， ∠3= ∠4，点E恰在AD上。 （1）求证：CE⊥BE （2）若∠D=90°，猜想CB、CD、AB之间有何数量关系？请证明你的结论。 D C 1 2 E 3 4 B A
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