第6章 正弦交流电路的分析.

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1 第6章 正弦交流电路的分析

2 第6章 正弦交流电路的分析 6.1 阻抗和导纳 6.2 正弦交流电路的分析 6.3 正弦交流电路的功率 6.4 三相电路

3 本章要求: 1.掌握阻抗的串、并联； 2.熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法；
3.了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式； 4.掌握最大功率传输的概念及在不同情况下的最大传输条件；掌握三相电路的概念及对称三相电路的计算方法，会计算三相电路的功率。

4 6.1 阻抗和导纳 1 阻抗（导纳）的定义 在角频率为的正弦电源激励下 定义阻抗：  阻抗模 阻抗角
6.1 阻抗和导纳 1 阻抗（导纳）的定义 在角频率为的正弦电源激励下 定义阻抗：  阻抗模 阻抗角 Z 也称为一端口网络的等效阻抗或输入阻抗。

5 1 阻抗（导纳）的定义 也可定义导纳： 显然： 导纳模 导纳角 则： 欧姆定律的相量形式 或

6 当无源网络内为单个元件时有： 表明： Z 是复数。Z 可以是实数，也可以是纯虚数。

7 当无源网络内有多个元件时，例如RLC串联电路：
则： R —电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。 注意： Z 是复数。故Z也称为复阻抗，但Z不是相量，不能代表正弦量。

8 2、阻抗三角形 转换关系： 阻抗三角形 |Z| R X z R=|Z|cosz X=|Z|sinz 或

9 （1）X>0， z>0，电路为感性， 电压超前电流。
3、阻抗的性质 （1）X>0， z>0，电路为感性， 电压超前电流。 等效电路 相量图：串联时，一般选电流为参考向量， 电压三角形 z

10 （2）X<0， z<0，电路为容性， 电流超前电压。
3、阻抗的性质 （2）X<0， z<0，电路为容性， 电流超前电压。 等效电路 相量图： z （3） X=0， z=0，电路为电阻性， 电压与电流同相。 等效电路

11 4、阻抗与导纳的转换 Z R jX G jB Y G —电导 B —电纳 注意一般情况G1/R ，B1/X。若Z为感性，X>0，则 B<0，即仍为感性。

12 【例6.1】 已知无源一端口网络的端口电压和电流分别为
， 求该一端口网络的阻抗和导纳，以及一端口网络由两个元件串联的等效电路和元件的参数值。 解：由题意得 端口阻抗 该一端口网络可等效为一个电阻和电感串联的电路，其参数为 ，感抗 ，对应的电感为 端口导纳

13 5、阻抗（导纳）的串联和并联 ① 串联 等效阻抗 分压公式：

14 ②并联 等效导纳 分流公式： ， 例如：两阻抗Z1、Z2的并联： 分流公式为

15 ， 【例6.4】 图示电路中， ， ，求各支路电流和电压 解：设 总阻抗

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17 6.2 正弦交流电路的分析 电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
6.2 正弦交流电路的分析 电阻电路与正弦电流电路的分析比较： 可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。

18 解析法步骤： I U u , i  • 画相量模型 R , L , C  复阻抗， 设参考相量。 并联电路设电压； 串联电路设电流； 混联电路设已知条件。 与电阻电路的分析方法、思路相同。 参考方向的标法、结点、回路的选择完全和直流分析相同。 结点方程、回路方程的列法与直流分析相同，但电压、电流均用相量表示，电阻代之以阻抗，电导代之以导纳。 列相量模型的复数形式的代数方程，计算时采用复数计算。 需要时，将相量还原为正弦量。 ⑤注意相量值和瞬时值不要混淆。

19 例：已知正弦电流电路中 A，求 和 解： 电路相量模型见下图： 所以

20 所以

21 （以下略）【例6.6】 电路如图所示，已知 ，求解 和 故 解：由题意得 建立网孔电流方程 作相量模型图：

22 【例6.7】 电路相量模型如图所示，试列出结点电压相量方程
解: 结点1： 结点2： 整理得：

23 【例6.8】单口网络如图所示，试求输入阻抗及输入导纳
解：由结点电压法得

24 【例6.9】 试求如图正弦稳态单口网络的戴维南等效相量模型。
解 求开路电压：

25 求短路电流：

26 （以下不略）6.3 正弦交流电路的功率分析 1 瞬时功率 u与i的相位差为 恒定分量 正弦分量

27 p 有时为正, 有时为负； p>0, 电路吸收功率； p<0，电路发出功率； 1 瞬时功率 p UIcos 恒定分量。 u i
1 瞬时功率 p UIcos 恒定分量。  t i o u UIcos (2 t －)为正弦分量。 p 有时为正, 有时为负； p>0, 电路吸收功率； p<0，电路发出功率；

28 瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率,为不可逆量。
电阻元件的瞬时功率 瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率,为不可逆量。  t o pR uR i

29 电感元件的瞬时功率 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。 o pL 2 uL i  t

30 电容元件的瞬时功率  t o u iC 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。 pC 2

31 瞬时功率p随时间t变化，所以用来讨论正弦稳态电路的功率就不是很方便。为此，定义了有功功率和无功功率等概念。
W（瓦）  =u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。 cos  ：功率因数λ。 一般地 , 有： 0cos1

32 无源一端口网络: 可见无源一端口网络吸收的有功功率就是网络中电阻所消耗的功率。若一端口网络中有n个电阻，则网络吸收的总有功功率等于各电阻吸收的有功功率的和。 电感元件或电容元件的 ，所以它们的P=0， 体现它们不消耗功率 通常，平时说的功率都是指有功功率。 在工程上通常用功率表（瓦特表）来测量电路的有功功率。

33 定义无功功率Q来衡量电路中能量交换的规模。用瞬时功率可逆分量达到的最大值表征，即
可逆分量，无功分量 ，与L,C有关,反映网络N0与外电路之间周期性地交换能量 不可逆分量，有功分量，与R有关 定义无功功率Q来衡量电路中能量交换的规模。用瞬时功率可逆分量达到的最大值表征，即 Var（乏）

34 无源一端口网络: 可见无源一端口网络吸收的无功功率就是网络中电抗的无功功率 。若一端口网络中有n个电抗，则网络吸收的总无功功率等于各电抗吸收的无功功率的和。 R不与外界交换能量 电阻R： 称为感性无功功率 电感L: 电容C: 称为容性无功功率

35 S衡量一个电气设备在额定电压、电流条件下最大的负荷能力，或对外输出平均功率的最大能力
（伏安） S衡量一个电气设备在额定电压、电流条件下最大的负荷能力，或对外输出平均功率的最大能力 有功功率P、无功功率Q、视在功率S的关系 j Q P S 功率三角形

36 解： 【例6.11】 电路及其相量模型如图所示，已知 ，求一端口网络的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 有功功率： 解法一： 解法二：
解法三：

37 解： 【例6.11】 电路及其相量模型如图所示，已知 ，求一端口网络的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 无功功率 视在功率 功率因数
电流超前（容性电路）

38 5 提高功率因数λ 功率因数低带来的问题： (1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有； P=UIcos=Scos S
75kVA 负载 cos  =1, P=S=75kW cos  =0.7, P=0.7S=52.5kW 设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。 一般用户： 异步电机 空载 cos  =0.2~0.3 满载 cos  =0.7~0.85 日光灯 cos  =0.45~0.6

39 (2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大，
I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。 供电局一般要求用户的 否则受处罚。 解决办法： （1）高压传输 （2）改进自身设备 （3）并联电容，提高功率因数 。

40 并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
5 提高功率因数λ j2 j1 特点： 并联电容后，电源向负载输送的有功功率UIL cos1=UI cos2不变，但是电源向负载输送的无功功率UIsin2<UILsin1减少了，减少的这部分无功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功功率不变，而功率因数得到改善。 并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。

41 并联电容的确定： j2 j1 补偿容量 不同 全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显) 欠 过——功率因数又由高变低(性质不同)

42 6 复功率 以有功功率P为实部、Q为虚部构成的复数称为复功率。 （伏安） 负 载 + _ ： 的共轭复数 还可表示为 或 注意： 守恒
： 的共轭复数 还可表示为 或 注意： 守恒 不守恒

43 【例6.13】端口电压 输入电流 电压、电流为关联参考方向，求 、P、Q。 解：由题意得

44 正弦稳态电路中的最大功率，指的是最大有功功率。
7 正弦电流电路的最大功率传输 正弦稳态电路中的最大功率，指的是最大有功功率。 等效电路 负载电流 有功功率

45 讨论正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件
若Z= R + jX可任意改变 先设 R不变，X 改变 显然，当Xeq + X=0，即X = -Xeq时，P 获得最大值。 最佳匹配条件 再讨论 R改变时，P 的最大值 当R= Req 时，P 获得最大值 负载获得最大功率的条件

46 【例6.15】 电路如图所示，若ZL的实部、虚部均能变动，若使ZL获得最大功率，ZL应为何值，最大功率是多少？
解： 时 当 ZL获得最大功率：

47 6.4 三相电路 三相电力系统由三相电源、三相负载和三相输电线路三部分组成。 三相电路具有许多优点：
6.4 三相电路 三相电力系统由三相电源、三相负载和三相输电线路三部分组成。 三相电路具有许多优点： （1）发电方面比单相电源可提高功率50％； （2）输电方面比单相输电节省钢材25％； （3）配电方面三相变压器比单相变压器经济且便于接入负载； （4）运电设备如生产中广泛使用的三相交流电机比单相交流电机的性能更好，经济效益更高。 以上优点使三相电路在动力方面获得了广泛应用，是目前电力系统采用的主要供电方式。

48 研究三相电路要注意其特殊性，即： （1）特殊的电源 （2）特殊的负载 （3）特殊的连接 （4）特殊的求解方式 前面讨论的单相交流电路的所有分析计算方法完全适用。

49 1 三相电源 1) 三相电源的产生 单相交流电动势的产生 N S 在两磁极中间，放一个线圈。 让线圈以  的角速度顺时 针旋转。 A X  e 根据右手定则可知，线圈中产生感应电动势，其方向为由AX。 合理设计磁极形状，使磁通按正弦规律分布，线圈两端便可得到单相交流电动势。

50 线圈中便产生三个单相电动势，从而形成对称三相电源。
三相交流发电机产生三相电动势 定子 A X C B Z Y • S N + _ 定子中放三个线圈： A  X B  Y C  Z 首端 末端 转子 三线圈空间位置各差120o 转子装有磁极并以  的角速度旋转。三个 线圈中便产生三个单相电动势，从而形成对称三相电源。 三相交流发电机的原理图

51 三相电源是三个频率相同、振幅相同、相位彼此相差1200的正弦电源。
瞬时值表达式 A + – X uA B Y uB C Z uC u  t uA uB uC o 波形图

52 相量表示 120° 其中 为单位相量算子 对称三相电源的特点

53 三相电源各相经过同一值(如最大值)的先后顺序。
对称三相电源的相序 三相电源各相经过同一值(如最大值)的先后顺序。 A B C 正序(顺序)：A—B—C—A A B C 负序(逆序)：A—C—B—A 相序的实际意义： 三相电机 D A B C 1 2 3 D A C B 1 2 3 反转 正转 以后如果不加说明，一般都认为是正相序。

54 把三个绕组的末端 X， Y， Z 接在一起，把始端 A，B，C 引出来。
2). 三相电源的联接 （1）星形联接(Y联接) 把三个绕组的末端 X， Y， Z 接在一起，把始端 A，B，C 引出来。 + – A X B Y C Z A + – X C Y Z B N N X, Y, Z 接在一起的点称为Y联接对称三相电源的中性点，用N表示。

55 （2）三角形联接(联接) 三个绕组始末端顺序相接。 三角形联接的对称三相电源没有中性点。 A Z A + Z – – X B C X +
Y C Z A + – X B C Y Z 三角形联接的对称三相电源没有中性点。

56 端线(火线)：始端A， B， C 三端引出线。
（3）名词介绍 + – A X B Y C Z + – A X B Y C Z N 端线(火线)：始端A， B， C 三端引出线。 中线(地线)：中性点N引出线， 连接无中线。 相电压：每相电源的电压。 线电压：端线与端线之间的电压。

57 （4） 相电压和线电压的关系 + – A X B Y C Z Y联接 N

58 利用相量图得到相电压和线电压之间的关系：
一般表示为： 30o 30o 结论：对Y联接的对称三相电源 （1）线电压也对称（大小相等，相位互差120o） （2）线电压的有效值是相电压的 倍，即 （3） 线电压相位领先对应相电压30o。 所谓的“对应”：对应相电压用线电压的 第一个下标字母标出。

59 联接 显然 线电压等于对应的相电压 注意：联接电源始端末端要依次相连。 正确接法 电源中不会产生环流 I =0 A Z – X B +
Y C Z 线电压等于对应的相电压 注意：联接电源始端末端要依次相连。 正确接法 I =0 电源中不会产生环流

60 以上关于线电压和相电压的关系也适用于对称星型负载和三角型负载。
注意：联接电源始端末端要依次相连。 错误接法 I 0 电源中将会产生环流 以上关于线电压和相电压的关系也适用于对称星型负载和三角型负载。

61 2 三相电路的分析 1)．三相负载 三相电路的负载由三部分组成，其中每一部分称为一相负载，三相负载也有二种联接方式。 （1） 星形联接 A'
2 三相电路的分析 1)．三相负载 三相电路的负载由三部分组成，其中每一部分称为一相负载，三相负载也有二种联接方式。 （1） 星形联接 A' B' C' N' ZA ZC ZB A' B' C' N' ZA ZC ZB 称三相对称负载 否则称为不对称三相负载

62 (2) 三角形联接 A' B' C' ZA'B' ZB'C' ZC'A' A' B' C' ZB'C' ZC'A' ZA'B' 称三相对称负载,否则称为不对称三相负载

63 2)．三相电路 三相电路就是由对称三相电源和三相负载联接起来所组成的系统。工程上根据实际需要可以组成： 电源 Y △ 负载 电源 △ Y 负载 当组成三相电路的电源和负载都对称时，称对称三相电路

64 三相四线制 三相三线制

65 三相三线制

66 线电流和相电流 线电流：流过端线的电流。 相电流：流过每相负载的电流。 星形(Y)负载: Y联接时，线电流等于相电流 中线电流：中线上通过的电流 中点电压：负载中点N' 到电源中点Ｎ之间的电压

67 线电流：流过端线的电流。 相电流：流过每相负载的电流。 三角形（△）负载: △联接时，线电流不等于相电流

68 3）三相电路的计算 （1）对称 连接三相电路的分析与计算 设： ：端线阻抗， 三相对称负载： ：中性线阻抗

69 由结点电压法得 为对称电流 则：

70 结论： 1、对称情况下，各相（线）电压、电流都是对称的
2、UN'N=0 ，电源中点与负载中点等电位，IN'N=0，有无中线对电路情况没有影响。 对称情况下Y—Y和Y0—Y0的分析相同。 3、或将N‘N短路，可将三相电路的计算化为单相电路的计算。 只要算出一相（A相）的电压、电流，则其它两相的电压、电流可按对称关系直接写出。

71 V， 【例6.16】 对称三相电路如图所示， 各相负载阻抗均为Z=5+j6Ω，端线阻抗为Zl=1+j2Ω，试求三相负载上的各相电流，相电压。 解： 线电压和相电压相量分别为 相电流： 根据对称性，得

72 V， 【例6.16】 对称三相电路如图所示， 各相负载阻抗均为Z=5+j6Ω，端线阻抗为Zl=1+j2Ω，试求三相负载上的各相电流，相电压。 相电压： 根据对称性，得

73 （2）不对称 连接三相电路的分析与计算 设： ZN≠0 三相负载： 不对称

74 负载各相电压： 可能不对称

75 相量图 中性点位移 负载中点与电源中点不重合。
N N' 中性点位移 负载中点与电源中点不重合。 注意：在电源对称情况下，可以根据中点位移的情况来判断负载端不对称的程度。当中点位移较大时，会造成负载相电压严重不对称，使负载的工作状态不正常。

76 例：电源相电压UP= 220V，负载为额定电压为220伏的白炽灯组,若：RA=5  ，RB=10  ， RC=20  。求：负载相电压；。
解： 负载不对称，先求中点电压 各相负载电压： A相电压不足，灯不亮；B、C相电压超过额定值，C相灯会烧坏

77 加中线 且中线阻抗ZN ≈０ (1) 负载上的相电压仍为对称三相电压； (2) 由于三相负载不对称，则三相电流不对称； (3) 中线电流不为零。

78 结论： 负载不对称，电源中性点和负载中性点不等位，中线中有电流，各相电压、电流不存在对称关系； 要消除或减少中点的位移，尽量减少中线阻抗，然而从经济的观点来看，中线不可能做得很粗，应适当调整负载，使其接近对称情况。 中线不装保险，并且中线较粗。一是减少损耗， 二是加强强度(中线一旦断了，负载不能正常工作)。

79 （3） 连接三相电路的分析与计算 可将△电源用Y电源替代但要保证其线电压相等，即 化为 三相电路后，参考前面的分析方法进行相关计算

80 （4）三相负载的△形连接 根据阻抗的Y－△等效变换，可先把△形负载等效变换为Y形负载，再参考前面Y形负载的分析方法进行相关计算。例如： 要注意△形负载的线电流和相电流的关系。

81 △形负载的线电流和相电流的关系： 根据KCL ，得 由图示电路得 线电流： 相电流： 可见对于对称三相电路，三个相电流必然对称

82 对于对称三相电路，三个相电流必然对称。可设
则线电流： 同理得： 结论：△联接的对称电路： 线电流的大小是相电流的 倍，即 线电流相位滞后对应相电流30o。

83 【例6.18】如图对称三相电路。已知Zl=１+j2Ω，Z△=19.2+j14.4Ω，
线电压UAB=380Ｖ，求负载端的相电压和相电流。 解：先进行负载△－Y的等效互换，得Y－Y对称电路 设 ，则线电流 由对称性得

84 【例6.18】如图对称三相电路。已知Zl=１+j2Ω，Z△=19.2+j14.4Ω，
线电压UAB=380Ｖ，求负载端的相电压和相电流。 相电流： 由对称性得 负载相电压 由对称性得

85 总结：各连接方式的三相电路，总可以通过Y－△等效变换，将电路变换为Y－Y的三相电路求解。

86 3 三相电路的功率 1）三相有功功率，无功功率、视在功率： 三相总有功功率： 三相总无功功率： 总视在功率为： 在对称三相电路中
3 三相电路的功率 1）三相有功功率，无功功率、视在功率： 三相总有功功率： 三相总无功功率： 总视在功率为： 在对称三相电路中 ：相电压有效值 ：相电流有效值 ：相电压与相电流之间的相位差（负载的阻抗角）

87 当负载对称时： P = 3Up Ipcos Y联接时： 都用线电压和线电流表示  联接时： 同理：

88 2）对称三相负载的瞬时功率 表明对称三相电路的总瞬时功率是一个常数，等于三相电路的平均功率

89 p ωt o UIcos ω t p o 3UIcos 单相：瞬时功率脉动 三相：瞬时功率恒定 电动机转矩: m p 可以得到均衡的机械力矩。避免了机械振动。

90 3）二瓦计法测功率 三 相 负 载 W1 A B C * W2 三相三线制 这种测量线路的接法是将两个功率表的电流线圈串到任意两相中（图中为A、B端线），电压线圈的同名端接到其电流线圈所串的线上，电压线圈的非同名端接到另一相没有串功率表的线上（图中为C端线）。（有三种接线方式）

91 P=P1+P2 * A B C 三 相 负 载 * A B C 三 相 负 载 * A B C 三 相 负 载
W1 A B C W2 三 相 负 载 * W1 A B C W2 三 相 负 载 * W1 A B C W2 三 相 负 载 若W1的读数为P1 , W2的读数为P2 ，则三相总功率为： P=P1+P2

92 证明： 根据KCL： 又： 得： 即：

93 注意： （1）在三相三线制条件下，不论负载对称与否，都能用二瓦计法；不对称三相四线制不能用两瓦计法来测量三相功率，因为负载不对称时 （2）两块表读数的代数和为三相总功率，每块表单独的读数无意义； （3）按正确极性接线时，二表中可能有一个表的读数为负，此时功率表指针反转，将其电流线圈极性反接后，指针指向正数，但求代数和时读数应取负值。

94 两功率表的读数 假设对称三相负载为Y形连接， 为负载的阻抗角。 设： 则：

95 * W1 A B C W2 三 相 负 载 * W1 A B C W2 三 相 负 载 如果 ，两表法中一个表的读数为负数

96 【例6. 19】 如图电路，已知Ul =380V，Z1=30+j40，电动机的功率P=1700W，cos=0
解：(1)设 电动机负载：

97 总电流： 电源发出的功率

98 P2=UBCIBcos 2= 3807.56cos( 30+ 46.2 ) = 685.26W=P-P1
(2)两表接法如图 D A B C Z1 W1 * * W2 表W1的读数P1： P1=UACIAcos 1 = 3807.56cos(46.2– 30) = W 表W2的读数P2： P2=UBCIBcos 2= 3807.56cos( 30+ 46.2 ) = W=P-P1