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物理化学 第三章 热力学第二定律 The Second Law of Thermodynamics
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学习要求： 理解热力学第二定律的实质及其数学表达式。
理解热力学函数熵(S)、Helmholtz函数(A)以及Gibbs函数(G)的概念和意义，并掌握它们改变量的计算方法。 掌握热力学第三定律实质。 根据条件，灵活应用ΔS、ΔA 和 ΔG 来判断过程进行的方向与限度。 掌握热力学函数之间的关系、热力学基本方程、偏微商变换方法及特定条件下相应热力学关系式的应用。
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第三章 热力学第二定律 §3.1 热力学第二定律 §3.2 卡诺循环与卡诺定理 §3.3 熵与克劳修斯不等式 §3.4 熵变的计算
§3.1 热力学第二定律 §3.2 卡诺循环与卡诺定理 §3.3 熵与克劳修斯不等式 §3.4 熵变的计算 §3.5 热力学第三定律和化学变化过程熵变的计算 §3.6 亥姆霍兹函数和吉布斯函数 §3.7 热力学基本方程与麦克斯韦关系式 §3.8 热力学第二定律在单组分系统平衡中的应用
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热力学第一定律反映了过程的能量守恒，但不违背热力学第一定律的过程并非都能自动进行。
功可以全部转化为热，而热转化为功则有一定的限制，正是这种热功转换的限制，使得物质状态的变化存在一定的方向和限度。热力学第二定律就是通过热功转换的限制来研究过程进行的方向和限度。
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§3.1 热力学第二定律 1. 自发过程举例 高温物体向低温物体的传热过程 在自然条件下，能够发生的过程。 自发过程
不需要人为加入功的条件。 高温物体向低温物体的传热过程
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气体的膨胀
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浓差扩散
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自发过程逆向进行必须消耗功 要使自发过程的逆过程能够进行，必须环境对系统作功。 例如： 1、冷冻机可以把热从低温物体转移到高温物体；
2、压缩机可以使气体从低压容器转移到高压容器； 3、利用浓差电池，通过直流电可以使溶质从低浓度溶液转移到高浓度溶液； 4、利用电解池原理，实现Cu+Zn2+ → Cu2++Zn
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自发过程的共同特征 对于自发过程， 自发过程 对于非自发过程， 状态1 状态2 非自发过程 对于可逆过程，
自发过程可以不对环境做功，但非自发过程则必须环境对体系做功，这样势必对环境造成影响，从而证明自发过程必为不可逆过程。各类自发过程的一个共同特征就是它的进行造成作功能力的损失。
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2. 功、热转换 功可以完全转化为热，但是热转化为功却是有限度的。 要想利用热对外作功必须借助一种能够循环操作的机器——热机。
通过工质从高温热源吸热、向低温热源放热并对环境作功的循环操作的机器称为热机。
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热机对环境所做的功与其从高温热源吸收的热之比称为热机效率，其符号为η：
若Q2=0，则η=100%，这类热机称为第二类永动机，即可以从单一热源吸热并把热量全部转化为功的机器。实践证明，这类热机是根本不能实现的。
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3. 热力学第二定律 克劳修斯：热从低温物体传给高温物体而不产生其它变化是不可能的。
开尔文：从一个热源吸热，使之完全转化为功，而不产生其它变化是不可能的。
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后来被奥斯特瓦德(Ostward)表述为：“第二类永动机是不可能造成的”。
从单一热源吸热使之完全变为功而不留下任何影响。
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判断题 1、某体系从环境吸收100 kJ热量，对外做功100 kJ，该过程不符合热力学第二定律。 2、某循环过程，体系从环境吸收100 kJ热量，对外做功100 kJ，该过程不符合热力学第二定律。 错。错。 注意热二定律的表述。“单一热源”、“不产生其他变化”。
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§3.2 卡诺循环与卡诺定理 卡诺 1. 卡诺循环 1824 年，法国工程师N.L.S.Carnot (1796～1832)设计了一个循环，以理想气体为工作物质，从高温热源吸收的热量，一部分通过理想热机用来对外做功，另一部分的热量放给低温热源。这种循环称为卡诺循环。
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⑴恒温可逆膨胀
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（2）绝热可逆膨胀
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（3）恒温可逆压缩
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（4）绝热可逆压缩
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卡诺循环过程系统对环境所作的功为 绝热过程有 其热机效率为 可见卡诺循环的热机效率只取决于高、低温热源的温度。
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结论： 1、卡诺热机的效率仅与两个热源的温度有关。 2、低温热源温度T2相同的条件下，高温热源的温度T1越高，热机对环境所作的功越大。 3、在卡诺循环中， 即卡诺循环的可逆热温商之和等于零。
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真实气体做为热机工质，经卡诺循环后，其热机效率低于以理想气体做为工质的可逆热机的效率。
练习题 1.一列火车在我国的铁路上行驶，在下列哪种地理和气候条件下，内燃机的热效率最高？ A. 南方的夏季 B. 北方的夏季 C. 南方的冬季 D. 北方的冬季 判断： 真实气体做为热机工质，经卡诺循环后，其热机效率低于以理想气体做为工质的可逆热机的效率。 错。所有卡诺热机的效率都相同，和工质无关。
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2. 卡诺定理 在高低温两个热源间工作的所有热机中，以可逆热机的热机效率为最大，这就是卡诺定理。
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卡诺定理的证明： 假设某一热机的效率大于可逆热机， 那么从高温热源吸收相同的热Q1时，对环境做功
低温热源 假设某一热机的效率大于可逆热机， 那么从高温热源吸收相同的热Q1时，对环境做功 令可逆热机逆向运行，并与此热机联合运作形成一循环过程，如图所示。整个循环总的结果：高温热源复原，热机从低温热源吸热并对环境做功 。这显然违背热力学第二定律，因此假设不成立。
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卡诺定理的推论： ◆工作于两个温度一定的热源之间的所有可逆热机的效率相等，与工作介质、变化的种类无关。 ◆可逆循环过程的可逆热温商之和等于零，此结论不限于理想气体，而具有普遍意义。
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思考题 某北方城市，有人提出了一项地热利用计划：用泵将地下热水产生的水蒸气带到地面上来，将其中一部分热量转化为功，驱动热机运行，并带动泵继续工作，剩余的热量用于给房间供暖。蒸汽冷却后，回到地下，重新被加热。此计划的诱人之处在于，在提供了初始的供泵运转的能量之后，该装置就可以持续不断地运行下去，而不再需要任何额外的能量。如果你是市长，你会同意这项计划吗？请从热力学的角度讨论该方案是否可行。（提示：先指出热机的高温热源，低温热源（如有），工作物质）
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§3.3 熵与克劳修斯不等式 1. 熵的导出 对于卡诺循环， 无限小卡诺循环，
任一可逆循环，都可以设计成很多个小卡诺循环之和（推导过程见课本），因此整个可逆循环过程
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任意可逆循环过程的热温商 A B R2 I1 R1 可逆过程的热温商只决定于初终态，与过程无关
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熵(Entropy)的定义 熵是一个状态函数，是物质的特性 常用单位：J·K-1 熵(Entropy)的物理意义 在熵的定义式中，若过程是吸热的，那么dQr > 0，dS >0。 物质由固态→液态→气态，都是吸热过程，那么Sg > Sl > Ss 。
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熵的物理意义 物质的固、液、气三种聚集状态，以气体的无序度最大，固体的无序度最小，由此可见熵是与系统的无序度有关的。 在统计热力学中， 其中 W 为系统总的微观状态数，W 越大，系统越混乱，系统的熵越大。
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2. 克劳修斯不等式 根据卡诺定理 对于无限小的循环 不可逆过程 不可逆过程 可逆过程 可逆过程
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对于任意循环 1 2 如图所示，若一循环过程，由不可逆途径（1→2）和可逆途径（ 2 → 1 ）组成 结论：可逆过程的热温商大于不可逆过程的热温商。
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根据熵的定义式 > 不可逆过程 = 可逆过程 克劳修斯不等式 克劳修斯不等式也称为热力学第二定律的数学表达式。
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在绝热情况下，系统发生可逆过程时，其熵值不变；不可能发生熵值减小过程。此即熵增原理。
3.熵判据——熵增原理 在绝热情况下，系统发生可逆过程时，其熵值不变；不可能发生熵值减小过程。此即熵增原理。 隔离系统熵增原理可表示为： （＞不可逆 , =可逆） 又可称为熵判据。
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练习题 1. 非理想气体进行绝热可逆膨胀，那么 A. ΔS >0 B. ΔS=0 C. ΔS<0 D. 不一定
2.非理想气体经过一不可逆循环，下列表达式正确的是 ΔS=0 B. δQ/T=0 C. ΔS≠0 D. δQ/T>0 3.以下过程熵减小的是： A) “焟炬成灰泪始干” B) “灰化肥挥发化飞灰” C) “打翻五味瓶” D) “大河上下，顿失滔滔”
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练习题 理想气体卡诺循环的图为下列四种情况中的哪几种?
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§3.4 熵变的计算 熵为状态函数，所以熵变可由始末状态确定
注意：式中 为可逆热温商。如果过程不可逆，则应设计一条可逆途径，方可用上式计算。
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1. 单纯PVT变化过程熵变计算
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理想气体单纯pVT变化过程 理想气体pVT变化过程熵变通式 同理： 例题 3.4.1
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练习题 1. 1mol单原子理想气体，温度由T1可逆变到T2，则等压熵变ΔSp与等容熵变ΔSv 之比为
A. 1:1 B. 2:1 C. 5:3 D. 无法确定 2. 1mol理想气体在298K时等温向真空膨胀，体积从V1变到V2，其热效应为Q，则相应的熵变 A. ΔS= B. ΔS=Q/T C D. 无法确定 3. 1mol理想气体在298K时绝热向真空膨胀，体积从V1变到V2，其热效应为Q，则相应的熵变
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练习题 4. 1mol van der Waals气体从T1、V1绝热自由膨胀至T2、V2，设CV是与温度无关的常数，则过程的熵变为
A B. C D.
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凝聚态物质单纯pVT变化过程 恒容过程 恒压过程 对于非恒压、非恒容过程， 对于凝固态物质， 很小，因此 可以忽略。
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理想气体、凝聚态物质的混合或传热过程 ① 对于不同种的理想气体的混合，可认为是同种气体的混合过程。
② 对凝固态物质，只涉及同种液态物质的混合。 混合熵变的计算原则：分别计算各组成部分的熵变，然后求和。 例题 ； ； 3.4.4
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2. 相变过程熵变计算 可逆相变过程 可逆相变是无限接近平衡条件下进行的相变。若一个相变过程始终保持在某一温度及其平衡压力下进行时，该相变即为可逆相变，也称平衡相变。 例题 3.4.5
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凡不在无限接近平衡条件下进行的相变均为不可逆相变。
不可逆相变过程 凡不在无限接近平衡条件下进行的相变均为不可逆相变。 如过冷水结冰；过热水气化。 计算原则：将不可逆相变过程设计成一包含可逆相变及单纯PVT变化的途径，此可逆途径的热温商才是该不可逆过程的熵变。 例题 3.4.6
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3. 环境熵变计算 作为热源与功源的环境，通常是由大量的不发生相变化和化学变化的物质所构成，它始终处于热力学平衡状态。当环境与系统间交换了一定量的热和功之后，环境的状态发生了极微小的变化，单位质量环境的熵变很小，因而一般认为环境不存在不可逆变化。 例题 3.4.7
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判断题 1.冰在0℃，101.325 kPa下转变为液态水，其熵变>0，所以该过程为自发过程。 2.相变过程的熵变可由 计算。
2.相变过程的熵变可由 计算。 错！只有绝热过程可以用系统熵变判断过程是否自发。如果是非绝热过程，必须计算“系统熵变+环境熵变”。 错！可逆相变才能用此公式求熵变。
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练习题 1.在270K和大气压力下，一定量的过冷水凝结为同温同压下的冰，则系统和环境的熵变分别是
A. ΔS sys<0, ΔS sur< B. ΔS sys<0, ΔS sur>0 C. ΔS sys>0, ΔS sur< D. ΔS sys>0, ΔS sur>0 2.一定量理想气体在绝热恒外压条件下被压缩，则系统与环境的 熵变为 A. ΔS sys>0, ΔS sur= B. ΔS sys>0, ΔS sur>0 C. ΔS sys=0, ΔS sur= D. ΔS sys=0, ΔS sur>0
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练习题 1. 101.325 kPa下，-5 ℃的水变为-5 ℃的冰，ΔS____ΔH/T。
A) = B) > C) < D) 关系不能确定 2.如下图所示，气体为理想气体，以气缸内所有气体为系统，环境压力为p，以下各过程的熵变大于零，小于零还是等于零？已知气缸导热，过程恒温。 ΔS1 > 0 ΔS2 < 0 ΔS1 +Δ S2 = 0 过程1：恒温恒压下混合过程，熵增加 过程2，理想气体恒温压缩过程，熵减小 状态1到状态3，N2和O2的pVT均无变化，因此熵变为零。
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§3.5 热力学第三定律和 化学变化过程熵变的计算
§3.5 热力学第三定律和 化学变化过程熵变的计算 1.热力学第三定律 1906年能斯特在实验的基础上提出假设：凝聚系统在恒温化学变化过程的熵变随着温度趋于0K而趋于零。用公式表示为： 即能斯特热定理
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类似于热力学能，熵的绝对值也是不知道的，只能根据熵的定义求得始末态的熵变值。
对于某种物质，如果规定了某一状态的摩尔熵值，就可以求得该物质在其他状态的摩尔熵值（一个相对值）。 基于能斯特热定理，1920年路易斯和吉布斯提出了热力学第三定律。 热力学第三定律：0 K时纯物质完美晶体的熵等于零。
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T aA 纯态 T + bB 纯态 T yY 纯态 T + zZ 纯态 0 K 0 K 0 K 0 K aA + bB yY + zZ
ΔrSm（T） ΔS1 ΔS2 0 K K K K aA bB yY zZ 纯态 纯态 纯态 纯态 ΔrSm （0 K） 上式表明，温度T下假想的纯态物质化学变化的摩尔反应熵等于参加反应的各种纯物质在温度T的摩尔熵和0K的摩尔熵之差与其化学计量数的乘积之和。
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2. 规定熵和标准熵 规定熵：在第三定律基础上相对于 ，求得纯物质在某一状态的熵称为该物质B在该状态的规定熵。
标准熵：标准态下温度T 时的规定熵则称为物质在T 时的标准熵 ,标准熵的符号是S 。标准熵是计算化学平衡的重要基础数据。
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以气体的标准摩尔熵为例 为温度T下，将100kPa该物质的实际气体换算成理想气体时的熵变，因为气态物质的标准态是100 kPa下理想状态时的气体。 溶液中溶质的标准摩尔熵是在标准压力100 kPa及标准质量摩尔浓度1 mol·kg-1且具有理想稀溶液性质的状态时的摩尔熵。水溶液中的离子，认为规定氢离子H+的标准摩尔熵为零。 例题 3.5.1
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练习题 1. 纯金属铁与含碳不锈钢相比，它们在相同温度下的标准摩尔熵值的大小为 A B. C D. 不能确定
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3. 标准摩尔反应熵 Sm﹡(B)的意义已与Sm﹡(B,T)不同。Sm﹡(B,T)代表了纯物质B在温度T时的摩尔熵值，而此式中的Sm﹡(B)代表了纯物质B在温度T时的摩尔规定熵值，即以0K时摩尔熵等于零为基准纯物质B在T时的相对摩尔熵值。
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一定条件下化学变化通常是不可逆的，化学反应热也是不可逆的，因而反应热与温度之比不等于化学反应的熵变。
要计算化学反应的熵变，必须设计一条含有可逆化学变化在内的可逆途径。
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任意温度下的标准摩尔反应熵 设计途径如下： T+dT -νAA-νBB νYY+νZZ -νAA-νBB νYY+νZZ
ΔrSmΘ+dΔrSmΘ dS dS2 T ΔrSmΘ -νAA-νBB νYY+νZZ -νAA-νBB νYY+νZZ
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即： 例题 3.5.2
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判断： 恒温恒压下化学反应的熵变，可以用该温度下的反应焓变除以反应温度计算。 ×
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§3.6 亥姆霍兹函数和吉布斯函数 熵判据的缺点是：
§3.6 亥姆霍兹函数和吉布斯函数 熵判据的缺点是： 要用隔离系统的熵变，要分别计算系统和环境的熵变，系统的熵变又要用可逆过程的热温商，使用很不方便，有的实验无法测量。 通常实验是在等温、等压，或等温、等容的条件下进行的，希望能利用系统在实验条件下本身状态函数的变化来判断变化的方向和限度。 只需计算系统的变化，就可判断过程的方向: 恒温恒容且非体积功为零——亥姆霍兹函数判据； 恒温恒压且非体积功为零——吉布斯函数判据。
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1. 亥姆霍兹函数 在恒温恒容及非体积功为零的条件下 dSsys+ dSamb≥0 （＞不可逆 =可逆）
dSsys+ δQamb/Tamb≥0 （＞不可逆 =可逆） 将Tamb= Tsys δQamb = - δQsys= - dUsys代入上式 dS - dU/T ≥0 （＞自发 =平衡） d(U – TS )≤0 （＜自发 = 平衡 ）
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亥姆霍兹函数 亥姆霍兹函数是状态函数，单位为J。 △AT，V≤0（＜自发 =平衡) （恒温，恒容，W’＝0） 称为亥姆霍兹函数判据 亥姆霍兹函数判据表明：在恒温恒容且非体积功为零的条件下，系统亥姆霍兹函数减小的过程能自动进行，亥姆霍兹函数不变时处于平衡状态，不可能发生亥姆霍兹函数增大的过程。
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亥姆霍兹函数的物理意义 在恒温恒容可逆条件下 A的物理意义：恒温恒容时系统亥氏函数的减小值等于可逆过程中系统所作的非体积功。
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2. 吉布斯函数 在恒温恒压及非体积功为零的条件下， dSsys+ dSamb≥0 （＞不可逆 =可逆）
dSsys+ δQamb/Tamb≥0 （＞不可逆 =可逆） 将Tamb= Tsys δQamb = - δQsys = - dHsys 代入上式 于是得 dS - dH/T ≥ （＞自发 =平衡） d(H – TS)≤ （＜自发 = 平衡）
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吉布斯函数 吉布斯函数是状态函数，单位为J。 △GT，p≤0（＜自发 =平衡) （恒温，恒压，W’＝0） 称为吉布斯函数判据 吉布斯函数判据表明：在恒温恒压且非体积功为零的条件下，系统吉布斯函数减小的过程能自动进行，吉布斯函数不变时处于平衡状态，不可能发生吉布斯函数增大的过程。
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吉布斯函数的物理意义 在恒温恒压可逆条件下 G的物理意义：恒温恒压时系统吉氏函数的减小值等于可逆过程中系统所作的非体积功。
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亥姆霍兹函数 吉布斯函数
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4. ΔA、 ΔG的计算 根据A、 G的定义式， 对于任一恒温过程，如果求得该过程的ΔU、ΔH和ΔS，即可求得ΔA和ΔG。 例题 3.6.1
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（1）理想气体恒温膨胀压缩过程 凝聚态物质恒温变压过程，在压力改变不大时△A，△G分别近似于等于零或可以忽略。
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（2）恒温恒压可逆相变 凝聚态之间的相变 对于有气相参与的相变
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例题： 已知在 下，水的沸点为 其比蒸发焓 又知液态水和水蒸气在100～120℃范围内 的平均比定压热容分别为 。今有
又知液态水和水蒸气在100～120℃范围内 的平均比定压热容分别为 ， 。 。今有 下120℃，1kg过热水变成同样温度、压力下的水蒸气。设计可逆途径，并按可逆途径分别求出过程的 ， 。 及
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↑ ↓ 解：题给过程为不可逆相变。 应根据题给条件设计出可逆途径，才可进行计算。可设计如下： 在101.325kPa的条件下
T=393.15K H2O(l) T=273.15K H2O(g) ↓ ↑ 不可逆相变 可逆相变 △S △S2 △S1 △S3 在 kPa的条件下
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过程（1）为 恒压降温过程； 的恒压升温过程。 （3）为 （2）为恒温、温压可逆相变；
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（3）化学变化过程 化学变化过程一般是在恒温恒压下进行的，其ΔG一般用标准摩尔反应吉布斯函数 表示。
标准摩尔反应吉布斯函数 是指反应物及产物各自处在纯态及标准压力下的摩尔反应吉布斯函数，其计算有两种方法。 对任意的恒温过程的化学反应
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第二种方法，是利用参加反应的各物质的标准摩尔生成吉布斯函数来计算。
标准摩尔生成吉布斯函数等于在该温度下由各自处在标准压力下的热力学稳定单质生成化学计量数νB=1的标准压力下B的吉布斯函数变化除以反应进度。用符号 表示。 对任意一个恒温恒压的化学反应
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练习题 在25℃，标准压力pΘ时，把Zn和CuSO4溶液的置换反应设计在可逆电池中进行，将做电功200 kJ并放热6 kJ，则过程中 、 、 和 的适合值为（ ）
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§3.7 热力学基本方程 5个不能直接测定的基本热力学状态函数U、H、S、G、A U、S H、G、A U、H S、G、A 解决能量衡算问题
§3.7 热力学基本方程 5个不能直接测定的基本热力学状态函数U、H、S、G、A U、S H、G、A U、H S、G、A 开始新课之前首先来回顾学过的热力学状态函数 解决能量衡算问题 解决过程 方向性问题
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定义式适用于任何热力学平衡态体系！ 这些状态函数之间有什么联系呢？
定义式中既有可以测量的物理量，也有不能直接测量的。本节课就是要找出可测变量与不可测量的函数间的关系。
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1. 热力学基本方程 dH = TdS + Vdp dU = TdS - pdV dA = -SdT - pdV
1. 热力学基本方程 对于可逆且不做非体积功的过程： dH = TdS + Vdp 对于可逆且不做非体积功的过程，各个函数就存在以下关系。 dU = TdS - pdV dA = -SdT - pdV dG = -SdT + Vdp
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dU = TdS - pdV dH = TdS + Vdp dA = -SdT - pdV dG = -SdT + Vdp
热力学基本方程适用于封闭系统且非体积功为零的可逆过程，包含了热力学理论的全部信息，是热力学理论框架的核心！ 基本方程的意义可利用能够直接测定的物质特性，即 pVT 关系和热容，来获得那些不能直接测定的U、H、S、A、G的变化。 对于可逆且不做非体积功的过程，各个函数就存在以下关系。
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练习题 封闭系统进行非体积功为零的可逆过程，恒温降压时系统吉布斯函数G会 ，恒容降温时系统亥姆霍兹函数A会 。（填增大、减小、不变） 减小
2. 封闭系统中，恒温恒压条件下发生某一化学反应，反应进度为1mol时，反应系统的 （ ） A B. C D. 不能确定
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2. U、H、A、G的一阶偏导数关系式 下面在热力学基本方程的基础上，我们来看他们的一阶偏导关系式。函数与其变量可以表示成一个一阶偏导关系式。根据热力学基本方程，U可以表示成S和V的函数，…… 下面以U为例
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同理， 以上四组关系式称为对应系数关系式
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对应系数关系式的意义 以 为例 说明①等温下系统吉布斯函数随压力的变化率就是系统的体积； ②体积V>0，恒温下系统吉布斯函数随压力的增大而增大。 思考： 恒压当T升高时，G？
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同理， 是讨论温度对化学反应平衡影响的基础。 吉布斯-亥姆霍兹方程
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3. U、H、A、G的二阶偏导数关系式 ——麦克斯韦关系式 对全微分函数
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麦克斯韦关系式
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麦克斯韦 公元1831～公元1879 英国物理学家、数学家。
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§3.8 热力学第二定律在单组分系统相平衡中的应用
§3.8 热力学第二定律在单组分系统相平衡中的应用 1. 克拉佩龙方程 可逆相变 △G=0
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得： 又因为 即克拉佩龙（Clapeyron B P E）方程，表示纯物质两相平衡时，温度与压力变化的函数关系。 例题 3.8.1
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2.克劳修斯—克拉佩龙方程 以熔化平衡为例 熔点随P变化不大
可以发现：熔化过程ΔH>0，当体积ΔV增加时，增强压力，熔点升高；反之，增强压力，熔点降低，例如水。
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以蒸发过程为例， 可以发现：蒸发或升华过程ΔH>0且ΔV>0，增强压力，沸点或升华点升高。
若Vm(g)>>Vm(l)，则 ΔvapVm≈Vm(g)。 将Vm(g)=RT/p代入 克劳修斯-克拉佩龙方程
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克劳修斯-克拉佩龙方程定积分式： 克—克方程的不定积分式 对某液体若有一系列不同温度下饱和蒸气压的数据，做lnp-1/T图，可得一直线，由此直线的斜率和截矩即可求得液体的 及式中的C。 例题 3.8.2
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如果精确计算，则需考虑 与温度的关系。 在缺乏 的情况下，可以利用特鲁顿规则进行估算：
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安托万(Antoine)方程 在工程计算中应用比较多 其中A、B、C是与物质有关的特征常数，称为安托万常数，可从有关手册中查到。
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