第五章 輸電線模型與性能 5.1 序 言 5.2 短程輸電線模型 5.3 中程輸電線模型 5.4 長程輸電線模型 5.5 電壓和電流波

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1 第五章 輸電線模型與性能 5.1 序 言 5.2 短程輸電線模型 5.3 中程輸電線模型 5.4 長程輸電線模型 5.5 電壓和電流波
5.1 序　言 5.2 短程輸電線模型 5.3 中程輸電線模型 5.4 長程輸電線模型 5.5 電壓和電流波 5.6 突波阻抗承載 5.7 流經輸電線之複功率潮流 5.8 電力輸送能力 5.9 輸電線之補償 5.10 輸電線性能分析程式

2 5.1 序　言 本章處理在正常操作條件下，輸電線的表示方式和性能；輸電線係以每相為基礎，並利用適當的電路參數表示成等效模型，其端電壓為某一條線對地的電壓，電流為某一相之電流，如此作法，則三相系統即可被簡化成等效的單相系統。 針對 “短程” 和 “中程” 的輸電線，發展其電路參數、與電壓和電流的關係；並在固定端電壓的條件下，考慮與電壓調整率、輸電線損失和操作相關之問題。 提出長程輸電線理論，並推導輸電線分布模型沿線上，電壓與電流之表示式；定義傳播常數和特性阻抗，以及展示輸電線的電力傳送近乎光速。既然輸電線在兩端點的條件極其重要，推演出等效 π 模型以代表長程輸電線。

3 5.2 短程輸電線模型 若輸電線長度小於約 80 km (50 哩)，或電壓不超過 69 kV，可忽略電容而不致引起太大誤差；短程輸電線的模型，可用單位長度的串聯阻抗乘以輸電線之長度得到。 l r和L分別是每單位長度每相之電阻和電感、l為輸電線長度。 (5.1) 若視在功率 SR(3) 之三相負載連接到輸電線的末端，受電端電流為 (5.2) 送電端的相電壓為 短程輸電線模型 (5.3)

4 若忽略並聯電容，送電端和受電端之電流相等，即
(5.4) 輸電線可用ABCD雙埠網路表示。 (5.5) (5.6) 輸電線的雙埠網路表示方式 (5.7) 對短程輸電線模型而言 (5.8)

5 輸電線的電壓調整率，定義為從無載變化到滿載，輸電線之受電端電壓的變化百分率（表為滿載電壓的百分率)
(5.9) 無載時 IR = 0，且由（5.5) 式 (5.10) 電壓調整率是一種輸電線電壓降之量測，且取決於負載之功率因數。在低功率因數落後之負載時，電壓調整率將較差；但當電容性負載時，即功率因數超前之負載，電壓調整率可能變成負值，這可由下圖的相量圖得到驗證。

6 (a) 功因落後負載 (b) 單位功因負載 (c) 功因超前負載
短程輸電線之相量圖 已知送電端電壓時，則送電端功率為 (5.11) 總輸電線耗損給定為 (5.12)

7 輸電線效率給定為 (5.13) 式中 PR(3) 和 PS(3) 分別為輸電線受電端和送電端之總實功率。

8 例題 (chp5ex1) 220 kV三相輸電線之長度為40 km，每相電阻是0.15 /km且每相電感是 mH/km，忽略並聯電阻，當輸電線供應下列三相負載時，應用短程輸電線模型，求解送電端電壓和功率、電壓調整率和效率。 (a) 在 220 kV下，功率因數 0.8 落後之 381 MVA。 (b) 在 220 kV下，功率因數 0.8 超前之 381 MVA。 <Sol> (a)每相串聯阻抗為 受電端每相電壓為

9 視在功率是 得每相電流 由（5.3) 式知，送電端電壓為 送電端線電壓之大小為

10 送電端功率為 電壓調整率為 輸電線效率為

11 (b) 對於功率因數 0.8 超前之負載 381 MVA，其電流為
送電端電壓是 送電端線電壓之大小為 送電端功率為

12 電壓調整率為 輸電線效率為

13 5.3中程輸電線模型 當輸電線長度增加時，輸電線之充電電流即愈發明顯，因此其並聯電容應予以考慮。輸電線之長度超過 80 km (50 哩) 但低於 250 km(150 哩) 時，習稱為中程輸電線 (medium length line)；對於中程輸電線，並聯電容的一半可予以集總併置於輸電線的任一端，此即習稱的 公稱  模型 (nominal  model)，如下圖所示 。 Z 是給定於 (5.1) 之輸電線總串聯阻抗，Y是輸電線的總並聯導納給定為 l (5.14)

14 在正常條件下，每單位長度的並聯電導甚微，代表流過絕緣礙子表面和來有電暈所致的洩漏電流，故假設 g 為 0；C 是每公里線對中性點的電容，l 為輸電線長度。公稱  模型的送電端電壓和電流，可如下求解：
(5.15) (5.16) (5.17) (5.18) (5.19)

15 將（5.17) 和(5.19) 與(5.5) 和(5.6) 作比較，可得公稱  模型
的 ABCD 參數 (5.20) (5.21) 一般而言，ABCD 參數均為複數，且由於  模型是對稱雙埠網路，故 A = D。再者，既然所處理者為線性(linear)、被動(passive)、雙向(bilateral) 雙埠網路，(5.7) 式傳輸矩陣的行列式為一，即 (5.22)

16 解(5.7) 式，受電端的量可用送電端的量來表示
(5.23) 兩個MATLAB函式被寫成為計算傳輸矩陣之用。當每單位長度之電阻以 (ohm)、電感以 mH、及電容以 F 表示時，使用函式 [Z, Y, ABCD] = rlc2abcd (r, L, C, g, f, Length)； 而當每單位長度之串聯阻抗以 、及並聯導納以 S(siemens) 表示時，則使用函式 [Z, Y, ABCD] = zy2abcd (z, y, Length)。上述函式可為公稱  模型、和述於 5.4 節的等效  模型，提供選項。

17 例題 (chp5ex2) 345 kV、三相輸電線 130 公里長，每相電阻是 /km、每相電感是 0.8 mH/km，並聯電容為 F/km。受電端電壓 325 kV 時，負載為 270 MVA、功率因數 0.8 落後；試使用中程輸電線模型，求解送電端電壓、功率、及電壓調整率。 應用函式 [Z, Y, ABCD] = rlc2abcd (r, L, C, g, f, Length)，以獲得輸電線的傳輸矩陣，指令請參考課本。其結果為 Enter 1 for Medium line or 2 for long line –> 1 Nominal π model Z = j ohms Y = 0 + j siemens Is = A pf = Vs = L-L kV Ps = MW Qs = Mvar Percent voltage Reg. =

18 例題 (chp5ex3) 345 kV、三相輸電線 130 公里長，每相每公里串聯阻抗是 z = j 0.3Ω、每相每公里並聯電容是 y = j 4.22  10–6 S。送電端電壓為 345 kV、且送電端電流為 400 A 功率因數 0.95 落後，試使用中程輸電線模型，求解受電端電壓、電流和功率、及電壓調整率。 應用函式 [Z, Y, ABCD] = zy2abcd (z, y, Length)，以獲得輸電線的傳輸矩陣，指令請參考課本。其結果如下 Enter 1 for Medium line or 2 for long line → 1 Nominal π model Z = j 39 ohms Y = 0 + j siemens Ir = A pf = Vr = L-L kV Pr = MW Qr = Mvar Percent voltage Reg. =

19 5.4 長程輸電線模型 對於輸電線長度為 250 公里(150哩) 及以上者，必須考慮分布參數的精確效應，以便獲得更準確的計算結果。本節將推導輸電線上，任意點之電壓和電流表示式，再以這些方程式為基礎，求得長程輸電線的等效  模型，下圖 顯示長度為 l km 分布輸電線中的一相。 以分布參數表示之長程輸電線

20 每單位長度之串聯阻抗以小寫字母 z 表示，每相之並聯導納則以小寫字母y 表示，其中 z = r + j  L 和 y = g + j C。試考慮距離輸電線受電端 x 處的一小線段 x，則線段兩端的電壓和電流相量，即可表為距離的函式，由克希荷夫電壓定律(Kirchhoff’s voltage law) 得 (5.24) (5.25) 取極限令 x → 0，可得 (5.26) 同樣地，由克希荷夫電流定律(Kirchhoff’s current law) 得

21 (5.27) (5.28) (5.29) 微分(5.26) 式並以(5.29) 式代入，可得 (5.30) (5.31) (5.32)
取極限令 x → 0，可得 微分(5.26) 式並以(5.29) 式代入，可得 (5.30) (5.31) (5.32) 可得下列微分方程式：

22 上述方程式的解為 (5.33) 其中  稱為 傳播常數(propagation constant)，由(5.31) 式給定為複數表示式，或 (5.34) 實部  稱為 衰減常數(attenuation constant)，虛部  稱為 相位常數(phase constant)， 以每單位長度之弳度(radian) 表示。從(5.26) 式，電流為 (5.35)

23 其中 ZC 稱為 特性阻抗(characteristic impedance)，給定為
(5.36) 其中 ZC 稱為 特性阻抗(characteristic impedance)，給定為 為求得常數A1和A2，可用當x=0時，V(x)=VR及I(x)=IR代入(5.33)及(5.36)，解A1、A2 (5.37) (5.38) 在代入(5.33) 和(5.36) 後，得長程輸電線沿線的電壓和電流之通式為

24 (5.39) (5.44) (5.41) (5.42) (5.43) (5.40) 以雙曲線函數表示：

25 輸電線送電端和受電端間之關係，應較受矚目，令 x =l，則 V(l) = VS 且 I(l) = IS，可得
(5.45) l l (5.46) 如同前述，以 ABCD 參數表示式重寫上式，得 (5.47) l l (5.48) l l (5.49)

26 現在即可找出精確的等效  模型，如下圖所示，以取代雙埠網路的 ABCD 參數。
如同在公稱  模型所獲得之(5.17) 和(5.19) 表示式，對長程輸電線之等效  模型而言即為 (5.50) (5.51)

27 將(5.50) 和(5.51) 式分別與(5.45) 和(5.46) 式作比較，並利用下述恒等式
(5.52) 得等效  模型的參數 (5.53) (5.54) 具備兩種選項的函式 [Z, Y, ABCD] = rlc2abcd (r, L, C, g, f, Length) 和 [Z, Y, ABCD] = zy2abcd (z, y, Length)，可用以計算傳輸矩陣和等效  模型之參數。

28 例題5.4 (chp5ex4) 500 kV、三相輸電線長 250 公里，每相每公里之串聯阻抗是 z = j0.4 、每相每公里之並聯導納為 y = j4  10–6 S，試計算等效  模型及傳輸矩陣。指令請參考課本，其結果如下： ABCD = i i i I Z = i Y = i

29 5.5 電壓和電流波 輸電線沿線之任意點，其電壓相量之有效值可由(5.3)式給定，若以  + j 取代  ，則電壓相量為
從相量領域轉換成時間領域，表示成t和x函數的瞬間電壓(instantaneous voltage) 為 (5.55) 當 x 增加(逐漸遠離受電端) 時，因 ex的關係，第一項逐漸變大，稱為入射波(incident wave)；因 e–x的關係，第二項逐漸變小，被稱為 反射波(reflected wave)。輸電線沿線任意點之電壓，即為該兩種成份之和。

30 (5.56) (5.58) (5.57) 由於電流表示式與電壓相似，電流亦可被認定為入射與反射電流波之和 。由於電流表示式與電壓相似，電流亦可被認定為入射與反射電流波之和。考慮反射波v2(t, x)，並想像我們跟著波跑，為觀察例如峰值振幅之瞬間值，此即要求 因此，為趕得上波並觀察波峰，即必須以如下速度行進

31 (5.59) 所以，傳播速度為 (5.60) 波長(wavelength)λ，或在波形上有 2 弳度相位移(phase shift) 之兩點間的距離 (5.61)

32 若忽略輸電線之耗損，即當 g = 0 且 r = 0 時，傳播常數的實部  = 0，由(5.34) 式，相位常數變成
(5.62) 而且，特性阻抗為純電阻性，(5.37) 式變為 (5.63) 此即習稱為 突波阻抗(surge impedance)，對於無損輸電線而言，取代(5.60) 和(5.61) 式中之 ，則傳播速度及波長變成 (5.64) (5.65)

33 輸電線每單位長度的電感 L 和電容 C 之表示式，已在第四章中導出，給定於(4. 58) 與(4
輸電線每單位長度的電感 L 和電容 C 之表示式，已在第四章中導出，給定於(4.58) 與(4.91) 式；當忽略導體內部的磁交鏈時，則 GMRL = GMRC，取代(5.64) 和(5.65) 式後，可得 (5.66) (5.67) 將 0 = 4π 10–7 及 0 = 8.85  10–12 代入，可得波速幾乎為 3  108 m/sec，即光速。在頻率為 60 Hz 時，波長為 5000 km，同樣地，取代(5.63) 式的 L 和 C 得

34 (5.68) 對於典型的輸電線而言，突波阻抗從 69 kV 輸電線的約 400 ，低至 765 kV 雙迴路輸電線的約 250 。對無耗損輸電線而言， =j ，且雙曲線函數coshx=coshjx=cosx與sinhx=sinhjx=jsinx，輸電線沿線的電壓和電流有效值方程式，給定於(5.43) 與(5.44) 式即變成 (5.69) (5.70) 在送電端 x = l

35 (5.71) l l (5.72) l l 對於開路的輸電線而言 IR = 0，且從(5.71) 式得無載受電端電壓為 (5.73) l 無載時，(5.73) 式明顯指出，當輸電線長度增加時，l變大而 cosl變小，導致較高的無載受電端電壓。當受電端直接接地短路時，VR = 0，(5.71) 與(5.72) 式可簡化成 (5.74) (5.75) l l

36 5.5 突波阻抗承載 輸電線之承載，若為其末端所連接之阻抗，等於其特性阻抗時，受電端電流與電流為 (5.76)
對無耗損輸電線而言，ZC 為純電阻性，在額定電壓下，相對應於突波阻抗的負載，習稱為突波阻抗承載(surge impedance loading, SIL)，給定為 (5.77) (5.78)

37 代入(5.69) 式中之 IR、和(5.70) 式中之 VR，可得
(5.79) (5.80) (5.79)與(5.80)式顯示，在突波阻抗承載下的無耗損輸電線，其沿線上任意點的電壓及電流之大小固定，且等於其送電端之值。SIL 是一種有用的輸電線容量評估指標；當負載明顯超過 SIL 時，可能需要並聯電容器，以減少輸電線沿線的壓降；而當負載明顯低於 SIL 時，即可能需要並聯電抗器。

38 例題5.5 (chp5ex5) 三相、60Hz、500 kV 輸電線長 300 公里，每相輸電線電感為 0.97mH/km、每相輸電線電容為 F/km，假設為無耗損輸電線。 試求輸電線相位常數 、突波阻抗 ZC、傳播速度 v 及輸電 線波長 。 受電端在 500 kV 時，其額定負載為 800 MW、功率因數 0.8 落後，試求送電端之各項電氣量、及電壓調整率。 <Sol> 對於無耗損輸電線，由(5.62) 式得 由(5.63) 式得

39 傳播速度為 輸電線之波長為 l 受電端每相電壓為

40 受電端視在功率為 受電端每相電流給定為 由(5.71) 式，可得送電端電壓為 l l

41 送電端之線間電壓大小為 由(5.72) 式，可得送電端電流為 l l

42 送電端功率為 電壓調整率為

43 5.7 流經輸電線之複功率潮流 輸電線上之複功率潮流(complex power flow)，可用送電端和受電端的電壓大小、相角、及 ABCD 參數來表示，其端點之關係給定於(5.5) 與(5.6) 式，將 ABCD 參數以極座標形式表示為 A = |A|∠A、B = |B|∠B，送電端電壓為 VS = |VS|∠ 、和受電端電壓為 VR = |VR|∠0，由(5.5) 式，IR 可重寫成 (5.81) 受電端之複功率為 (5.82)

44 (5.83) (5.84) 則輸電線受電端之實功率和虛功率為 (5.85) (5.86)

45 送電端功率為 (5.87) 由(5.23)式，IS 可重寫成 (5.88) 取代(5.87) 式之 IS (5.89) (5.90)

46 輸電線的實功率和虛功率耗損為 (5.91) (5.92) 若輸電線之電壓為固定時，改變負載角 ，並畫出 QR (3)對PR (3)的圖，其所有點的軌跡為一個圓，習稱為受電端電力圓線圖(receiving end power circle diagram)。 對於無耗損輸電線，B = jX’、A = 0、 B = 90、且 A = cos l，則傳經輸電線之實功率給定為 (5.93)

47 且受電端之虛功率為 (5.94) l 對於操作於某一固定電壓之系統而言，其傳送之電力，與電力角  之正弦成正比，當負載增加時， 亦增加。對於無耗損輸電線，在穩態情況下，傳送之最大電力，發生在 90 角。 無論如何，當遭遇發電、負載和故障之突然變動時，系統暨其所連接之同步電機，應能足堪承受，而不致喪失穩定，因此為確保妥適的穩定度餘裕 (margin of stability) ，實際的操作負載角，通常限制在35。至45。間。

48 5.8 電力輸送能力 輸電線的電力處理能力，受限於熱承載極限(thermal loading limit)、和穩定極限(stability limit)。由於實功率之損失，導致導體的溫度升高，將使導體拉長，造成鐵塔間的輸電線更形鬆垂，在較高的溫度時，即可能導致不可逆的拉伸；熱極限係由導體的載流量所規範，並可由製造商的數據中提供，若載流量為Ithermal，則輸電線的熱承載極限為 (5.95) 就無耗損之輸電線，X = ZC sin，則(5.93) 式可寫成 (5.96)

49 公式(5.96) 可重寫成 (5.97)

50 例題5.6 (chp5ex6) 700 MW 之三相實功率，將被輸送至距離電源 315 公里外的變電站。假設初始輸電線之設計參數如下：
VS = 1.0標么、VR = 0.9標么、l = 5000公里、ZC = 320  及  = 36.87 以實際輸電線之承載能力曲線方程式為基準，決定輸電線之 公稱電壓值。 (b)利用在 (a) 中所得之輸電線電壓準位，計算輸電線所能傳送之理論最大電力。 <Sol> 由(5.61) 式，可得輸電線相位常數為 l l l

51 從(5.97) 式之實際輸電線承載能力，可得 由(5.78) 式 (b) 無耗損輸電線的等效輸電線電抗為 l 對於無耗損輸電線而言，在穩態情況下，可輸送之最大電力發生在90 的負載角，故由(5.93) 式，假設 |VS| = 1.0 pu 且 |VR| = 0.9 pu，可得理論最大電力為

52 5.9 輸電線之補償 將輸電線加載至其突波阻抗承載時，可注意到輸電線上無淨虛功率的流進或流出，且沿線的電壓輪廓幾近平坦；在長程輸電線上，略低於SIL的輕載，將使受電端之電壓上升，而略大於 SIL的重載，則導致電壓的大幅下降。在不同承載情況下，長程輸電線的電壓輪廓，示如下圖。 在輕載或輸電線開路情形下，並聯電抗器已被廣泛應用，以減少高電壓；若輸電系統承載甚重時，則使用並聯電容器、靜態虛功控制和同步電容器，以改善電壓、提高電力輸送能力、並改善系統的穩定度。 並聯電抗器補償圖

53 5.9.1 並聯電抗器 並聯電抗器常被應用，以補償因輸電線電容所引起的不合意之電壓效應。在輸電線上，為維持受電端電壓在某特定值，其所需的電抗器補償量，可以如下方法獲得。試考慮電抗值為XLsh的電抗器，連接至長程輸電線的受電端，受電端電流為 (5.98) 將 IR 代入(5.71) 式，則 l l l (5.99) l

54 當 VS = VR，所需電抗器之電抗值與IS-IR為
(5.101) (5.100) l l l l 若在受電端僅接一具電抗器，電壓輪廓將不均勻，且電壓最高點在輸電線的中央位置。對於VS = VR的情況，輸電線中央位置的電壓可給定為 (5.102) l

55 例題5.7 (chp5ex7) 對於例題 5.5 的輸電線 當輸電線末端為開路，且送電端施加 500 kV，試計算受電端 電壓。 (b)為維持無載受電端電壓為額定值時，試求裝設於受電端之三相並聯電抗器的電抗值、和 Mvar。 <Sol> 於輸電線之送電端，施加 500 kV，送電端電壓每相為 從例題 5.5 中知，ZC = 、且  l = 當輸電線為開路時，IR = 0，且由(5.71) 式知，無載受電端電壓給定為

56 受電端無載時之線間電壓為 (b) 當VS = VR時，所需電抗器的電抗值，如(5.100) 式 三相並聯電抗器之額定為

57 5.9.2 並聯電容器之補償 並聯電容器被應用於，因重載而引起功率因數落後的電路，其效應係提供必要的虛功率，以維持受電端電壓於合宜的準位。電容器可直接連接至匯流排、或主變壓器的三次繞組，且沿線配置，以減少損失及電壓降。若對於特定負載，已知 VS 和 VR，可使用(5.85) 和(5.86) 式，以便於計算受電端所需的電容器 Mvar 值。

58 5.9.3 串聯電容器之補償 串聯電容器係與輸電線，相互串接，通常位於輸電線中央點，以減少負載與送電端間之串聯電抗，此有助於改善暫態與穩態穩定度、更具經濟效益的承載、及負載匯流排上的最小電壓降。串聯電容器有一很好的特性，即其所產生的虛功率，係與輸電線的承載，同步變化。研究證實，在超高壓輸電線上加入串聯電容器，可使長程輸電線獲得兩倍以上的暫態穩定度負載極限，唯其所需費用，則僅為新建輸電線的部分成本。投入串聯電容器，如下圖所示，

59 由(5.93)，可得無耗損輸電線上的傳送電力變為
(5.103) 其中 XCser 為串聯電容器之電抗值。表示成百分率的 XCser/X 比值，習稱為補償百分率(percentage compensation)，補償百分率的範圍，在 25 到 70% 之間。

60 (5.104) 其中 fs 是同步頻率。函式sercomp (ABCD) 係用以求取，已知補償百分率的輸電線性能。

61 例題5.8 (chp5ex8) 例題 5.5 的輸電線供應 500 kV、1000 MVA、功率因數 0.8 落後的負載。
(a)當輸電線送電端施加500kV電壓時，為使受電端電壓維持在 500kV，試求裝設於受電端之並聯電容器的電容值和 Mvar。 (b)若僅在輸電線的中央點，裝置 40% 補償百分率的串聯電容 器，試求送電端電壓、和電壓調整率。 <Sol> 由例題 5.5 知，ZC =290.43且  l = ，則無耗損輸電線的等效輸電線電抗給定為 l 受電端功率為

62 在上述運轉情況下，電力角  可從(5.93) 式獲得
解得  = ，應用(5.94) 式的近似關係，受電端的淨虛功率為 因此，所需的電容器 Mvar 值為 SC = j23.15 – j600 = – j576.85。電容器的電抗值為

63 (b) 對於 40% 的補償，串聯電容器每相電抗為
新的等效  電路參數給定為 新的 B 常數是 B = j64.26，且新的 A 常數為

64 受電端每相電壓為 受電端電流為 因此，受電端電壓為

65 線間電壓大小為 電壓調整率為 於例題 5.9(f) 中，所得正確解為 顯示 1% 的誤差。