第十章 Bezier曲线曲面.

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1 第十章 Bezier曲线曲面

2 Bezier曲线曲面操作实例 点击右面图标可以自己操作

3 综述 曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。 在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有 Bézier曲线曲面 B样条曲线曲面
孔斯曲面 P 1 2 3

4 优点 1 曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择 2 人机交互直观 3 易于计算 4 易于拼接 5 造型灵活等
本章讨论Bézier曲线曲面的重要性质和生成算法。 P0 P1 P2 x y （a）过图示三点的参数 二次多项式图形 （b）原图三点绕原点逆转45度后过三点的参数二次多项式图形

5 10.1 曲线曲面的基础知识 曲线、曲面的表示形式 参数表示： 非参数表示：（在CG&CAGD角度看，好一些） 显示表示 隐式表示 曲线和曲面的基础知识 位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率 以及连续性等

6 10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示 一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 一条直线方程
每一个x值只对应一个y值 用显式方程不能表示封闭或多值曲线

7 10.1.1 曲线的表示 2 隐式表示 平面曲线隐式表示的—般形式： 例如，二次隐式方程的—般形式可写成 (10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式: (10.2) 曲线的非参数表示存在的问题是： ①与坐标系相关； ②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)； ③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（10.2）；

8 10.1.1 曲线的表示 3 参数表示 曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函数形式。若取参数为 ，则曲线的参数表示为
， (10.3) 其中 ， 和 分别为 的显式函数， 即每一个 对应空间一个点 通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不同的量，如时间、角度等。 连接 和 两点的直线段的参数方程可写为

9 10.1.1 曲线的表示 3 参数表示 一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单位圆弧可表示成 其中：
图10.1　第一象限内单位圆弧的表示形式 y (a) 1.0 x (b) 取角度θ为参数时，x和y的关系如图10.1(a)所示；取t为参数时，x和y的关系如图10.1(b)所示，其中θ和t为等距取值。

10 参数表示的优越性 ①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变性； ②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷大的情况；
③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何变换比较容易； ④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系数的几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。

11 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 在三维空间中，曲线的参数方程为 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
图10.2 参数曲线的切矢 P′ (t) △P P(t) P(t+△t) y x z 在三维空间中，曲线的参数方程为 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量 设 和 是曲线上的两点，记 ，如图10.2所示。当 时，导数矢量 的方向趋近于P点处的切线方向，记为 。称 为 在 处的导矢，或切矢量。 设 表示 到 的弧长，由于弦长 和弧长 的极限相同， 即 (10.4) 则 (10.5) T称为处切线方向的单位矢量。上式说明，如果以弧长为参数，曲线在任意点的切矢量为单位矢量。

12 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 3.弧长 对于正则曲线 （ ），从点 到点 的弧长定义为
对于正则曲线 （ ），从点 到点 的弧长定义为 其中 是切矢量 的长度。式 可看作是曲线从 到 的折线长度的极限。记 为 ， 为 ，在曲线从 到 之间沿着递增 的方向，取n－1个点 ，把相邻点用直线段连接起来，得到曲线 的折线，它的长度为 ，当 时， 。

13 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 4.曲率 设以弧长s为参数，曲线上的点 和点 处 的单位切矢量分别为 和 ，记两切矢的夹
的单位切矢量分别为 和 ，记两切矢的夹 角为 ， ,如图10.3所示。对于空 间曲线，这两个切矢量通常不在同一平面上。记 为曲线从点 到点 的长度(弧长)，通常 用 与 之比的绝对值 来度量曲线由 到 的弯曲程度。当 时，曲线在点 处 的曲率 定义为 当 时， 称为曲线在 点的曲率 半径。 T(s) T(s+△s) P(s+△s) P(s) T(s) △T △s △Φ △h T(s+△s) 图10.3 参数曲线的曲率

14 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 由于 和 都是单位长度，所以圆心角 与其对应的圆弧长 (图
由于 和 都是单位长度，所以圆心角 与其对应的圆弧长 (图 10.3)大小相等。弧长 和 的极限相同，因此 ，所以 由式（10.5）知 (10.6) 5. 主法矢量和副法矢量 对于一条空间三维曲线，任何垂直于切矢量T的矢量，都称为法矢量。 因为T是单位矢量，由式 两边对t求导知，矢量 垂直于T。与 同方向 的单位矢量N称为主法矢量。如果取弧长s为参数，则有 ，其中K 为曲率。约定 ，有 KN称为曲线的曲率矢量。

15 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 矢量 垂直于T 和N，把B 称为单位副法线矢量。
法矢量N和副法矢量B，副法矢量B和切矢量T的平面分别称之为密切平 面、法平面和从切平面，如图10.4所示。 法平面 从切平面 B T Q R M N 密切平面 图10.4 参数曲线的法矢

16 密切平面与密切圆 设曲线上三点M、R、Q分别对应参数 、 、 ，R点的密切圆是指当 时，经过三点M、R、Q的圆。由于 由此我们得到如下结论：过点R的切平面有很多，它们都过该点的切线，而同时过该点的前后两个点的切平面只有一个，即密切平面。因此密切平面的几何意义是：在所有和曲线上的点R相切的平面中，密切平面是R附近和曲线贴的最紧的平面。密切圆是由M、R和Q三点决定的，点R邻域内的曲线可用由M经R到Q之间的圆弧近似，所以密切圆可表示曲线在点R处的弯曲程度。曲线上一点R的密切圆的半径等于该点的曲率半径，密切圆心是曲率中心。 所以 和副法矢量B同向，即过M、R、Q的圆和密切平面重合。

17 讨论以t为参数时，曲率 的表达式 因为 （10.7） 上式两边对t求导，就有 由 得 （10.8）

18 10.1.3 参数曲面的切平面和法矢量 1 参数曲面的表式 和曲线一样，曲面也有显式、隐式和参数式三种表示方式。在uv平面
矩形域上的参数曲面片可表示成如下形式 （10.9） 其中 ， 和 分别为和的显式函数，即 常用来描述四边形参数曲面片几何性质的几何元素有： 1）角点。四个角点是： ，简记为 。 2）边界线。矩形域曲面片的四条边界线是： 。 3）点 处的切矢。面片在点 处具有u向切矢 和v向切矢 其中， 表示 在 处沿 方向的一阶导矢。 4)点 处的法矢。面片在点 处的法矢可表示为 。

19 10.1.3 参数曲面的切平面和法矢量 2 参数曲面的切平面和法矢量 设 为曲面 上的任一点， 是uv平面上满足
2 参数曲面的切平面和法矢量 设 为曲面 上的任一点， 是uv平面上满足 的任一条参数曲线，记过曲面上的点 的曲线 为L，则L在 点的切矢量为 (10.10) 曲面上过 点的任何一条曲线在 点的切矢量都是曲面在该点的切矢 量，即，曲面在 点的切矢量有无穷多个，所有这些切矢量组合成的平 面称为曲面在 点的切平面。由式（10.10）知，曲面在 点处沿任意方 向的切矢量都可由 和 线性表出，所以曲面在 点的切平面 方程可表示成 (10.11) 曲面在点 处的法矢量唯一定义为 。

20 10.1.4 参数曲线的多项式表示 三次参数多项式曲线 的代数表示形式是： 上式的矢量形式是 （10.12） 其中 ， 是多项式系数矢量。
三次参数多项式曲线 的代数表示形式是： 上式的矢量形式是 （10.12） 其中 ， 是多项式系数矢量。 多项式系数矢量并没有反映出曲线的几何性质，，对于三次多项式曲线，常用四个具有明显几何意义的条件进行描述。在三次曲线的Hermite表示中，这四个条件是： 两端点的位置： 和 两端点的切矢量： 和

21 10.1.4 参数曲线的多项式表示 把 的值代入式(10.12)， 则有 其中 （10.14） 为[0,1]区间上的三次Hermite基函
把 的值代入式(10.12)， 则有 （10.13） 其中 （10.14） 为[0,1]区间上的三次Hermite基函 数，也可称为调和函数。式(10.13) 是参数曲线的三次Hermite表示 形式， , , 为其几何系数 几何系数和形状的关系如图10.5所示。 式(10.12)和(10.13)写成矩阵形式分别是 （10.15） （10.16） 其中 和 分别表示矩阵A和B的转置 利用式(10.15)和式(10.16)及矩阵运算就可得到代数形式和几何形式的转换关系。 图 10.5 三次Hermite曲线

22 10.1.5 参数连续性和几何连续性 参数连续性和几何连续性是刻画曲线曲面性质的两个重要量 如果曲线 在 处满足左右n阶导数均存在且相等，即
， (10.17) 则称曲线 在 处是n阶参数连续的，或称Cn连续。若曲线在区间 [0,1]内处处是Cn连续的，则称该曲线是Cn连续的。 例如，如果曲线在 处满足C2连续，则它满足下述条件

23 几何连续性 1） 如果曲线 在点 处满足位置连续，即 ，则称曲线在 处零阶几何连续（GC0）。
1） 如果曲线 在点 处满足位置连续，即 ，则称曲线在 处零阶几何连续（GC0）。 2） 如果曲线 在点 处满足GC0连续，且切矢量方向相同，即存 在常数 ，使 ，则称曲线在 处一阶几何连续 （GC1）。 3） 如果曲线 在点 处满足GC1连续，且副法矢量连续，曲率连 续，即 , ，则称曲线在 处二阶几何连续 （GC2）。 (a)零阶几何连续性 (b)一阶几何连续性 (c)二阶几何连续性 图10.6 零到二阶几何连续

24 几何连续性 几何连续性与选择的参数无关，只与曲线本身有关。几何连续性和参数 连续性的关系如下：
1）如果曲线在 处是GC2的，则经过适当参数化，该曲线也是C2的。 2）曲线在 处是GC2连续的充要条件是存在常数 和 ，使得 (10.18) 取 ， , 式（10.18）就成为连续的条件了。 几何连续性的条件要比参数连续性的条件更苛刻，因为有些C2连续的曲线，无论如何对其进行参数化，都不能成为GC2连续的。 例如，摆线 y 2π 4π x 图10.7 摆线 的形状如图10.7所示，摆线在处是C2连续的,但不是GC2连续的.

25 10.2 Bézier曲线 曲面的重要和基本方法之一。
Bézier曲线是一段n次多项式曲线，是构造自由曲线 曲面的重要和基本方法之一。 它具有许多优点，诸如保凸性，凸包性，曲线形状不依赖于坐标系的选择，人机交互手段灵活等。由于它能满足几何造型对曲线曲面的要求，因此在理论和应用上均得到了极大的重视和发展。

26 10.2 Bézier曲线 线性贝塞尔曲线 给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出： 且其等同于线性插值
线性贝塞尔曲线  给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出： 且其等同于线性插值 二次方贝塞尔曲线 二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：

27 10.2 Bézier曲线 三次方贝塞尔曲线 [编辑]
三次方贝塞尔曲线 [编辑] P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。 曲线的参数形式为：

28 10.2.1 Bézier曲线的定义 1 Bézier曲线的定义 在空间给定n个点 ，称下列参数多项式曲线为n次Bézier曲线
， 0≤t≤ (10.19) 其中 是Bernstein基函数： (10.20) 折线 称为 的控制多边形， 各点称为 的控制顶点。控制多边形 是对Bézier曲线 的大致勾画, 是对控制多边形的逼近。如图10.8是n次Bézier曲线和它的控制多边形。 P0 P1 Pn-1 Pn P(t) 图10.8 n次Bézier曲线及控制多边形

29 10.2.1 Bézier曲线的定义 2 Bernstein基函数的性质
J0,3 J1,3 J2,3 J3,3 1 t Bézier曲线的定义 2 Bernstein基函数的性质 Bernstein基函数（如图10.9）具有如下性质： (1)非负性 (2)权性 (3)对称性 ， (4)导函数，记 ， ，则 的导函数为 ， (10.21) (5)最大值，对 ， 在参数 时，达到最大值。 (6)递推公式,其中 ， (10.22) (7)升阶 ， (10.23)

30 10.2.2 Bezier曲线的性质 (1)端点位置：Bézier曲线的起点为P0，终点为Pn，即 , (10.24) (2)端点的切线
, (10.24) (2)端点的切线 Bézier曲线 在起点 处与边 相切，在终点 点处与边 相 切，即 (10.25) （3）端点的曲率 由式(10.8)知，Bézier曲线 在点 和 处的曲率 和 分别为 (10.26) 这可由曲率公式 ，式(10.25)得到下式 由Bezier曲线的性质(1)-(3)知，Bezier曲线在端点处的 ( =0,1,2)阶导矢是由相邻的 个点决定的，与其他的点无关。

31 10.2.2 Bezier曲线的性质 (4) 仿射不变性 Bézier曲线具有仿射不变性，也就是说Bézier曲线的形状和位置仅
与它的控制顶点的位置有关，而与仿射坐标系的选择无关。仿射不变性 的含义可解释如下。给定 个点 ，设 是由这 个点构造的 n次Bézier曲线，把 经仿射变换后变成的新的坐标系 中的曲线记 为 。另一方面，设 个数据点经仿射变换后变成的新坐标系 中 的点分别为 ，由它们构成的n次Bézier曲线记为 ，仿射不变 性的含义是 。 (5) 凸包性 点集 的凸包是指包含这些点的最小凸集。 由于 ，且0≤Ji,n (t)≤1, 所以对某个t值，点 是各个控制顶点 的凸线性组合，因此点 一定位于其控制顶点 的凸包之内,如图10.10所示。 P0 P10 Pn Pn-1 P(t) 图10.10 Bézier曲线的凸包性

32 10.2.2 Bezier曲线的性质 （6） 交互能力 控制多边形 大致勾画出了Bézier曲线 的形状，因此可以通
过改变控制多边形的形状来改变 的形状，如图10.11所示,将控制顶点 移到 处， 的形状发生了变化。 另外，移动 的第j个控制顶点 ,将对 上参数为 的点 的影响最大，越远离 的点所受的影响越小，这种性质称为拟局部性。 （7）变差缩减性 如果Bézier曲线 的控制多边形 是一个平面图形，则平面内任一直线与 的交点的个数不多于该直线与控制多边形 的交点的个数，这一性质叫做变差缩减性[1]。此性质反映了Bézier曲线比控制多边形的波动小，即Bézier曲线比控制多边形更光顺。 P0 P1 P2 P3 P4 图10.11 Bézier曲线随控制多边形而变 3 P

33 Bezier曲线的性质 （8）保凸性 对于Bézier曲线 ，把控制多边形 的终点 和起点 连接起来，如果 是个封闭的平面凸多边形，则Bézier曲线 是一段凸的平面曲线，该性质称为Bézier曲线的保凸性[1]， 如图10.12所示。 P0 Pn 图 Bézier曲线的保凸性

34 10.2.3 例子 本节讨论由分段定义的Bézier曲线逼近 单位圆。不失一般性，讨论由四条Bézier 曲线逼近单位圆。单位圆由下式定义
（1,d） （d,1） z (0,1) (1,0) y 图10.13 三次Bézier曲线 例子 本节讨论由分段定义的Bézier曲线逼近 单位圆。不失一般性，讨论由四条Bézier 曲线逼近单位圆。单位圆由下式定义 (10.27) 下面给出构造过程。考虑图10.13所示的情形，对四分之一圆逼近的三次Bézier曲线由四个控制点定义，其关键是确定 的值使Bézier曲线较好地逼近该四分之一圆。取Bézier曲线的中点在圆上，则 ，从而得到对平面上四分之一圆的近似表示为 (10.28) 三次Bézier曲线(10.28)和其控制顶点如图10.13所示。这样四段三次Bézier曲线就可逼近一个平面整圆。

35 10.2.4 Bezier曲线性质的进一步讨论 1．Bézier曲线的几何作图
的比例，则分点 为 ， (10.29) 这n个点组成一个新的n-1边形，对该n-1边形重复上述操作，得到一个n-2边形的n-1个顶点，依次类推，连续作n次操作后，得到一个单点 ,该点就是式（10.19）表示的Bézier曲线上参数为t的点 。

36 10.2.4 Bezier曲线性质的进一步讨论 图10.14显示了四次Bézier曲线取 时的作图过程。 该作图过程，可以描述为一个代数递推
公式 , (10.30) 其中， ， l表示递推的步数，i表示该点位于相应 多边形的第i+1条边上。 P2 P4 P0 P3 P1 P3,1 P2,2 P2,1 P1,3 P1,2 P0,1 P0,4 P0,3 P0,2 P11 图 Bézier曲线的几何作图 式(10.30)说明，一条n次Bézier曲线可以表示成两条次Bézier曲线的线性组合。

37 2 Bezier曲线的升阶 Bézier曲线具有整体性，可以使用 升阶的方法，增加它的控制顶点，从而 增加对曲线进行形状控制的灵活性。
利用Bernstein基的升阶公式(10.23)， 可以得到Bézier曲线的升阶公式。对一 条n次Bézier曲线 P0= P0* P1 P2 P3= P4* P1* P2* P3* 图10.15 Bézier曲线的升阶 增加一个控制顶点后，得到一条新的n+1次Bézier曲线，如果新的Bézier曲线和原Bézier曲线表示同一条曲线，则新的Bézier曲线的控制顶点 可由如下升阶公式决定 (10.32) 其中 。新控制多边形在老控制多边形的凸包内，且更接近对应的Bézier曲线,如图10.15所示。 n次Bézier曲线升阶后得到的高次Bézier曲线实际上仍然是n次Bézier曲线，当移动新的控制顶点使曲线的形状发生变化时，新的Bézier曲线的次数就升高了。

38 3 Bezier曲线的导矢 对Bézier曲线的定义公式(10.19)求导，并利用Bernstein基函数的
(10.33) 其中 ，称为向前差分矢量，也就是控制多边形的边矢量。 式(10.33)表明，n次Bézier曲线 的导矢 是n-1次的Bézier曲 线，且 的控制顶点来自 的控制多边形的n条边矢量，分别将这n 条边矢量的起点置于原点，矢量的末端就是 的各控制顶点。

39 10.2.5 Bezier曲线的拼接 用Bézier曲线表示复杂形状的自由曲线常采用分段定义的方法，
设 和 为两条n次Bézier曲线，拼接时在连接点处需要满足一定 的光滑性要求，这些光滑性要求包括： 1） GC0连续： 其充要条件是 。 Q２ Pn-1 Pn-2 Q1 Pn=Q0 d(Q2,Pn-1Q1) d(Pn-2,Pn-1Q1) 图 GC0, GC1, GC2的连续条件 2） GC1连续： 其充要条件是 且 和 均不为零且同向， 即 、 和 三点共线。 3） GC2连续： 其充要条件是 和 在连接点处达到GC1连续，还要满足 六点共面； 和 或同在直线 上或位于直线 的同侧，而且 （10.34） 其中 ， 分别表示 点和 点到直线 的距离，如图10.16所示。

40 调整曲线 和 ，使它们在连接处达到GC2连续的算法如下：
步骤1: 平移控制多边形 使 与 重合。 步骤2: 围绕 点转动控制多边形 ，使得 与 同向。 步骤3: 围绕线段 转动多边形 ，使得 落在 所确定的平面内，并且与 位于直线 的同一侧。 步骤4: 调整 或 使式(10.34)成立。 由于使用控制多边形生成曲线，所以曲线拼接的过程很直观，也很容易实现。另外，因为 和 在拼合点处的曲率不一定相同，所以，当两条曲线的曲率不相同时，GC2拼接至少需要改动一条曲线的形状。

41 Bezier曲线的离散生成 在计算机图形学中经常需要将一段Bézier曲线进行分割，例如对两条Bézier曲线做求交运算，或显示一条Bézier曲线。利用Bézier曲线的离散性可以求得分割后两段曲线的控制顶点，从而将两段曲线表示为Bézier曲线的形式。 Bézier曲线 经中点分割得到的两段曲线可表示为 (10.35) 其中 和 由下列递推关系确定 (10.36) 式中 。

42 10.2.6 Bezier曲线的离散生成 实际中用的较多的是三次Bézier曲线， 时的递推关系式如图10.17所示。
图10.17的几何意义如图10.18所示： P2[1] 图10.18 Bézier曲线的割角过程 P2 P1 P0 P32 P1[1] P3[1] P2[2] P3[2] P3[3] P0 P1 P2 P3 P1[1] P2[1] P3[1] P2[2] P3[2] P3[3] 图10.17 的Pi[r]的递推关系

43 10.3 Bezier曲面 10.3.1 Bézier曲面的定义和性质
在空间中给定(n+1)×(m+1)个点 , 称下面张量积形式的参数多项式曲面为n×m次的Bézier曲面: ，0≤u ,v ≤ (10.37) 其中， 分别是n次和m次Bernstein基函数, P04 P03 P02 P40 P30 P20 P10 P00 P01 P11 P21 P31 P41 P14 P(u,0) P(0,v) 图10.19 Bézier曲面的控制网格 为 的控制顶点， 把由 和 组成的网格称为控制网格,如图10.19所示。控制网格是对Bézier曲面的大致形状的勾画.

44 Bezier曲面的性质 P40 P04 P02 P00 P01 P11 P21 P41 P14 P(u,0) P(0,v) （1）端点位置
图10.20 Bézier曲面的端点和边界线 （1）端点位置 控制网格的四个角点P00, P0m, Pn0, Pnm是曲面的四个端点，如图10.20所示。 （2）边界线的位置 的四条边界线 ， ， 和 是Bézier曲线， 分别以 ， ， ， 为控制多边形。 （3）端点的切平面 端点 的u向切矢和v向切矢分别为 和 ，所以三角 形 所在的平面在P00点和曲面相切。同理，三角形 ， ， （图10.20中斜线部分）所在的平面分别在点 ， ， 处与 曲面相切。

45 Bezier曲面的性质 （4）端点的法向 由端点的切平面知， 是 在点 处的法向；其余各端 点 ， ， 处法向的情况也类似。 (5) 凸包性
由端点的切平面知， 是 在点 处的法向；其余各端 点 ， ， 处法向的情况也类似。 (5) 凸包性 曲面 位于其控制顶点 的凸包内。 (6) 仿射不变性 曲面 的形状仅与其控制顶点 的位置有 关，而与坐标系的选择无关。 (7) 拟局部性 修改一个控制顶点时，曲面上距离它较近的点受影响较大。要改变 曲面某部分的形状，只要交互调节相应的控制顶点即可。

46 Bezier曲面的拼接 Q11 Q12 Q13 Q03 Q02 Q01 Q00 Q10 P30 P31 P32 P33 P21 P20 P22 P23 图10.21 GC1拼合的条件 两张Bézier曲面相连接时，在公共边界达到GC1连续是指在公共边界的每一点上两曲面的切平面重合。假定两张要拼接的Bézier曲面的方程为 要达到GC0连续，需要满足： , ，如图10.21所示。要达到GC1，首先要满足GC0连续，还要满足在公共边界线上法矢量方向连续，即 存在常数 ,使 (10.38) 式（10.38）等价于 (10.39) 式（10.39）的一个简单充分条件是存在常数k﹥0 ，

47 10.3.3 用Bezier曲面造型 用Bézier曲面逼近单位球。单位球由下式定义 (10.40)
P21 P11 P03 P02 P01 P33 P32 P31 P00 P22 P12 P23 P13 图10.22 双三次Bézier曲面 首先构造对四分之一圆(10.40)逼近的三次Bézier曲线。令 ，由式(10.28)知，对 平面上四分之一圆的近似表示为 (10.41) 三次Bézier曲线(10.41)和其控制顶点如图10.13所示。这样四段三次Bézier曲线就可逼近一个平面整圆。

48 10.3.3 用Bezier曲面造型 如何构造四分之一半球面 式(10.40)定义的三维球可由8个四分之一半球拼合而成。构造双三次
Bézier曲面需要16个控制顶点。16个控制顶点按如下方法定义。以图 10.13中的z轴为中心，顺时针方向旋转图10.13所示的4个控制顶点0、30、 60和90度，依次形成4组控制顶点，如图10.22所示。第0组控制顶点定义 的三次Bézier曲线由式(10.28)定义，第i(i=1,2,3)组控制顶点定义的三 次Bézier曲线 定义如下 其中

49 10.3.3 用Bezier曲面造型 由 ， 四条三次Bézier曲线定义的双三次Bézier曲面如下
为三边形，这是因为四条边界中的一条边为一个点，定义该边的四个控 制顶点为 。图10.22也说明，适当选择Bézier曲面的控制 顶点，可使Bézier曲面的边界具有灵活的形状。 注：由图10.22所示的曲面的构造过程知，点 并不在球上。有兴趣 的读者可讨论一下，如何定义控制点使点 在球上。

50 Bezier曲面的离散生成 由式(10.35)知Bézier曲面可分成如下四块小的Bézier曲面片 (10.42)

51 10.3.4 Bezier曲面的离散生成 其中上式中的控制顶点由下列递推关系得到。 先沿 方向离散，对 (10.43)
得到两张Bézier曲面，然后沿 方向离散，对 (10.44) (10.45) 得到四张Bézier曲面。