第 4 章 正弦交流电路.

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1 第 4 章 正弦交流电路

2 4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 单一参数的交流电路 4.4 电阻、电感与电容元件串联交流电路 4.5 阻抗的串联与并联 4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算 4.7 交流电路的频率特性 4.8 功率因数的提高 4.9 非正弦周期交压和电流

3 本章要求 1、理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2、理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 3、熟练掌握正弦交流电路的相量分析法，会画相量图；
4、掌握有功功率和功率因数的计算, 了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念； 5、了解正弦交流电路的频率特性，谐振的条件及特征； 6、了解提高功率因数的意义和方法。

4 交流电路中的元件向量模型 教学 重点 基尔霍夫定律，欧姆定律的相量形式 交流电路的分析方法 交流电路的功率计算

5 电感、电容元件电压电流关系的物理实质 教学 难点 利用相量图分析电路的方法

6 4.1 正弦电压与电流 + _ 正弦量：正弦电压、电流等物理量的统称。 随时间按正弦规律变化的交流电压、电流称为正弦电压、电流。 u i R
a b _ 正半周：电流实际方向与参考方向相同 负半周：电流实际方向与参考方向相反

7 i O 设正弦交流电流： Im T  2  幅值 初相角 角频率 正弦量的三要素：幅值、角频率、初相角。

8 i 4.1.1 频率与周期 周期T （s） ：变化一周所需的时间 频率f （Hz） ： 角频率ω（rad/s） ：
O 频率与周期 T 周期T （s） ：变化一周所需的时间 频率f （Hz） ： 角频率ω（rad/s） ： 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz

9 4.1.2 幅值与有效值 瞬时值: i、u、e 指正弦量任意瞬间的值 幅值: Im、Um、Em 指正弦量在一个周期内的最大值
幅值与有效值 t i Ｔ 振幅 Im 用小写表示 瞬时值: i、u、e 指正弦量任意瞬间的值 幅值: Im、Um、Em 指正弦量在一个周期内的最大值 幅值必须大写, 下标加 m 必须用大写表示，无下标 有效值： I、U、E 一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。

10 有效值的推导： 直流 交流 则有 同理： 说明：交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值

11 相位差 ： 两同频率的正弦量之间的初相位之差。
4.1.3 初相位与相位差 正弦量：  i O 相位： 反映正弦量变化的进程。 初相位：  表示正弦量在 t =0时的相角。 （用 的角度表示） 若所取计时时刻（时间零点的选择）不同， 则正弦量初相位不同。 相位差 ： 两同频率的正弦量之间的初相位之差。

12 设正弦量： i和u的相位差为： 如果： 电流超前电压 角。 如果： 电流 滞后电压  角。 说明：不同频率的正弦量无比较意义 u i i
 t i u i u 如果： 电流超前电压 角。 如果：  电流 滞后电压  角。 说明：不同频率的正弦量无比较意义

13 u i ωt  O u i ωt 90° O 电流超前电压  电流超前电压 正交

14 u i ωt O ωt u i O 电压与电流反相 电压与电流同相

15 4.2 正弦量的相量表示法 一、正弦量现有的表示方法： 瞬时函数表示和波形图表示。 正弦量的函数式表示： 求和： 计算过程复杂

16 为简化计算采用一种新的表示方法：相量表示法 （用复数表示正弦量）
 t i u i1 i2 正弦量的波形图表示： 求和： 计算过程复杂 为简化计算采用一种新的表示方法：相量表示法 （用复数表示正弦量）

17 r a A b 二、 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 设A为复数，则 A = a + jb 复数的模 复数的辐角 式中: +j 模
+1 A b a r 模 二、 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 幅角 设A为复数，则 A = a + jb 其中：a 称为复数A的实部， b 称为复数A的虚部。 复数的模 复数的辐角 式中:

18 由欧拉公式: 可得: 所以： 复数的几种形式： A = a + jb （代数式） （指数式） （三角式） （极坐标式）

19 表示正弦量的复数称为相量。 设正弦量: 相量表示: 相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角 电压的有效值相量 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角 或： 电压的最大值相量

20 = 说明： 1、相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 2、只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。
函数 复数 2、只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 3、只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

21 4、相量的两种表示形式 相量式: 相量图: 把相量表示在复平面的图形 例1: 将 u用相量式表示 解： 或 电压的有效值相量
可以不画坐标轴 例1: 将 u用相量式表示 解： 或 电压的有效值相量 电压的最大值相量 实际应用中，模多采用有效值，符号：

22 例2: 将 u1、u2 用相量表示 +1 +j 解: (1) 相量式 (2) 相量图 超前 落后 ？ 落后于

23 例3:已知 求： 有效值 I =16.8 A

24 4.3 单一参数的交流电路 4.3.1 电阻元件的交流电路 1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设 相量图 (1) 频率相同 相量式：
4.3 单一参数的交流电路 4.3.1 电阻元件的交流电路 R u + _ 1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设 相量图 (1) 频率相同 相量式： (2)大小关系： (3)相位关系 ： u、i 相位相同 相位差 ：

25 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 i ωt u O i u 小写 ωt p O p 结论: （耗能元件）,且随时间变化。

26 注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
R u + _ (2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值 p ωt O 大写 P 单位:瓦（W） 注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。

27 4.3.2 电感元件的交流电路 设： - 1. 电压与电流的关系 + 基本关系式： eL (1) 频率相同 (2) U =I L
ωt i O (1) 频率相同 (2) U =I L (3) 电压超前电流90 相位差

28 或 有效值: 定义： 感抗(Ω) 则: 直流： f = 0, XL =0，电感L视为短路 交流：f XL  电感L具有通直阻交的作用

29 O 感抗XL是频率的函数 根据： 超前 可得相量式： 相量图 则： 电感电路复数形式的欧姆定律

30 2. 功率关系 (1) 瞬时功率 (2) 平均功率 L是非耗能元件

31  电感L是储能元件。 分析： 瞬时功率 ： 结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i - u i - u i
瞬时功率 ： i u o 结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i + - u i + - u i + - u i + - p o 可逆的能量 转换过程 + p >0 + p >0 p <0 p <0  电感L是储能元件。 储能 放能 储能 放能

32 (3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即 瞬时功率 ： 单位：var

33 4.3.3 电容元件的交流电路 设： 1.电流与电压的关系 + 基本关系式： 则： 电流与电压的变化率成正比。 (1) 频率相同
电容元件的交流电路 u i C + _ 1.电流与电压的关系 基本关系式： 设： 则： 电流与电压的变化率成正比。 i u (1) 频率相同 (2) I =UC (3)电流超前电压90 相位差

34 有效值 或 定义： 容抗（Ω） 则: XC 直流： XC ，电容C视为开路 交流：f 所以电容C具有隔直通交的作用

35 容抗XC是频率的函数 超前 电容电路中复数形式的欧姆定律
O 容抗XC是频率的函数 由： 可得相量式 超前 相量图 则： 电容电路中复数形式的欧姆定律

36 2.功率关系 u i C + _ 由 (1) 瞬时功率 (2) 平均功率 Ｐ C是非耗能元件

37 纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。
瞬时功率 ： u i o u,i 结论： 纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i + - u i + - u i + - u i + - p o + p >0 + p >0 p <0 p <0 所以电容C是储能元件。 充电 放电 充电 放电

38 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设 则： 同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。 单位：var

39 单一参数正弦交流电路的分析计算小结 R L C 电路 参数 设 i + u 则 - 设 i + u - 设 i + 则 u - 阻抗
电压、电流关系 功　率　　　　　　　 基本 关系 电路 参数 电路图 (参考方向) 瞬时值 相量图 相量式 有效值 有功功率 无功功率 设 i + R u 则 - u、 i 同相 设 i + L 则 u - u领先 i 90° 设 i + C 则 u - u落后 i 90°

40 4.4 R、L、C串联的交流电路 1. 电流、电压的关系 R L C + _ (1) 瞬时值表达式 根据KVL可得： 设： 则

41 (2)相量法 1)相量式 R jXL -jXC + _ 设 （参考相量） 则

42 Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。
根据 令 阻抗 复数形式的 欧姆定律 则 Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。 注意 Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。

43 阻抗模： 阻抗角：  由电路参数决定。 电路参数与电路性质的关系： 当 XL >XC 时，  > 0 ，u 超前 i 呈感性 当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 呈容性 当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈电阻性

44 2) 相量图 由电压三角形可得: 参考相量 + R _ XL < XC XL > XC jXL (  > 0 感性)
-jXC + _ XL < XC XL > XC (  > 0 感性) (  < 0 容性) 由电压三角形可得: 电压 三角形

45 2) 相量图 由相量图可求得: 电压 三角形 阻抗 三角形 由阻抗三角形：

46 在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。
2.功率关系 (1) 瞬时功率 R L C + _ 设： 耗能元件上的瞬时功率 储能元件上的瞬时功率 在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。

47 (2) 平均功率P （有功功率） cos 称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。 单位: W 总电压 总电流 u 与 i 的夹角

48 u 与 i 的夹角 根据电压三角形可得： (3) 无功功率Q 根据电压三角形可得： 单位：var 总电压 总电流 电阻消耗的电能
电感和电容与电源之间的能量互换 单位：var 总电压 总电流 u 与 i 的夹角

49 P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。
电路中总电压与总电流有效值的乘积。 单位：V·A 注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。  P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。

50 将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形
阻抗三角形、电压三角形、功率三角形 将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 S Q P R

51 例1： 在RLC串联交流电路中， 已知: 求:(1)电流的有效值I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的有效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。 解：

52 方法1： (1) (2)

53 方法1： 通过计算可看出： 而是 (3)相量图 (4) 或

54 (4) (电容性) 方法2：复数运算 解：

55 4.5 阻抗的串联与并联 4.5.1阻抗的串联 + - 通式:

56 有两个阻抗 , 它们 串联接在 的电源; 求: 并作相量图。 例1: + - 解： 同理：

57 或利用分压公式： + - 相量图 注意：

58 阻抗并联 + - + - 通式: 对于阻抗模一般 注意： 分流公式：

59 例2: 有两个阻抗 , , 它们并联接在 的电源上; 求: 和 并作相量图。 解: + - 同理：

60 或 相量图 注意：

61 · · · · · 例1: 已知：I = 1845 A，求: UAB。 j8 解: ———×18 45 I1 = 30+j8 I2
10 20 j2 j6 I I1 I2 = 4.64 120 A I2 = 30+j8 ———×18 45 30 = 17.4 30 A VA= 20 I1 = 92.8 120 V VB= j6 I2 = 120 V UAB = VA – VB = 92.8 120 – 120 = – 11.6 120 V = 11.6 – 60 V

62 例2、 图示电路中, 已知电流表A1的读数为3A, 试问(1)A2和A3的读数为多少? (2)并联等效阻抗Z为多少? A1 + - A2
思考

63 4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算 支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。 试用支路电流法求电流 I3。 + - 例1: 图示电路中，已知

64 解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程 + - 代入已知数据，可得： 解之，得：

65 解：(1)断开Z3支路，求开路电压 - - (2)求等效内阻抗 (3)
例2: 应用戴维宁计算上例。 解：(1)断开Z3支路，求开路电压 + - + - (2)求等效内阻抗 (3)

66 *4.7 交流电路的频率特性 时域分析:电压与电流都是时间的函数, 在时间领域内对电路进行分析。
时域分析:电压与电流都是时间的函数, 在时间领域内对电路进行分析。 频域分析:电压与电流都是频率的函数，在频率领域内对电路进行分析。 频率特性或频率响应： 研究响应与频率的关系 幅频特性: 电压或电流的大小与频率的关系。 相频特性: 电压或电流的相位与频率的关系。

67 4.7.1 RC滤波电路的频率特性 滤波：即利用容抗或感抗随频率而改变的特 性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让
性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让 需要的某一频带的信号通过, 抑制不需要的其它 频率的信号。 滤波电路主要有： 低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。 C + – R 1.低通滤波电路 (1) 电路 输出信号电压 输入信号电压 均为频率的函数

68 C + – R (2) 传递函数（转移函数） 电路输出电压与输入电压的比值。 设: 则:

69 频率特性 幅频特性： 相频特性：    (3) 特性曲线

70 当 <0时,|T(j )| 变化不大接近等于1； 当 >0时,|T(j )| 明显下降,信号衰减较大。
频率特性曲线  0 1    0.707 0  C + – R 当 <0时,|T(j )| 变化不大接近等于1； 当 >0时,|T(j )| 明显下降,信号衰减较大。 一阶RC低通滤波器具有低通滤波特性

71 把 0<  0的频率范围称为低通滤波电路的通 频带。0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。
频率特性曲线 0  0.707 1 C + – R 通频带： 0<  0 截止频率: 0=1/RC 通频带： 把 0<  0的频率范围称为低通滤波电路的通 频带。0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。

72 + (1) 电路 (2) 频率特性（转移函数） 幅频特性： 相频特性：
2. RC高通滤波电路 C R + – (1) 电路 (2) 频率特性（转移函数） 幅频特性： 相频特性：

73 当 <0时,|T(j )| 较小，信号衰减较大； 当 >0时, |T(j )| 变化不大，接近等于1。
(3) 频率特性曲线  1 0.707    0 通频带： 0< 截止频率: 0=1/RC 当 <0时,|T(j )| 较小，信号衰减较大； 当 >0时, |T(j )| 变化不大，接近等于1。 一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性

74 3. RC带通滤波电路 R C + – (1) 电路 输出信号电压 输入信号电压 (2) 传递函数

75 设： 频率特性 幅频特性： 相频特性：

76 (3) 频率特性曲线     / 0 1 2 R C + – 0 RC串并联电路具有带通滤波特性

77 由频率特性可知 在=0 频率附近, |T(j )| 变化不大,接近等于1/3; 当偏离0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较大。 通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处，(|T(j )|下降到 0.707/3 时),所对应的上下限频率之差即： △ = (2-1) 仅当 时， 与 同相，U2=U1/3 为最大值，对其它频率不会产生这样的结果。因此该电路具有选频作用。常用于正弦波振荡器。

78 谐振电路 在含有电阻、电感和电容的交流电路中，若电路中的电流与电 源电压同相，电路呈电阻性，称这时电路的工作状态为谐振。 串联谐振：在串联电路中发生的谐振。 谐振 并联谐振：在并联电路中发生的谐振。 一、串联谐振 – + – jXC R jXL UL • 1. 谐振条件 即: UR • U • I • 电压与电流同相,电路 中发生串联谐振。 Uc •

79 在串联谐振时,UL和UC是Q倍的电源电压，可能会损坏设备。在电力系统中应避免发生串联谐振。而串联谐振在无线电工程中有广泛应用。
2. 谐振频率 谐振角频率 谐振频率 品质因数 特性阻抗 在串联谐振时,UL和UC是Q倍的电源电压，可能会损坏设备。在电力系统中应避免发生串联谐振。而串联谐振在无线电工程中有广泛应用。 3. 串联谐振电路特点 最大; 总阻抗值最小Z = R ; （1） （2） （3）电路呈电阻性，电容或电感上的电压可能高于电源电压。

80 应用举例：无线电接收设备的输入调谐电路如图。
接收天线 C L2 L1 R C L – + 信号 信号 可调电容 各电台信号（频率不同）

81 二、并联谐振 C L – + R 1. 谐振条件 线圈 I • U • 可得 一般线圈电阻R<<XL (忽略R）得： 谐振频率

82 2. 并联谐振电路的特点： （1）电压一定时，谐振时电流最小； （2）总阻抗最大； （3）电路呈电阻性，支路电流可能会大于总电流。 通过对电路谐振的分析，掌握谐振电路的特点，在生产实践中，应该用其所长，避其所短。 研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。

83 4.8 功率因数的提高 功率因数低的危害 1. 电源设备的容量不能充分利用 在电源设备容量 一定的情况下
4.8 功率因数的提高 功率因数低的危害 1. 电源设备的容量不能充分利用 在电源设备容量 一定的情况下 ，功率因数越低，P越小，设备得不到充分利用 （功率因数的高低完全取决于负载的参数）。 2. 增加输电线路的功率损耗 在P、U一定的情况下， cos 越低，I 越大，线路 损耗越大。 用户提高功率因数方法：感性负载采用电容并联补偿。

84 常用电路的功率因数 纯电阻电路 R-L-C串联电路 纯电感电路或 纯电容电路 电动机 空载 电动机 满载 日光灯 （R-L串联电路）

85 并联电容值的计算 + - Isinφ 即:

86 1、对于电感性负载，采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么?
思考题: 1、对于电感性负载，采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么? 2、原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?

87 （2）如将 从0.95提高到1，试问还需并多 大的电容C。 （1）如将功率因数提高到 ,需要 并多大的电容C,求并C前后的线路的电流。 一感性负载,其功率P=10kW, ， 接在电压U=220V , ƒ=50Hz的电源上。 例1: 解： (1) 即

88 求并C前后的线路电流 并C前: 并C后: (2) 从0.95提高到1时所需增加的电容值 可见 : cos   1时再继续提高，则所需电容值很大(不经济)，所以一般不必提高到1。

89 4.9 非正弦周期电压和电流 O  t 2 4 Um u O  t  2 Um u 全波整流波形 矩形波 O  t 2 
矩齿波 三角波

90 1.非正弦周期量的分解 设周期函数为f(  t )，且满足狄里赫利条件，则 可以分解为下列傅里叶级数： 二次谐波 （2倍频） 基波（或 一次谐波） 直流分量 高次谐波 2.几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式 矩形波电压 矩齿波电压

91 从上面几个式子可以看出列傅里叶级数具有收敛性。
三角波电压 全波整流电压 从上面几个式子可以看出列傅里叶级数具有收敛性。 3. 非正经弦周期电流 i 的有效值 结论：周期函数 的有效值为直流 分量及各次谐波 分量有效值平方 和的方根。 计算可得 式中

92 同理，非正弦周期电压 u 的有效值为 　例1:一可控半波整流电压, 在   之间是正弦电压， 求其平均值和有效值。 解: 平均值 有效值

93 4. 非正弦周期电流电路中的平均功率 设非正弦周期电压和电流如下 利用三角函数的正交性，整理得 结论：