第8章 动态电路的时域分析 8.1 动态电路的过渡过程 8.2 一阶电路的零输入响应 8.3 一阶电路的零状态响应 8.4 一阶电路的全响应

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1 第8章 动态电路的时域分析 8.1 动态电路的过渡过程 8.2 一阶电路的零输入响应 8.3 一阶电路的零状态响应 8.4 一阶电路的全响应
第8章 动态电路的时域分析 8.1 动态电路的过渡过程 8.2 一阶电路的零输入响应 8.3 一阶电路的零状态响应 8.4 一阶电路的全响应 8.5 二阶电路的暂态分析 *8.6综合研究性学习：蔡氏混沌电路研究

2 重点： 1.一阶动态电路的概念及换路定则。 2.一阶动态电路经典求解法和三要素求解法。 3.二阶动态电路的分析与计算。

3 8.1 动态电路的过渡过程 1. 两个状态 稳定状态： 在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 暂态过程：
8.1 动态电路的过渡过程 动态电路的过渡过程 1. 两个状态 稳定状态： 在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 暂态过程： 电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。

4 \ u 2. 储能元件 (1) 电路中含有储能元件 (内因) (2) 电路发生换路 (外因) 产生暂态过程的必要条件：
换路: 电路状态的改变。如： 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变。 产生暂态过程的原因： 由于物体所具有的能量不能跃变而造成。 在换路瞬间储能元件的能量不能跃变。 ∵ C 储能： 不能突变 C u \ ∵ L储能：

5 3. 换路定则 设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
电感电路： 电容电路： 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。

6 8.1.2 初始值的确定 初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 具体步骤：
初始值的确定 初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 具体步骤： (1) 画出t = 0–时刻的等效电路，确定uC(0–)或iL(0–)的值。 (2) 根据换路定则得到uC (0+)和iL (0+)的值。 (3) 画出t = 0+时刻的等效电路图，电容用电压源替代，电压源的电压值取uC (0+)的值；电感用电流源替代，电流源的电流值取iL (0+)值，方向均与原电容电压、电感电流参考方向相同。 (4) 由0+时刻的电路求出所需的各变量初始值。

7 解题要点： 换路前, 若储能元件没有储能, 换路瞬间(t=0+的等 效电路中)和换路前，可视电容元件短路，电感元件开路。

8 【例8 – 1】 图(a)所示电路在t < 0时开关K闭合，电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流iC (0+)。
(2) 由换路定则得

9 (3) 画出t = 0+时刻的等效电路，如图(b)所示，此时电容用8 V电压源替代，解得
注意：电容电流在换路瞬间发生了跃变，即

10 【例8 – 2】 图(a)所示电路在t < 0时电路处于稳态，t = 0时开关K闭合,求电感电压uL (0+)。
解 (1) 由图(a)可知，在t = 0–时刻，开关K断开，电感处于短路状态，其等效电路如图(b)所示，求得 (2) 由换路定则得

11 (3) 画出t = 0+ 时刻的等效电路如图(c)所示，电感用2 A电流源替
代，解得 注意：电感电压在换路瞬间发生了跃变，即

12 【例8 – 3】 图(a)电路在t < 0时处于稳态，t = 0时开关K闭合,求电感电压uL(0+)和电容电流iC(0+)。
解 (1) 在t = 0–时刻，开关K断开，电感处于短路状态，电容处于开路状态，其等效电路如图(b)所示。由换路定则得

13 (2) 画出t = 0+时刻等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代，解得

14 (1) 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 电感元件视为短路。
例： 换路前电路处于稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。 i i 2 + _ R R2 R1 U 8V t =0 4 i1 iC uC uL iL R3 R 2 + i1 R2 iL R3 iC 4 4 U 8V _ R1 + + uC C uL L 4 _ _ t = 0 -等效电路 解： (1) 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 电感元件视为短路。 由t = 0-电路可求得：

15 i i + _ i1 ic uc uL iL + iL ic + + _ i1 uc uL 解： 由换路定则： R 4 2 R R2
8V i1 ic uc uL iL R3 L C t = 0 -等效电路 2 + R2 iL R3 t =0 ic U 8V 4 4 R1 + + _ i1 uc uL C L 4 _ _ 解： 由换路定则：

16 解：(2) 由t = 0+电路求 iC(0+)、uL (0+) 由图可列出
2 + _ R R2 R1 U 8V t =0 4 i1 iC uC uL iL R3 L 解：(2) 由t = 0+电路求 iC(0+)、uL (0+) 由图可列出 带入数据

17 2 + _ R R2 R1 U 8V t =0 4 i1 iC uC uL iL R3 解：解之得 并可求出

18 8.1.3 稳态值的确定 【例8 – 4】 试求图(a)所示电路中开关断开后电路中的电容电压的稳态值uC(∞)。
稳态值的确定 电路中的稳态值是指动态电路经历过渡过程后，达到新的稳定状态时所对应的电压、电流值，常用u (∞)、i (∞)表示。 稳态值的确定可以参照t=0-时刻求法。 【例8 – 4】 试求图(a)所示电路中开关断开后电路中的电容电压的稳态值uC(∞)。

19 8.2 一阶电路的零输入响应 一阶电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。
仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。 求解方法 1. 经典法: 根据激励，通过求解电路的微分方程 得出电路的响应。 初始值 稳态值 时间常数 求 （三要素） 2. 三要素法

20 RC电路的零输入响应 + - S R U 2 1 – 零输入响应: 无电源, 仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。 实质：RC电路的放电过程 换路前电路已处稳态 t =0时开关 , 电容C 经电阻R 放电 1. 电容电压 uC 的变化规律(t  0) (1) 列 KVL方程 一阶线性常系数 齐次微分方程 代入上式得

21 2. 电流及电阻电压的变化规律 电容电压 放电电流 、 变化曲线

22 当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
4. 时间常数 令: 单位: S 时间常数  决定电路暂态过程变化的快慢 理论上认为 、 电路达稳态 工程上认为 ~ 、 电容放电基本结束。 t 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。

23 RL电路零输入响应 在开关动作前电压和电流已恒定不变，因此电感电流的初值为 开关闭合后的电路如图(b)所示，即RL零输入电路。

24 把 代入上式得微分方程

25 特征方程为 特征根 则方程的通解为

26 代入初值得 电感电压为 结论 (1) 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 RL电路的零输入响应曲线

27 (2) 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与有关。
令 称为一阶RL电路的时间常数，τ的单位为秒。 (3) 在过渡过程中，电感释放的能量被电阻全部消耗，即

28 【例8 – 5】 电路如图所示，开关打开前电路已处于稳态，t=0时，打开开关，求t>0电压表的电压随时间变化的规律，已知电压表内阻为10 kΩ，电压表量程为50 V。
解 电感电流的初值为 时间常数为 开关打开后为一阶RL电路的零输 入响应问题

29 当t=0+,电压达到最大值 远超出电压表的承受范围，会造成电压表的损坏。 注意：本题说明RL电路在换路时会出现过电压现象，不注意会造成设备的损坏。

30 【例8 – 6】 电路如图(a)所示原本处于稳态，t=0时，开关由1打向2，求t>0的电感电压和电流及开关两端电压u12。
解 电感电流的初值为 开关由1打向2后图(a)所示电路转化为一阶零输入RL电路，其等效电路如图(b)所示，等效电阻为

31 时间常数为 电感电流和电压为 开关两端的电压

32 从上述分析可以发现， 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数，其一般表达式可以写为
零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC电路，RL电路，R为与动态元件相连的单口网络的等效电阻。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。

33 8.3 一阶电路的零状态响应 是指动态元件初始能量为零，后由电路中外加输入激励作用所产生的响应。用经典法求零状态响应的步骤与求零输入响应的步骤相似，所不同的是零状态响应的微分方程是非齐次的。

34 s 8.3.1 RC电路的零状态响应 uC uC (0 -) = 0 R U + _ C i 零状态响应: 储能元件的初
零状态响应: 储能元件的初 始能量为零， 仅由电源所产生的电路的响应。 实质：RC电路的充电过程 分析：在t = 0时，合上开关s， 此时, 电路实为输入一 个阶跃电压u，如图。 与恒定电压不同，其 U t u 阶跃电压 O 电压u表达式

35 s uc i R 1. uC的变化规律 + 列 KVL方程 U C _ uC (0 -) = 0
方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解 一阶线性常系数 非齐次微分方程 2. iC 的变化规律

36 、 变化曲线 4. 时间常数  的物理意义 当 t =  时  表示电容电压 uC 从初始值上升到稳态值的 63.2% 时所需的时间。

37 RL电路零状态响应 电路在开关闭合前处于零初始状态，即电感电流等于0，开关闭合后，根据 KVL 可得

38 其解答形式为 令导数为零，得到稳态分量 因此 得积分常数 则

39 【例8 – 7】 电路如图(a)所示，原本已经处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求t>0后iL和uL的变化规律。
解 这是一个RL电路零状态响应问题，换路后的等效电路如图(b)所示，其中 因此时间常数为

40 把电感短路得电感电流的稳态解 则

41 阶跃函数和阶跃响应 单位阶跃函数是一种奇异函数，可用ɛ(t)表示，如图(a)所示。该函数在t=0时发生了阶跃，从幅值0突变到1，可定义为

42 任一时刻t0起始的阶跃函数如上图(b)所示，也称为延迟的单位阶跃函数，可定义为

43 如果电路的初始状态为零，输入为单位阶跃信号，则相应的响应就称为单位阶跃响应。
例： 根据阶跃函数的性质得 所以阶跃响应为

44 若上述激励在t=t0时加入，如图所示，则响应从t=t0开始。即

45 【例8 – 8】 用阶跃函数表示图所示函数f(t)。
解 (a) (b)

46 【例8 – 9】 已知电压u(t)的波形如图所示，试画出下列电压的波形。
解 根据阶跃函数的性质得所求波形分别如图(a)、(b)、(c)和(d)所示。

47

48 s 8.4 一阶电路全响应 uC i R 全响应: 电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。 + U C _
一阶电路的全响应 uC (0 -) = U0 s R U + _ C i uC 全响应: 电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。 1. uC 的变化规律 根据叠加定理 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应

49 结论1： 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 零输入响应 零状态响应 全响应 稳态值 稳态分量 初始值 暂态分量 结论2： 全响应 = 稳态分量 +暂态分量

50 一阶电路的三要素法 s i R + + U uc C 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。 _ _ uC (0 -) = Uo

51 在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方
程解的通用表达式： 式中, ：代表一阶电路中任一电压、电流函数 初始值 -- （三要素） 稳态值 时间常数  利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解。

52 【例8 – 10】 如图所示电路原本处于稳定状态，t = 0时开关K闭合，求t>0后的电容电流iC、电压uC和电流源两端的电压u。已知：
解 这是一个一阶RC电路全响应问题

53 - - 例： 电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于 稳态。试求电容电压 。 t=0 + t=0-等效电路 + 解： 用三要素法求解
稳态。试求电容电压 。 S 9mA 6k 2F 3k t=0 + - C R t=0-等效电路 9mA + - 6k R 解： 用三要素法求解 (1)确定初始值 由t=0-电路可求得 由换路定则

54 (2) 确定稳态值 由换路后电路求稳态值 t∞ 电路 9mA + - 6k R 3k (3) 由换路后电路求 时间常数 

55 S 9mA 6k 2F 3k t=0 + - C R 三要素

56 【例8 – 11】 如图所示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t>0后的电容电压uC并画出波形图。
解 这是一个一阶RC电路全响应问题，应用三要素法进行求解。

57 代入三要素公式 得到

58 【例8 – 12】 如图所示的电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t>0后各支路的电流。
解 这是一个一阶RL电路全响应问题，应用三要素法进行求解。

59 代入三要素公式 所以 支路电流为

60 8.5 二阶电路的暂态分析 需要用二阶微分方程描述的电路为二阶电路。从电路结构来看，二阶电路包括有两个独立的动态元件。动态元件可以性质相同（如两个L或两个C），也可以性质不同（如一个L和一个C）。

61 二阶电路的状态方程 假设初始值为 KVL方程为

62 各元件的VCR为 将VCR方程代入KVL方程中，得到以uC为解变量的二阶微分方程

63 RLC串联电路零输入响应 在零输入条件下，有 解这个微分方程必须满足的两个初始条件为

64 特征方程为 特征根为

65 当R、L、C分别取不同的值时，电路的特征根（固有频率）可能会出现以下几种不同的情况：
（1）过阻尼： s1和s2为两个不相等的负实根，当 即

66 （2）临界阻尼： s1和s2为两个相等的负实根，当
即

67 即 （3）欠阻尼： s1和s2为一对共轭复数，当

68 （4）无阻尼： s1和s2为一对共轭复数，当 即 以上的分析可知，二阶电路中响应的形式取决于电路的固有频率，它可以是实数、共轭复数或虚数，从而相对应响应的形式为非振荡、振荡或等幅振荡。

69 【例8 – 13】 电路如图所示，已知电路初始状态为uC(0–) = 2 V，iL(0–) = 0. 25 A， R = 3 Ω，L = 0
【例8 – 13】 电路如图所示，已知电路初始状态为uC(0–) = 2 V，iL(0–) = 0.25 A， R = 3 Ω，L = 0.5 H，C = 0.25 F，求换路后的零输入响应uC和iL。 解 由KVL得到方程 各个元件的VCR

70 由此可以得到以uC为解变量的二阶微分方程

71 对应的特征方程为 求出特征根为 属于过阻尼情况，因此电容电压为

72 电路的两个初始条件用来确定微分方程的积分常数A1和A1，可得

73 由此可得

74 uC和iL的波形如图所示。

75 【例8 – 14】 如图(a)所示电路原本已处稳态，在t=0时打开开关, 求t>0电容电压uC并画出其变化曲线。
解 当开关打开，电路为RLC串联零输入响应问题，以电容电压为解变量的微分方程为

76 特征方程为 由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，电容电压的形式为

77 由初始条件确定常数A和θ，即

78 因此

79 RLC串联电路的全响应 如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。全响应是零状态响应和零输入响应的叠加。 则可以得到电路的微分方程为 其电容电压解得形式为

80 其中uCp(t)是非齐次微分方程的任何一个特解，它的形式取决于外加激励。当外加激励为直流时，方程的特解也是直流，它实际上仍旧是换路后的稳态解
uCh(t)是齐次微分方程的通解，它的形式与二阶电路的零输入相应相同，即根据特征根的不同分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼等情况。

81 【例8 – 15】 电路如图所示，已知L = 1 H，C = 1 F，R = 1 Ω，US = 9 V，换路前电路已处稳态，求换路后的响应uC。
解 根据KVL有 各元件VCR为 得到

82 将已知参数代入上式 首先求齐次微分方程的通解uCh，特征方程为 求出特征根为 为一对共轭复数，则响应的形式为 求特解uCp，可以取uC的稳态值

83 所以全响应为 由初始条件 全响应为

84 【例8 – 16】 电路如图所示，已知L = 1 mH，C = 10 μF，uS为幅度5 V、频率100 Hz、占空比50%的矩形波，当R分别取5 Ω、20 Ω和50 Ω时，试判断电路暂态过程的阻尼情况，并用EWB电路仿真软件的虚拟示波器观察电容电压的波形以验证判断的正确性。 解 电压源提供的矩形波频率为100 Hz，即周期为10 ms。占空比50%的矩形波表示电压源在一个周期的前半个周期提供5 V电压、后半个周期输出0 V电压，即后半个周期RLC串联电路有零输入响应。

85 根据题意L = 1 mH和C = 10 μF，有 (1) 当R = 5 Ω时，即R < Rd时，电路的特征根为一对共轭复数，电路出现欠阻尼情况。图中电容电压为一衰减振荡充放电过程，前半个周期和后半个周期的充放电过程大约持续2.5 ms。

86 (2) 当R = 20 Ω时，即R = Rd时，电路的特征根为两个相等的负实根，电路出现临界阻尼情况。图中电容电压为一个快速非振荡充放电过程，前半个周期和后半个周期的充放电过程大约持续0.5 ms。

87 (3) 当R = 50 Ω时，即R > Rd时，电路的特征根为两个不相等的负实根，电路出现过阻尼情况。图中电容电压是一个过程较长的非振荡充放电过程，前半个周期和后半个周期的充放电过程大约持续2.5 ms。

88 *8.6 综合研究性学习：蔡氏混沌电路研究 蔡氏电路是一个十分简单的非线性混沌电路，它只含有四个基本元件和一个非线性电阻，实验电路制作简单，只通过对一个电阻的调节，便可从电路中观察到周期极限环、单涡旋和双涡旋混沌吸引子的非线性物理现象。因此，蔡氏电路已成为在数学、物理和实验等方面演示混沌现象的一个范例。

89 状态方程和Matlab仿真 可以导出微分方程组：

90 一般的蔡氏二极管是一个具有分段线性函数形式的非线性负电阻，其流过的电流iN和两端的电压uN之间的伏安关系表达式为：
式中，Ga是内区间电导，Gb是外区间电导，Bp是内外区间的 转折点电压。

91 利用Matlab仿真软件平台， 可以对系统进行数值仿真分析。 蔡氏二极管的等效电路 图中，蔡氏二极管RN是由两个运算放大器和六个电阻元件等效电路实现的，可看成是两个非线性电阻RN1和RN2并联而成。

92 。考虑到运算放大器的虚断特性，即i+ = i– = 0，由KVL可得
首先考虑运算放大器传递特性的线性区域|ud| < e，代入关系式uo = Aud并整理得

93 在运算放大器较理想的情况下，存在A → ∞，并令R1 = R2，则有
在转折点，有ud = ±e，uo = ±Esat以及uN = ±Bp1。因此，对A → ∞，有 在饱和区域|ud| ≥ e，有uo = ±Esat，因此

94 可以画出RN1的伏安关系曲线如图所示，它是一条类似于
同样地，令R4 = R5，可以得到描述非线性电阻RN2的关系式：

95 两个非线性电阻RN1和RN2并联后，构成了一个具有五段分段线性函数形式的非线性电阻。由等效电路实现的蔡氏二极管的电路参数为：
选择R1 = R2 = 220 Ω、R4 = R5 = 22 kΩ、R3 = 2.2 kΩ、R6 = 3.3 kΩ，计算得Ga = – µS、Gb = – µS。

96 蔡氏电路的实验结果 在蔡氏电路实际制作调试过程中，可以分步骤进行。 （1）首先，按照蔡氏二极管等效电路制作实际的蔡氏二极管电路。等效电路中各电阻元件采用上述给定值的误差范围为±1%的精密电阻器，两个运算放大器采用型号为TL082CP的集成运算放大器芯片。运算放大器的工作电源设定为±9 V，由实验可测得Esat ≈ 7.5 V，可计算得Bp ≈ V。 （2）其次，自行绕制电感线圈，经测试电感值约为17.2 mH，电感线圈的寄生电阻约0.5 Ω；选择两只精度较高的独石电容，电容值分别为10 nF和100 nF；另选择一只阻值可调的精密电位器，用于实验观察时调节电阻值。

97 实验观察设备采用Tek双通道数字示波器，当电位器R调节到不同阻值时，在示波器上可观察到蔡氏电路的不同运行状态，其变化趋势与上述Matlab数值仿真结果一致。当R = 1.58 kΩ时，可观察到该电路所产生的相轨图和时域波形图分别如图(a)和(b)所示。图(a)中的相轨图是一个奇怪双涡卷混沌吸引子，图(b)中电压的时域波形图是非周期信号。 (a) 混沌吸引子 (b) 时域波形

98 谢谢观看