第3章 數字系統與資料表示法 電子計算機概論最新版 吳逸賢、吳目誠 編著.

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1 第3章 數字系統與資料表示法 電子計算機概論最新版 吳逸賢、吳目誠 編著

2 目錄 3-1　數字系統 3-2　資料表示法 3-3　資料的儲存

3 3-1　數字系統 常用的數字系統 數值表示法 轉換數字系統 數字系統的運算 應用祕笈

4 常用的數字系統： 數字系統是用來表示數量的規則與符號，一般常見的數字系統有10進位數字系統、2進位數字系統、8進位數字系統以及16進位數字系統等， 例如10進位數字系統，是指使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9等10個符號來表示數量的數字系統；而2進位數字系統則是使用0和1兩個符號來表示數量大小的數字系統。

5 各數字系統使用的符號整理如下： 我們熟悉的10進位數字3010（右下角的數字代表數字系統的種類），以2進位數字系統表示為111102，以8進位數字系統表示為368，以16進位數字系統表示為1E16。

6 10進位數字系統的數值0~31和其它數字系統的對照表：

7 數值表示法： 10進位數字系統表示的數值： 標示在右下角的數值稱為底數（Base），最左邊的稱為最高數位，最右邊的稱為最低數位，每一個數位代表的數值會隨所在的位置不同而改變。

8 下表是幾個數值的底數、最高數位和最低數位：
以 為例，其數值計算如下： 6* * * * * 100

9 下面是各種數字系統的數值計算結果： 2進位數字 8進位數字 16進位數字 數字系統的數值計算方式可歸納如下：
=1 * * * * * * * * 20 8進位數字 37218= 3 * * * *80 16進位數字 2FFF16=2 * 163 +F * F * F* 160 數字系統的數值計算方式可歸納如下： Nm = apmp + ap-1mp-1 + ap-2mp-2 +…… + a0m0 其中，m為數字系統的底數，或稱為基底。

10 轉換數字系統： 相同的數值，可以使用各種數字系統來表示，換句話說，數字系統間可以直接轉換。

11 10進位轉2進位： 把10進位轉換成2進位，最簡單的方法是將10進位數字不斷得除以2，所得到的餘數就是2進位數字的數位。

12 將10進位數字9710轉換成2進位的操作結果如下： 9710轉換成2進位數字等於 。

13 10進位轉16進位： 把10進位數字轉換為16進位數字方法，是將10進位數字不斷得除以16，所得到的餘數就是16進位數字的數位。

14 將10進位數字 轉換為16進位數字的計算結果： 根據計算結果， 等於 。

15 10進位轉8進位： 把10進位數字轉換為8進位數字方法，是將10進位數字不斷得除以8，所得到的餘數就是8進位數字的數位。

16 將10進位數字12910轉換為8進位數字的計算結果： 根據計算結果，12910等於2018。

17 10進位與2進位的快速轉換表： 應用除法技巧，可以將10進位數字轉換為2進位、8進位和16進位等數值。
對於較小的數值，可以用列表的方式，迅速算出對應的轉換數值。

18 10進位與2進位的數值對照表：

19 根據數值對照表的資料，可快速轉換各數位數值：
10進位數字66等於上表的64+2，所以轉換為2進位數字等於 。而10進位數字56轉換為2進位等於111000（56= ）。 應用查表的方法，也可以迅速將2進位數字轉換為10進位。例如將2進位數字 轉換為10進位數字，其對照表如下： 從表中，可以迅速計算出2進位數字 等於10進位數字42（32+8+2）﹔2進位數字110010等於10進位數字50（ ）。

20 快速轉換2進位與8進位、16進位的技巧-1： 2進位數字系統轉換為8進位或16進位數字系統，不必經過除法的計算，每3個2進位的數位等於一個8進位的數位，每4個2進位的數位等於一個16進位的數位。例如： =D216 2進位數字的前面四個數位（1101）轉換為16進位數字D，後四個數位（0010）轉換為16進位數字2。 將16進位數字的每一個數位轉換為4個2進位數位；將8進位數字的每一個數位轉換為3個2進位數位。例如： 3FC16= 16進位數字3轉換為0011，16進位數字F轉換為2進位數字1111，16進位數字右邊的C，轉換為2進位數字1100。因此，3FC16可轉換為 。

21 快速轉換2進位與8進位、16進位的技巧-2： 使用相同的方法，可以轉換2進位與8進位的數值：
=548 168= 若要將8進位數字轉換為16進位數字，或將16進位數字轉換為8進位數字，則必須將數字轉換為2進位或10進位數字，然後再轉換為其它數字系統。

22 數字系統的運算： 模仿10進位數字系統的運算方式，很快就能熟悉其它數字系統的運算技巧，下面是數字系統的加法、減法和補數運算方法。

23 加法運算： 10進位數字系統的數字相加時，只要相加後大於或等於10，就產生進位。
同樣的加法運算原理，2進位數字系統的數字相加時，只要相加後大於或等於2時，就產生進位；16進位數字的相加，只要相加後大於或等於16時，就產生進位；8進位數字的相加，只要相加後大於或等於8時，就產生進位。

24 2進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）

25 16進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）

26 8進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）

27 減法運算： 加法運算使用進位技巧，而減法運算則使用借位技巧。應用10進位減法運算原理，就可以進行2、16和8進位的減法運算。

28 2進位數值減法運算結果如下：（由右而左運算）

29 16進位數值減法運算結果如下：（由右而左運算）

30 補數： 用於簡化減法運算以及做邏輯操作。 各種基底r的系統有二種補數:基底補數(r補數)與基底減1的補數(r-1補數)。
例如:在二進位數中有2的補數與1的補數，在十進位中就有10的補數與9的補數。

31 補數： (基底減1)的補數： 設ㄧ基底為r的數N有n個數字，N的(r-1)補數 定義為(rn-1)-N。
例:546700的9補數為 =453299 之1補數為 Ps:二進位中，1的補數只要將1變成0即可

32 補數： (基底)補數 設基底為r之數N有n個數位，其r的補數定義 成在N≠0時為r n-N，而在N=0時為0。
例:012398之10的補數為987602 之2補數為 Ps: r的補數為(r-1)的補數再加1

33 計算下面的減法算式-1： 位數n=5 011002 - 001112 = ? (亦即12-7) 計算001112之2補數為110012
等於 之位數為6(大於5)，所以結果為

34 計算下面的減法算式-2： 位數n=4 10002 - 11002 = ? (亦即-8-(-4)) 11002之補數為01002
= ? (亦即-8-(-4)) 11002之補數為01002 等於11002 11002等於-4 (請自行驗證)

35 應用祕笈： 前面介紹了數字系統轉換的原理與技巧，事實上，可以將轉換的工作交給電腦來執行。Windows附屬應用程式中的工程型小算盤，就具有轉換數字系統的功能。

36 以下就是啟動工程型小算盤的操作示範：

37 小算盤有標準型和工程型兩種視窗。啟動小算盤時，會延續前一次使用的視窗類型。

38 以下就是利用小算盤轉換10進位數值為2進位數值的操作示範：

39 轉換後，會顯示轉換為2進位數值的結果，畫面顯示如下：

40 以下是利用小算盤將2進位數值轉換為16進位數值的操作示範：

41 轉換後，會顯示轉換為16進位數值的結果，畫面顯示如下：

42 3-2　資料表示法 編碼系統 中文字編碼系統 浮點資料表示法 應用祕笈

43 編碼系統： 鍵盤上的每一個按鍵，都對應了一個編碼，在鍵盤上按下某一個按鍵時，鍵盤就會送出該按鍵所對應的編碼資料到電腦中。
電腦和電腦間採用的編碼系統必須相同，所產生的資料才能交換，否則會造成甲電腦產生的資料，在乙電腦上出現無法顯示或亂碼的現象。

44 BCD碼： BCD（Binary Coded Decimal）是專門用來表示數字資料（0~9）的編碼系統，它的編碼方法是以4個2進位的數位來表示10進位數字的一個數位，例如下表的編碼：

45 EBCDIC碼-1： EBCDIC（Extended BCD Interchange Code）是使用八個位元來表示資料的編碼系統，這種系統可以用來表示所有的文字、數字（包含字母、數字和特殊字元）。 EBCDIC編碼的前四碼為區域碼，後四碼為數值碼。區域碼的四個位元又分成兩部分，前兩碼區別大小寫、數值和特殊符號，後兩碼則區別字母的類別。下面是EBCDIC碼的編碼結構：

46 EBCDIC碼-2： 位元7和位元6用來區別大小寫、特殊符號等，而位元5和位元4用來區別英文字母的範圍或數字。
根據這種編碼方式，大寫字母A的編碼為 、B的編碼為 ，小寫字母a的編碼為 、b的編碼為 。

47 ASCII碼： ASCII（American Standard Code for Information Interchange，簡稱為美國資訊標準交換碼）是使用七個位元來表示資料的編碼系統，這種編碼系統類似EBCDIC碼，是個人電腦上使用最普遍的編碼系統。

48 下面是EBCDC和ASCII的編碼表-1：

49 下面是EBCDC和ASCII的編碼表-2：

50 中文字編碼系統： 前面介紹的BCD、EBCDIC和ASCII編碼系統，只適用於英文字母、數字等符號的編碼。
中文的字數很多，必須使用特殊的編碼結構，例如：BIG5碼、公會碼、電報明碼、王安碼、CCCII碼、Unicode碼等，都是為中文字設計的編碼系統。

51 BIG5碼： BIG5碼是台灣地區應用最普遍的編碼系統，這套編碼系統由資策會策劃制定，BIG5碼是一種使用16位元（2 bytes）的中文編碼系統。 雖然BIG5碼使用16個位元（兩個位元組，共有65536種碼）來編碼，但其中一些位元必須做為區別位元，以分辨資料中哪些是中文或英文字元，所以只能編出一萬多個中文字碼。

52 BIG5的編碼範圍整理如下表： 每一個中文字碼（以16進位表示）均由4個16進位符號組成，而每兩個符號使用一個位元組，前面的位元組稱為高位元組，後面的位元組稱為低位元組。

53 下面是幾個中文字的BIG5碼、高位元組和低位元組：

54 下面是BIG5碼的字碼分類範圍表：

55 CCCII碼： CCCII碼（Chinese Character Code for Information Interchange，全漢字標準交換碼）是文建會與中研院中美科學學術委員會共同贊助中國圖書館協會所編訂，是一種使用24位元（3 bytes）來編碼的中文編碼系統，國內大多數中文圖書館均採用此編碼系統。

56 Unicode碼： Unicode碼（又稱為萬國碼），是Unicode 技術委員會 （UTC）所制定的國際性文字碼。

57 Unicode的特性： Unicode 是以ASCII為基礎，使用16位元編碼方式來支援世界語言的編碼系統，它把原本僅佔一個位元的西方字元，重新設定為類似中文以兩個位元來編碼。如下圖所示：

58 Unicode的字元種類與字數： Unicode的制定工作相當繁複，必須蒐集、歸納及整理來自世界各地的不同文字，目前Unicode收錄的字碼種類與字數整理如右：

59 浮點資料表示法： 前面介紹的編碼方式適用於一般的文字資料，而包含整數與小數的數值資料（實數），可以使用浮點表示法（Floating-point Representation）來表示數值資料。浮點表示法是一種以指數型式表示數值的方法，又稱為科學符號表示法。

60 2進位浮點資料： 應用我們熟悉的科學符號表示法，有助於了解2進位浮點資料的表示。10進位數值數值2001000000，以科學符號表示如下：
2001E+6 其中，E+6代表106。 換句話說，10進位數值可以科學符號（浮點資料）表示如下： a(10e) 同理，2進位數值可以浮點資料表示如下： a(2e) 上式中，2為浮點資料的基底，a為以2為基底的數值，e則為指數。因此，同一個2進位數值可以表示為多種不同的浮點資料，其中，當a的數值大於1/210且小於1時，即為正規化浮點資料。

61 計算機內部的浮點資料-1： 不同的計算機系統，可能使用不同的位元數來表示浮點資料，依照使用位元數的多寡，常見的表示單位有單精確度和倍精確度等兩種，其使用的位元數如下：

62 計算機內部的浮點資料-2： 在計算機中，單精確度浮點資料將32個位元分割為下列三個部分： 下面是某種計算機中單精確度浮點表示式位元分配情況：
符　號：符號位元的數值為0代表正數，為1代表負數。 特性值：特性值等於指數+偏移值。 小　數：小數點右邊的有效小數，位元數不足時，在最右邊補0。 下面是某種計算機中單精確度浮點表示式位元分配情況：

63 計算機內部的浮點資料-3： 為了熟悉計算機中浮點資料表示的方式，可以嘗試先將10進位資料轉換為2進位資料，接著轉換為正規化的浮點資料表示，再使用計算機中浮點資料的分區方式，計算出各部分的位元值，最後再合併為計算機中的浮點資料。 例如：將15.510轉換為單精確度浮點數值的演算過程如下：（假設偏移值為64）

64 應用祕笈： 在鍵盤上按下某個按鍵時，便會將該按鍵對應的ASCII碼輸入電腦中，若從鍵盤上輸入大寫字母“A”，則會輸入ASCII碼“65”、從鍵盤上輸入小寫字母“a”，則會輸入ASCII碼“97”。

65 以下就是使用ASCII碼輸入數字“1”的操作示範：

66 查詢中文字的編碼： 若您想知道某一個中文字的字碼，可以用記事本把中文字輸入，接著把檔案儲存起來。首先開啟命令提示字元視窗後，輸入DEBUG filename.txt，跳出DEBUG視窗後，輸入命令D(dump)，然後按　　　鍵，就會顯示檔案的編碼內容（輸入q可離開DEBUG畫面）。

67 以下就是查詢中文字碼的操作示範： 電字的字碼 子字的字碼

68 3-3　資料的儲存 位元與位元組 資料儲存單位 各種設備的儲存容量

69 位元與位元組-1： 電腦會將資料轉換成最基本的訊號單位在電路間傳遞，這種訊號只有開和關兩種狀態，也就是有電和沒有電，有電的狀態可用1來表示，而沒有電的狀態可用0來表示，而這種單位就稱為位元（Bit）。 組成電腦的所有元件，都是以電子電路來相互連接，彼此透過這些電子電路傳遞訊息。若元件和元件之間只有一條電路，則每一次只能傳遞或接收一個訊號，也就是一個位元，而有8條連接電路的元件，每一次則可傳遞或接收8個訊號的資料，也就是8個位元。 同一時間傳遞的位元數越多，則資料傳輸的速度便越快。

70 位元與位元組-2： 電腦元件之間傳遞的訊號單位是位元，但是卻以位元組（Byte）為基本單位來表示和儲存資料，一個位元組由8個位元所組成，而每一個位元有兩種狀態，因此，一個位元組便有256種狀態（28=256）。利用這些不同的狀態，便能來代表英文字母、數字或特殊的符號等。 例如：代表大寫英文字母A的位元組狀態為 ，而代表大寫英文字母B的位元組狀態為 ，依此類推。換算成為我們熟悉的10進位系統，則 等於6510、 等於6610。以位元組來表示資料時，英文字母A的代碼為65，英文字母B為66。

71 資料儲存單位： 儲存資料單位，除了位元組（Byte）以外，常用的儲存資料單位名稱有KB（Kilo Bytes，千位元組）、MB（Mega Bytes，百萬位元組）、GB（Giga Bytes，十億位元組）、TB（Tera Bytes，兆位元組）、PB（Peta Bytes，千兆位元組）、和EB（Exa Bytes，百京位元組）等。

72 單位間的關係整理如下： 1KB= 210 Bytes =1024 Bytes 1MB= 210 KB =1024 KB
1GB= 210 MB =1024 MB 1TB= 210 GB =1024 GB 1PB= 210 TB =1024 TB 1EB= 210 PB =1024 PB

73 各種設備的儲存容量： 不同設備使用的儲存單位各不相同，茲將常用設備使用的儲存單位整理如下：