第五章 平面波函数.

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1 第五章 平面波函数

2 5.1平板介质波导 5.1.1标量波函数 用分离变量法解上述方程。令
标量波函数是矢量波函数的基础 ，矢量波动方程的直 角分量满足标量波动方程。 在介绍平板介质波导之前，先简单介绍标量波函数。 在直角坐标系中，波动方程为： （5.1.1） 用分离变量法解上述方程。令

3 代入式（5.1.1）得到： （5.1.2） 上式中的各项相互独立，分解为： （5.1.3） 其中 为分离常数，它们满足： （5.1.4）

4 式（5.1.3）中的三个公式形式相同，称为调和方程式，它们的解称为调和函数，用 , , 表示，它们是线性的。
（5.15） 上式为基本波函数。 基本波函数加权求和或求积分后，仍是波动方程的解。对于有界问题， 等取离散值，有 （5.1.6） 对于有界问题， 等取连续值，有 （5.1.7）

5 我们详细地讨论一下平面波函数的波动特性：
对于 ： 当 为正实数时，代表沿＋x方向的无衰减行波； 当 为实部大于零的复数时，代表沿＋x方向的衰减行波。 当 为纯虚数时，上述两波变为凋落场（急速衰减）。

6 对于 ： 当 为实数时代表纯驻波；当 为复数时代表局部驻波。 分别称为沿x,y,z方向的波数,用一个矢量表示为 (5.1.8) 于是基本波函数 （5.1.9）

7 可写成 （5.1.10） 电磁场矢量满足矢量波动方程，其直角分量满足标量波动方程，可以由矢量平面波对波数的迭加得到。这一思路不仅适用于平面波函数，也适用于其它坐标系中的波函数；不仅适用于各向同性媒质，而且适用于各向异性媒质。

8 5.1.2平板介质波导 对于各向同性介质的平板介质波导，如下图所示：
图 平板介质波导 波导结构以z轴对称,其中 表示介质的厚度,.上半平面在x=/2处,下半平面在x = -/2处。 和 分别为自由空间及介质的介电常数和磁导率。

9 若把问题放在二维里考虑，且设在y方向波函数无变化，即： ＝0。波沿z方向传播，用 表示波沿z方向的变化。
对于TM波，我们取Ａ＝ｕｘφｍ，得到场的分量表达式如下： （5.1011） （具体可参考横磁波与横电波的推导公式）

10 其中： 。特别地， ＝0，我们有， （5.1.12） 这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与之类似。 另外由于平板介质波导关于x轴对称，那么得到的TM模的解是关于x轴的奇函数或偶函数。 令 代表x的奇函数， 代表x的偶函数，则

11 在介质内的TM模的解形式为 （5.1.13） 在空气中的TM模的解形式为 （5.1.14） 这里A、B、u、v为常数，这时波在介质中是无衰减传播的。u和v不为实数时的情况将在第三节讲述。 选择 和 ，使公式更简洁些。 从上面的公式可以得到分离参数方程为

12 （5.1.15） 把上面的分离参数方程代入公式（5.1.12）就得到方程

13 根据 和 在 处需满足的条件，也就是电场和磁场在边界处连续，即在边界处电场和磁场分别相等。由此得到下面的方程：
把上面的两个方程左右两边分别相除得到： （5.1.16）

14 这个公式和前面的色散关系式（5.1.15）是决定TM模的截止频率和 的特征方程。
同样对于x的偶函数的TM模，我们选择 （5.1.17） 它的分量参数公式依然是公式（5.1.15）。而它的场量也由公式（5.1.12）给出。 根据 和 在 处的连续性条件，我们得到： （5.1.18） 该公式就是决定偶TM模的截止频率和 的特征方程。

15 平板介质波导的截止频率和截止波长与金属波导有一些不同，当频率高于截止频率时，介质波导传输波是无衰减的，这时 是实数。低于截止频率时，就产生衰减，这时 = 。波在传输时有衰减，就必须计算能量的减少。由于介质波导是无损耗传输波的，那么衰减就只能是波在传输过程中向周围辐射引起的。也就是说介质波导可以用作天线（要求传输波的频率低于截止频率）。 无衰减模的 必须界于介质的相位常数 和空气的常数 之间，即： < < （5.1.23） 本节讨论的特征方程解是v为实数时的情况。

16 根据前面的讨论，当 ，无衰减介质波导传输波的频率趋于截止频率，这时v 0。
（5.1.24） 以上结果对于TM和TE模都适用。它们需满足的条件是: （5.1.25）

17 同时，我们还可以得到截止波长： （5.1.26） 与截止频率： （5.1.27） 根据不同的n值，可以得到不同的和模。

18 我们可以采用一种简单的作图方法，来实现在高于截止频率的任何频率点，求与之对应的 。
比如，对于TE模，由它的色散方程（5.1.15）可以得到 （5.1.28） 利用这个关系式，重新改写TE模的特征方程，得到 ： （5.1.29） 按照上述方程作出下图：

19 图5.1.2 平板介质波导的图形解

20 由两类曲线的交点利用公式： （5.1.30） 就可以确定 的值。 从图中可以看出，波数 的值越大，圆的半径也就越大，那么两类曲线的交点也就越多，得到的结论就是导行波的模式也就越多，也就是高于截止频率的模越多。

21 5.2导体涂层平板波导 在导体表面覆盖一层介质，我们称之为导体涂层平板波导。如下图所示： 图 表面介质波导

22 导体涂层平板波导的导体表面覆盖一层介质。它所传输的模是:E切线方向在矩形的边界x=0平面等于0的平面波。它们可以是平板波导的 模（n=0,2,4……）和 模（n=1,3,5……）。
覆盖有介质的导体的TM模的特征方程是： （5.2.1） 用t代替上式中a/2, t是介质的覆盖厚度。 相应地，TE模的特征方程是：

23 也需用t代替上式中a/2。 覆盖有介质的导体的表面波导，用t替代 中的a/2，就得到其截止频率为： （5.2.4）

24 在上面的公式中，对于 模n取0,2,4…. 。而对于 模，n取1,3,5…
在上面的公式中，对于 模n取0,2,4….。而对于 模，n取1,3,5…..，传输的主模是TM0模，对于覆盖有介质的导体平板波导，它能在所有的频率下无衰减的传输。 下面我们仔细的看一看，该主模是如何从无介质覆盖的金属边界向远处衰落的。 在空气中，场是随因子 衰减的。对于厚的介质覆盖层，有 ，再与方程 联立，得到：

25 （5.2.6） 对于大多数介质来说，这种衰减是很大的。 若覆盖的介质场薄的话，衰减的就很慢。 这时 ，有： （5.2.7） 通常情况下，若表面覆盖的是厚介质层，称之为紧束缚边界；若表面覆盖的是薄介质层，称之为松束缚边界。

26 5.3 复模与泄漏模 5.3.1复模 在介绍泄漏模之前，通过分析以下各种类型的模以及它们的数学表达，来了解复模的概念 。
假设 为自由空间的向z方向传播的模。 设 ，以便在二维里分析模的传播。 假设介质或其他类型的波导位于x＝0以下，x＝0以上一直到正无穷大是自由空间。 场满足标量场方程：

27 这个标量场方程的解为： （5.3.2） 把方程（5.3.2），带入方程（5.3.1）中，得到 ： （5.3.3）

28 在通常情况下，p和 是复数，可以设为以下形式：
（5.3.4） 把上式带入方程（5.3.3），得到以下的关系： （5.3.5） 把方程（5.3.2）重新整理可以得到 ： （5.3.6）

29 对于这个表达式，它的等相位面由下列式子给出：
（5.3.7） 它的等振幅面由下列式子给出： （5.3.8） 根据式子（5.3.5），我们可得到下面的结论：等相位面和等振幅面是实相互正交的。用方程表示为： （5.3.9）

30 下面我们用图来表示上面的结论 ： 图5.3.1 复波

31 现在我们研究波的传输特点,根据 我们知道， 表示波向x轴的正方向传播， 表示波向z轴的正方向传播； 表示波向－x方向传播， 表示波向－z方向传播。 这两个参数正负值的不同组合，代表了波向不同方向传播。 另外两个参数 和 是波的衰减因子（我们以前所接触到的一般是 ， ），当 ＝0， ＝0时，波无衰减地传播；

32 但是，当 时，表示波在沿着x方向传播时，能量不是衰减，而是指数递增的；同理 ，当 时表示波在沿z方向传播时，能量是指数递增的。
这种波我们称之为“非正规模”；而传输过程中能量衰减的波我们称之为“正规模”。 “非正规模”在通常情况下，是不存在的，但在特殊的区域是可以存在的。

33 5.3.2 泄漏模 对于泄漏模，又可以称为泄漏波。它的参数: ， ， ， （5.3.10）
， ， ， （5.3.10） 根据前面的分析，我们知道泄漏模是向＋x方向和＋z方向传播的。或者说它的传播方向可以分解为＋x和＋z两个方向。 由于 ，波在向＋z方向传播时是衰减的； ，波在向＋x方向传播时，能量是以指数的 形式递增的。 我们用下图来表示泄漏波的传输过程，它的能量就像从一个表面泄漏出来一样，所以被称为泄漏模。

34 图 泄漏波

35 泄漏模是“非正规模”，它只能存在于一部分空间内。
典型的例子就是，沿着波导传输的波，在波导狭缝处向外辐射，能量通过狭缝辐射出去。所以在＋z方向上能量衰减，但是在＋x方向能量却是增加的。 图 泄漏模波导

36 通过上图我们来进一步讨论泄漏模的存在区域。
泄漏模是非正规模，它只能在部分区间存在，而不能存在于所有的空间。 上图中的波导结构为例： 由于波在＋x方向能量以指数递增，在－z方向能量以指数递增，在上图中的无漏波区域，波的能量无限增大。从能量的角度来说，这种情况是不可能的存在的，因为它不能满足无穷远处的边界条件。否则的话在无漏波区域，波的能量将无限地增加。 而在有漏波区域，由于波在＋x方向能量以指数递增，在＋z方向能量以指数递减。两种趋势处于平衡，波的能量不能无限地增加，泄漏模就能存在。 总之，漏波能且仅能存在于上述扇形区域。

37 总的来说，在实平面内，解色散方程所得到的解，就是我们前面所讨论的各种导模。即波导中均匀平面波构成了导模，它们的参数均为实数，属正规模。它是波导中传输能量的主要形式。
泄漏模是在复平面内解色散方程所得到的一种结果。波导中的非均匀平面波构成了泄漏模。泄漏模参数为复数，且符合前面讨论过的规定，属于非正规模，是波导中能量损耗的一种形式。

38 5.4谱域伽略金法 5.4.1微带线简介 我们曾在传输线理论3.3.3中介绍过微带线的相关知识，现在我们分析微带线的色散特性。这就需要从麦克斯韦方程出发，结合边界条件进行求解。 在频率不太高的情况下，微带线中的场纵向分量小，可以将微带线纵向的场当作准TEM模来分析，而忽略其中的高次模和色散特性。 频率较高时，微带线中的纵向电场和磁场的混合模不能忽略，在微带线中沿Z方向传输的波有 和 分量，这时整个电磁场可以由两个标量位函数导出。

39 5.4谱域伽略金法 5.4.1微带线简介 下面我们通过用谱域的迦略金法解微带线来讨论微带线的介电常数与频率之间的关系。
下图是一个屏蔽微带线的横截面图， 其中： （1）区是介质基片， 介电常数是 ， 介质基片的上面是自由空间， 其他所需参数都标注在图中。

40 图 屏蔽微带线示意图

41 按照公式（5.1.11）和（5.1.23）， 对于TM模，引入一 个标量位函数 ， 对于TE模，引入另一个标量位函数 ， 它们满足亥姆霍茨方程： （5.4.1） 其中：

42 通常情况下，对于沿着z方向传输的导行波， 可以写成如下的形式：
（5.4.2） 也满足亥姆霍茨方程： （5.4.3）

43 用 表示 ，得到微带线中混和模的场分量如下：
（5.4.4） 其中下标 表示空气中的场， 表示介质中的场。

44 5.4.2伽略金法 首先我们把混合模中的两个标量位 和 在x方向进行傅里叶变换，得到下面的关系式： （5.4.5）
其中 是离散的傅里叶变换变量。 对于 的偶模或 的奇模， （k为整数）。对于 的奇模或 的偶模， 。

45 利用上面的傅里叶变换，可以得到亥姆霍茨方程的傅里叶变换为：
（5.4.6） 其中：

46 对于微带线中的场分量，利用上面的傅里叶变换，得到下面的关系式：
（5.4.7）

47 求解亥姆霍茨方程的傅里叶变换方程，它的边界条件为：在屏蔽壳的上壁和下壁，电场都为0。
所以亥姆霍茨方程的傅里叶变换方程在空气中和介质中的解为： （5.4.8） 上面方程中 是未知的待定系数。

48 把微带线中介质与空气的交接面 上的边界条件转换成谱域，具体如下：
（5.4.9） 上式中， 是 导带在x、z方向上 未知面电流密度的傅里叶变换式。

49 把方程（5.4.7）和方程（5.4.8）带入方程（5.4.9）中，经化简得到含有 的代数方程。
(5.4.10) 这一组方程包括未知系数 和未知的面电流密度 。 解该方程组得到用 表示 的方程组。

50 在微带线上还有一个边界条件：在导带上电流密度不等于零，但电场切向分量为零；在介质分界面上，电流密度为零，但电流切向分量不等于零，即：
（5.4.11）

51 这里 是未知的函数。 把上面的边界条件进行傅里叶变换，将用 表示 的方程组代入方程(5.4.10)中，并消去 ，得到下面的方程： （5.4.12）

52 其中： 是表示 ， 之间关系的 系数矩阵。

53 下面应用伽略金法将 展开成 基函数的级数， （5.4.13） 上式中， 是未知的常数。基函数的选择必须使得它 们的逆变换在|x|<w范围内有解，在|x|>w范围内解为0。 把上面的级数带入方程（5.4.12）中，并对不同的基函数 取内积。

54 由于 的逆变换在w<|x|<a的范围内为0，在|x|<w内有值；
所以在内积过程中消去了方程的右边项，得到： （5.4.17）

55 其中， （5.4.18）

56 下面要做的是选择适当的基函数，使得所做的选择尽量与时间电流接近。
5.4.3电流基函数 下面要做的是选择适当的基函数，使得所做的选择尽量与时间电流接近。 对于主模，可以选择为 ： （5.4.19）

57 那么上述电流的傅里叶变换为： （5.4.20） 将高次模的 ，带入方程（5.4.18）中， 解得 ， 再它们把带入方程（5.4.17），得到含未知系数 的齐次线性代数方程。

58 方程有非零解解的条件是系数矩阵的行列式为0。即
(5.4.21) 把（5.1.18）和(5.1.20)代入(5.4.21)这个矩阵方程里。 矩阵方程包含有和 角频率这两个未知数。 在不同的角频率下，解这个矩阵方程。

59 元素（5.1.18）包含无数项的求和，但是由于N的各项近
再由 推导出微带线的色散特性。