7 微分法則與其在比較靜態分析之應用.

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1 7 微分法則與其在比較靜態分析之應用

2 7.微分法則與其在比較靜態分析之應用 7.1 單變數函數之微分法則 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則
7.3 含多個變數函數之微分法則 7.4 偏微分 7.5 運用於比較靜態分析 7.6 關於賈可賓行列式

3 7.1 單變數函數之微分法則 A. 常數函數法則：常數函數 y＝f (x)＝ k之導數為零。 ⇒ 函數之導數其幾何意義，為其曲線之斜率。
常數函數圖形，各點皆為零斜率之水平直線。

4 7.1 單變數函數之微分法則 B. 指數函數法則：指數函數 y＝f (x)＝ x n之導數為nxn-1，n為任意實數。
Ex Ex Ex 3 Ex Ex 5

5 7.1 單變數函數之微分法則 C. 指數函數法則之推廣（一般化）：指數函數前乘一常數C， ，其導數為： Ex 6. y＝2x

6 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 和差法則 兩函數和（差）之導數為兩函數導數之和（差）：
Ex 1. y = 14 x3，14 x3＝ 5 x3+ 9 x3，f（x）=5 x3，g（x）=9 x3。

7 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 Ex 2. Ex 3. 常數C與37實際上對導數不產生影響。

8 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 短期總成本函數 ⇒邊際成本 ⇒固定成本（75）不影響邊際成本。

9 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 對每一x值而言，其邊際函數（導數）乃為總函數於該x值之斜率。圖7.1a b

10 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 B. 乘積法則
兩函數乘積之導數等於：第一個函數乘以第二個函數之導數，再加上第二個函數乘以第一個函數之導數。 Ex 4. y =（2x +3）（3x2） 將此法則推廣及三個函數之情況

11 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 由 AR求MR 已知AR＝15-Q，求MR. 1. R＝AR×Q；MR＝dR/dQ.
a.完全競爭市場裡的廠商微價格接受者⇒AR曲線為一水平線，MR-AR＝0。 b.不完全競爭下，廠商面對負斜率的需求曲線， ⇒MR－AR＜0。MR曲線必在AR曲線的下方。

12 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 2. 圖解（圖7.2）：當產出為N時，MR與AR之差距為 ＝OJ/OM＝JH/HG；HG＝N
⇒ ＝JH。據此，直接於G點下取垂線距離KG＝HJ，則得K點必為MR曲線上之一點。

13 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 C. 商之法則 兩函數商f（x）/ g（x）之導數為 Ex Ex 6 Ex 7

14 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 邊際成本與平均成本間之關係
⇒若且唯若邊際成本高於，等於或低於平均成本，則平均成本曲線斜率為正、零或負數。如圖7.3。

15 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 E. MC與AC之關係 ( MVC=MC ) 令 ＭＣ ＡＣ Ｑ

16 7.3 含多個變數函數之微分法則 A. 連鎖法則（複合函數法則）
若函數z = f (y)，式中y又為另一個變數x之函數，即y = g (x)，則z關於x之導數等於，z關於y之導數乘以y關於x之導數。（可推廣及三個或更多函數之情況。）

17 7.3 含多個變數函數之微分法則 Ex 1. z =3y2，y=2x+5 Ex 2. z = y-3，y = x3 Ex 3.
Ex 4. 已知廠商之總收益函數為R = f（Q） ，其中產出水準Q為勞動投入L之函數， Q = g （L），試求勞動之邊際產值函數（MRPL）（ ）。

18 7.3 含多個變數函數之微分法則 B. 反函數法則 若函數 y = f（x）有一對一之對應關係，則函數 f 有反函數 （讀作x 為y之反函數）。

19 7.3 含多個變數函數之微分法則 B. Inverse-Function Rule ：
若函數y=f (x )為1-1對應則f 有反函數，符號為f –1

20 7.3 含多個變數函數之微分法則 a. 單向遞增函數：已知函數 f（x），若自變數x持續增加，對應之 f（x）也愈來愈大。
x1＞x2 ⇒f（x1）＞f（x2） b. 單向遞減函數：已知函數 f（x），若自變數x持續增加，對應之 f（x）也愈來愈小。 x1＞x2 ⇒f（x1）＜f（x2） 此二種情形，其反函數皆存在。 Ex 5. y = 5x+25求其反函數。

21 7.3 含多個變數函數之微分法則 c. 反函數之導數為原來函數導數之倒數。 Ex 6. 已知y =x5+x，試求dx/dy。.

22 7.4 偏微分 A. 偏微分 y = f (x1, x2, …, xn)，式中變數xi（i=1,2,…n）彼此獨立。 ⇒差分商
求偏導數的過程稱為偏微分。 偏微分與微分，其主要不同處在於，偏微分時，令一個變數變動時，其他自變數固定不變。

23 7.4 偏微分 Ex 1.已知 ；試求其偏導數。 Ex 2. 已知 ；試求其偏導數。 Ex 3. 已知 ；試求其偏導數。

24 7.4 偏微分 偏導數其幾何意義也是指某特定區線之斜率。 例：生產函數Q＝Q（K，L）
偏導數QK代表資本的邊際產量（MPPK），當勞動投入保持固定不變下，對應於資本作無限小之變動時，產出水準之變動率。QL代表勞動的邊際產量（MPPL）。圖7.4。

25 7.5 運用於比較靜態分析 A. 市場模型 Q＝a － b P （a, b＞0）【需求】 Q＝－c ＋ d P （c, d＞0）【供給】
均衡解： 要了解當其中一個參數發生極微小變動時，對均衡值的影響，只要對該變數作偏微分即可。

26 7.5 運用於比較靜態分析 （圖7.5）

27 7.5 運用於比較靜態分析 P180. Fig 7.5 S D’ D Q a’ a P S D’ Q P P D Q S S' -c -c'

28 7.5 運用於比較靜態分析 （圖7.5）偏微分之結果由圖示法均可得知。那麼，何必在學微分技巧呢？
微分方法至少可得兩項優點。1.圖示法受空間限制，微分法則不然，即使內生變數與參數極多，以致無法以圖示法說明時，仍可運用微分法處理之。2.微分法可得較一般化之結論。（圖示法只能處理一組需求與供給曲線，微分法可推廣即含無數組供給與需求函數之組合。）

29 7.5 運用於比較靜態分析 B. 國民所得模型 ⇒均衡國民所得

30 7.5 運用於比較靜態分析 ⇒比較靜態（政府支出乘數，非所得稅乘數，所得稅率乘數）

31 7.6 關於賈可賓行列式 賈可賓行列式：可用來驗證含n個變數之一組n個函數間，彼此是否存有函數（不論直線型或非直線型）依存性。

32 7.6 關於賈可賓行列式 例如有下列兩方程式 ⇒4個偏導數為

33 7.6 關於賈可賓行列式 再依其順序排成正方矩陣，稱為賈可賓矩陣，以J表之；然後取其行列式，則得賈可賓行列式，以∣J∣表示之：
或 ， 可推廣於含n個變數之n個一般可微分函數，不必為線型。

34 7.6 關於賈可賓行列式 定理：若且唯若n個函數間具函數（線型或非線型）依存性，則其對應之賈可賓行列式，對所有 x1, x2,…, xn而言，恒等於零。 若且唯若線型函數之係數矩陣行列式值∣A∣= 0，則係數矩陣A之橫列為線型依存⇒可視為賈可賓行列式作為判斷函數依存性之一特例。

35 考古題1 函數 , (x<0) (1)(10 %) 請問此函數為單調遞減、單調遞增、抑或不是單調函數?
(2)(5%) 請問此函數之反函數是否存在? (3)(5%) 若此函數之反函數存在, 試求 dx/dy.

36 考古題2 市場模型如下: (10%) 請以偏微分法分析外生變數 b 減少對均衡價格之影響為何。
(10%) 利用下圖, 請以圖形分析法驗證(1)之答案。 S D Q P

37 考古題3 已知 AR＝80－2Q 試作平均收益曲線圖，然後利用圖解法，求MR曲線。（10 %）
試由AR函數之數學式，求MR函數。（10 %）

38 考古題4 請找出下列函數的導數，再求 與 之值： 。(10 %)

39 考古題5 已知 請找出 和 。(10 %)