四、分立隨機變數 (Discrete Random Variables) (Chapter 4)

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1 四、分立隨機變數 (Discrete Random Variables) (Chapter 4)
劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國立台灣大學流行病學與預防醫學研究所 國家衛生研究院生物統計與生統資訊組 【本著作除另有註明，網站之內容皆採用 創用CC 姓名標示-非商業使用-相同方式分享 3.0 台灣 授權條款釋出】 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

2 機率分布(Probability Distribution) 二項分布(Binomial Distribution)
卜瓦松分布(Poisson Distribution) 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

3 分立隨機變數 例：擲硬幣三次 令X為出現正面的次數 X可能的值為0,1,2,3 在未擲硬幣三次前不知X之值
 X為整數故X稱為分立隨機變數(Discrete Random Variables) 其相應的機率稱為分立隨機變數之機率分布 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

4 分立隨機變數 擲硬幣三次的樣品空間 HHH,HHT,HTH,THH HTT, THT,TTH, TTT X Event 機率 ｛TTT｝
｛TTT｝ 1/8 1 ｛HTT,THT,TTH｝ 3/8 2 ｛HHT,HTH,THH｝ 3 ｛HHH｝ 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

5 分立隨機變數 例：擲硬幣三次正面出現至少二次的機率 P(X≧2)=P(X=2)+P(X=3) =3/8+1/8 =1/2
正面出現少於二次的機率 P(X＜2)= 1-P(X≧2) =1-1/2 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

6 分立變數期望值(Expected Value)
分立變數期望值為該變數可能值的加權平均，其權數為該數值出現的機率。 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

7 分立變數期望值(Expected Value)
例：擲硬幣三次出現正面(H)之機率分布及期望值 x p(x) xp(x) 1/8 1 3/8 2 6/8 3 和 12/8=1.5= 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

8 例：某流行歌曲的收聽率（排行） 評分(x) 機率p(x) x‧p(x) 1 0.07 2 0.14 3 0.22 0.66 4 0.21
0.84 5 0.43 2.15 和 3.86= 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

9 例：保險公司壽險額＄20,000，保費＄300/year 利潤x 機率p(x) x‧p(x) $300 (保險人未死亡) 0.999
299.7 $300-20,000=-19,700 (保險人死亡) 0.001 -19.7 和 280==利潤 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

10 靠期望值做生意 10 大樂透頭彩2億，49號取6號，要不要玩? -大樂透 -買一張50元，中獎得2億的機率為 -期望值為
-平均而言，每個買彩券的人樂捐了35.698元(另一種稅?) -要不要玩? -多人參加對誰有利? -每天十萬人買大樂透，收入350萬，一年12億7750萬 10 2019/1/1 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD Jen-pei Liu, PhD

11 分立變數的變方(Variance) 分立變數的變方 分立變數之變方為每個可能值與期望值偏差平方之加權平均，權數為其數值之機率
2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

12 擲三個硬幣出現正面之變方計算表 x x- (x- )2 p(x) (x- )2‧p(x) -1.5 2.25 1/8 0.28125
-1.5 2.25 1/8 1 -0.5 0.25 3/8 2 0.5 3 1.5 0.75=2 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

13 二項分佈(Binomial distribution)
試驗結果僅有二個結果 擲硬幣：正，反 種子發芽：發芽，不發芽 小孩性別：男，女 殺蟲劑成效：死亡，存活 政策：贊成；反對 進入商店：購買；不購買 一般：成功(S)；失敗(F) 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

14 二項分佈(Binomial distribution)
問題：根據過去經驗一個顧客進入 某一家商店會購買商品的機率為 0.4(40％)，請問三位顧客中 有二位會購買商品之機率為何？ 隨機變數X：購買商品的顧客 可能出現的值：0,1,2,3 問題:p(x=2)=? 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

15 二項分佈(Binomial distribution)
問題特性： 1.本試驗包括三個相同的小試驗 每一小試驗是顧客購買商品 2.每一小試驗只有二種結果 購買(S)或不購買(F) 3.P(S)=0.4； P(F)=1-P(S)=0.6 4.每一個顧客買的機率均為0.4 5.每一個顧客均獨立購買商品(不受他人影響) 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

16 二項分佈(Binomial distribution)
樣品空間 X=2之事件包含的結果為 ｛SSF,SFS,FSS｝ SSS FFS SSF FSF SFS SFF FSS FFF 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

17 二項分佈(Binomial distribution)
P(SSF)=P(S)P(S)P(F)=(0.4)(0.4)(0.6)=(0.4)20.6 P(SFS)=P(S)P(F)P(S)=(0.4)(0.6)(0.4)=(0.4)20.6 P(FSS)=P(F)P(S)P(S)=(0.6)(0.4)(0.4)=(0.4)20.6 P(X=2)=P(SSF)+P(SFS)+P(FSS) =(0.4)20.6+(0.4)20.6+(0.4)20.6 =3(0.4)20.6 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

18 1. 0.4為顧客購買商品之機率＝p 2. 0.6為顧客不購買商品之機率＝q＝(1-p) 3. 3為X=2事件包含結果之個數
即3位顧客中有兩位顧客會 購買商品的可能組合 SSF→第一位，第二位 SFS→第一位，第三位 FSS→第二位，第三位 4. 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

19 二項分佈(Binomial Distribution)
每個小試驗包括二個結果成功(S)或失敗(F) 成功機率為p,失敗機率為q=1-p 小試驗間為互相獨立 X為成功次數 附表2 (P ) 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

20 二項分佈(Binomial Distribution)
2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

21 二項分佈(Binomial Distribution)
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22 二項分佈(Binomial Distribution)
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23 二項分佈(Binomial Distribution)
二項分布之期望值與變方  = np 2 = npq = n個相同小試驗其成功機率 為p之二項分立隨機變數，記為 X~Bin(n,p) 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

24 有一醫學試驗進行某新藥品對某疾病的治療效果，我們希望新藥品治癒率達90％，（無效率為10％）。今試驗20位病人，若其治癒率可靠，則應有多少病人治癒？而最多有15位病人治癒之機率為多少？
由二項分布期望值公式，其治癒人數為： E(X)=np=20(0.9)=18人 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

25 而最多有15位病人治癒之機率可利用二項分布累計機率公式求得：
至少有16位病人治癒的機率為： 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

26 [例4.10] 有一健保意見調查，若設80％居民 贊成，今獨立隨機訪問15位居民，至少 有8位居民贊成之機率為多少？有
10個至14個居民(包括10與14) 贊成之機率有多少？ (1)至少有8位居民贊成之機率為 Pr(X≧8)=1-Pr(X≦7) 今n=15, x=7, p=0.8 查附表2得 Pr(X ≦7)=0.0042 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

27 二項分佈(Binomial Distribution)
故至少有8位居民贊成之機率為 =0.9958 (2)有10至14位居民贊成之機率為 Pr(10≦X≦14) =P(X≦14)-P(X≦9) = =0.9037 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

28 卜瓦松分布(Poisson Distribution)
卜瓦松分布為稀少事件個數之分布 二項分布中n很大且p很小時，其分布即變成 卜瓦松分布(時間及空間) 例：某十字路口每月發生車禍之次數 每年騎兵被馬踢死之人數 某機場塔台每半年發生錯誤的次數 一c.c.血液中某種細菌之個數 附表3(P.481-P.482) 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

29 卜瓦松分布(Poisson Distribution)
為卜瓦松分布之平均 ‧卜瓦松分布之特性:平均數=變方 =2 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

30 卜瓦松分布(Poisson Distribution)
2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

31 不同之卜瓦松分布圖 (a)  = (b)  = (c)  = 15 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

32 例：某醫院經過幾年的調查統計，平均一天有2位車禍病人求診，若車禍病人屬卜瓦松分布，試求一天多於3位車禍病人求診之機率。
 ＝2, 車禍病人 x＝0,1,2,3之機率如下表 表. 車禍病人 車禍病人x 累計機率 P(X≦x) 1 2 3 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

33 卜瓦松分布(Poisson Distribution)
完全沒有車禍病人之機率只有13.534％， 有一個車禍病人之機率為27.067％， 有二個車禍病人之機率為27.067％， 而有三個車禍病人之機率為18.045％， 大於三個車禍病人之機率為： P(X＞3)=1-p(X≦3)= = =14.287% 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

34 例：設在高速公路上平均每天有5次車禍發生，若x為某天 發生車禍之隨機變數，求下列各項機率： (a)沒有車禍發生 (b)少於3次車禍
(c)多於3次車禍 高速公路來往車輛很多，平均一天發生5次車禍應屬於 卜瓦松分布，故上述各項機率為： (a) (b) = = =26.502% (c) P(X>3)=1-P(X≦3)= = =73.498% 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

35 μ=5時二項分布與卜瓦松分布比較表 p 0.5 0.10 0.05 卜瓦松分布 n 10 50 100 機率 x 0.0010 0.0052
0.0010 0.0052 0.0059 0.0067 1 0.0098 0.0286 0.0312 0.0337 2 0.0439 0.0779 0.0812 0.0842 3 0.1172 0.1386 0.1396 0.1404 4 0.2051 0.1809 0.1781 0.1755 5 0.2461 0.1849 0.1800 6 0.1541 0.1500 0.1462 7 0.1076 0.1060 0.1044 8 0.0643 0.0649 0.0653 9 0.0333 0.0349 0.0363 0.0152 0.0167 0.0181 >10 0.0094 0.0115 0.0137 1.0000 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

36 總結(Summary) 機率分布 二項分布  ＝np 2 ＝npq 卜瓦松分布  ＝2 2019/1/1
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37 習題： P.105: 2,3 P.106: 5 2019/1/1 Jen-pei Liu, PhD

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31 國立臺灣大學 農藝系 劉仁沛 教授。