Next section: crystal symmetry

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1 Next section: crystal symmetry
结晶学与矿物学 下面是第三章: 晶体的宏观对称 Next section: crystal symmetry

2 结晶学与矿物学 晶体的宏观对称 对称的概念 晶体的对称要素 对称要素的组合规律 对称型(点群)及其符号 晶体的对称分类

3 结晶学与矿物学 对称的概念 Symmetry 是宇宙间的普遍现象 是自然科学最普遍和最基本的概念 是建造大自然的密码 是永恒的审美要素

4 结晶学与矿物学 对称的概念 物体(或图形)中相同部分之间有规律重复

5 结晶学与矿物学 晶体的对称 晶体都是对称的 晶体外形上对称 晶体宏观性质上对称 是晶体的基本性质之一 是晶体科学分类的依据

6 对称操作(symmetry operation)
结晶学与矿物学 对称操作(symmetry operation) 能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复的动作(对称操作) some acts that reproduce the motif to create the pattern Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern

7 对称元素 对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称元素的符号
结晶学与矿物学 对称元素 对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry) 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis) 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rotoreflection axis) 对称元素的符号 国际、习惯、图示符号：教材之表3-1、表7-1

8 结晶学与矿物学 对称元素符号 宏观晶体的对称要素

9 晶体对称定律 结晶学与矿物学 只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴
轴次 n 的确定: n = 360/a a + 2a cosa = ma cosa = (m-1)/2  1 m = 3, 2, 1, 0, -1 a = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1, 6, 4, 3, 2

10 对称操作 ＝ 对应点的坐标变换 (x, y, z) (X, Y, Z)
结晶学与矿物学 对称元素之对称操作 对称操作 ＝ 对应点的坐标变换 (x, y, z) (X, Y, Z) or 对称变换矩阵

11 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/2 rotation
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 6

12 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/2 rotation
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern Operation A Symmetrical Pattern 6 Motif Element 6 = the symbol for a two-fold rotation

13 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/2 rotation
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 Motif 第一步 Element 第二步 6 = the symbol for a two-fold rotation

14 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 结晶学与矿物学 二次(two-fold rotation)
变换矩阵 A Symmetrical Pattern 6 第一步 第二步 6

15 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子

16 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子

17 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子

18 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子

19 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子

20 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子

21 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 结晶学与矿物学 二次(two-fold rotation) 等效的例子
1st 180o rotation makes it coincident 2nd 180o brings the object back to its original position

22 6 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/3 rotation
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 三次(three-fold rotation) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 6 6

23 6 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/3 rotation
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 三次(three-fold rotation) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 step 1 6 step 3 6 step 2

24 对称轴(Ln)之对称操作 其他的对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的) 结晶学与矿物学 6 6 6 6 6 变换矩阵：

25 对称面(m)之对称操作 对称面(mirror)
结晶学与矿物学 对称面(m)之对称操作 对称面(mirror) Reflection across a “mirror plane” reproduces a motif = symbol for a mirror m

26 对称面(m)之对称操作 对称面(mirror) m 结晶学与矿物学 变换矩阵 m包含x、z轴 ? m包含y、z轴 ? m在其他位置 ?
( m包含x、y轴) m包含x、z轴 ? m包含y、z轴 ? m在其他位置 ?

27 对称心之对称操作 对称心(C, 1) 结晶学与矿物学 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z)
变换矩阵：

28 结晶学与矿物学 对称心之对称操作 对称心(C, 1) 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z)

29 对称心之对称操作 对称心(C) 结晶学与矿物学 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z)
Step 1: rotate 360o/1 (identity)?

30 对称心之对称操作 对称心(C) 结晶学与矿物学 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z)
Step 1: rotate 360o/1 Step 2: invert

31 倒转轴(Lin)之对称操作 种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P 倒转轴
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸 = 对称轴＋对称心 变换矩阵： 种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P

32 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例

33 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例

34 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 Step 1: Rotate 360/4

35 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert

36 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert

37 倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert

38 倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert

39 倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert

40 倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert

41 倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert

42 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 4-fold rotoinversion ( 4 )

43 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li3 3-fold rotoinversion ( 3 ) 3 5 1 4 2 6

44 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li6 6-fold rotoinversion ( 6 ) Top View

45 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴对称操作之图解

46 映转轴(Lsn)之对称操作? 结晶学与矿物学 L1i = L2s = C； L2i = L1s = P；
L3i = L6s = L3 + C； L4i = L4s； L6i = L3s = L3 + P

47 结晶学与矿物学 对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P)

48 结晶学与矿物学 对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect

49 结晶学与矿物学 对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate

50 对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 结晶学与矿物学
Is that all?? No! A second mirror is required ! So, L2 + P = L2 2P (2-D)

51 结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P)

52 结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect

53 结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1

54 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1
结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1 Step 3: rotate 2

55 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1
结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1 Step 3: rotate 2 Step 4: rotate 3

56 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Any other elements? Yes, two more mirrors
结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Any other elements? Yes, two more mirrors So, L4 + P = L4 4P (2-D)

57 结晶学与矿物学 对称元素的组合 三次轴(L3)+对称面(P) L3 + P = L3 3P (2-D)

58 结晶学与矿物学 对称元素的组合 六次轴(L6)+对称面(P) L6 + P = L6 6P (2-D)

59 对称元素的组合 Ln  P(||)  Ln n P Ln  L2()  Ln nL2
结晶学与矿物学 对称元素的组合 Ln  P(||)  Ln n P Ln  L2()  Ln nL2 Ln  P() = Ln  C  Ln P C (n =偶数) Lni  P(||) = Lni  L2()  Ln i nL2 nP (n =奇数) Lni  P(||) = Lni  L2()  Ln i n/2L2 n/2P (n =偶数)

60 结晶学与矿物学 对称元素的组合 几个实际的例子

61 点群(对称型)及其符号 宏观晶体中所有对称元素的集合 什么是点群(point group)?
结晶学与矿物学 点群(对称型)及其符号 什么是点群(point group)? 宏观晶体中所有对称元素的集合 10 unique 3-D symmetry elements: i m And 22 possible combinations of these elements Totally, 32 point groups

62 结晶学与矿物学 点群 (对称型)及其符号

63 点群 (对称型)及其符号 有多少种点群? 32种 (见 .gif文件) 如何得到的? 推导? 如何用符号表达? 习惯符号 国际(H-M)符号
结晶学与矿物学 点群 (对称型)及其符号 有多少种点群? 种 (见 .gif文件) 如何得到的? 推导? 如何用符号表达? 习惯符号 国际(H-M)符号 圣佛利斯(Schoenflies)符号 参见教材: P33，表3－3

64 结晶学与矿物学 点群及其符号 教材：P35～36

65 点群及其符号 点群的国际符号 最多有三个位, 分别代表不同方向 如mmm, 432, 4/m…… 了解不同位之间的关系
结晶学与矿物学 点群及其符号 点群的国际符号 最多有三个位, 分别代表不同方向 如mmm, 432, 4/m…… 了解不同位之间的关系 全面掌握(!)32种点群的国际符号

66 4/mmm 点群及其符号 点群的国际符号 结晶学与矿物学 1 2 3 P91, 表7－5 1 2 3 1 2 3 晶系
三个位所表示的方向(依次列出) 等轴 c a+b+c a+b [001] [111] [110] 四方 a [100] 斜方 b [010] 单斜 三斜 任意方向 三六方 2a+b [210] 1 2 3 1 2 3

67 晶体的对称分类 晶族(crystal category)的划分 问题: 结晶学与矿物学 根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族
高级晶族(higher category) 中级晶族(intermediate category) 低级晶族(lower category) 问题: 什么是高次轴? 最多有多少高次轴?

68 晶体的对称分类 晶系(crystal system)的划分 参见教材: P34，表3－4 结晶学与矿物学
根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系, 分属于三个晶族 等轴晶系(isometric system), 又称立方晶系(cubic system) 六方晶系(hexagonal system) 四方晶系(tetragonal system) 三方晶系(trigonal system) 斜方晶系(orthorhombic system), 亦称正交晶系 单斜晶系(monclinic system) 三斜晶系(triclinic system) 参见教材: P34，表3－4

69 结晶学与矿物学 晶体的对称分类 晶体的对称分类: 参见教材: P34，表3－4 --- the below and next page

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71 32种点群的Wulff投影 See java applet