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12.3 角的平分线的性质 （第2课时）
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角的平分线的性质 “角平分线上的点到角的两边的距离相等” ∵ OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， A ∴ PD =PE． D
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探索并证明角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上． A ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD =PE D
C D E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD =PE ∴ OP是∠AOB的平分线．
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应用角平分线性质定理的逆定理 1．判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) X A B O Q M N
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应用角平分线性质定理的逆定理 1．判断题： （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； ( ) X A
1．判断题： （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； ( ) X A B O Q M N
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应用角平分线性质定理的逆定理 √ 1．判断题：
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( ) √ A B O Q M N
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2. 如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点P． 求证：点P在∠ A的平分线上．
解决简单问题，巩固角的平分线的性质 2. 如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点P． 求证：点P在∠ A的平分线上． A B C P M N G F E
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3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
G M H
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应用角平分线性质定理的逆定理 问题 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在 何处？
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变式拓展 变式 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建 在何处？ 公路 铁路
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已知 BD=CD, ∠B= ∠C, 求证：AD平分∠BAC A D C B
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例.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分
∠ADC,求证:AE平分∠DAB D C F E A B
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如图，CE=BF ，△DCE与△DBF的面积相等,
求证：AD平分∠BAC A N E F M B C D
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如图，在四边形ABCD中，BC ＞AB, AD=CD, DF ⊥ BC, BD平分∠ABC 求证： ∠BAD+ ∠BCD=180 °
若DF=3, BF=6,求四边形ABCD的面积. H A D 1 2 B C F
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分类例题——重叠角 如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角∠EPF的两边分别与边AB，AC交与点E，F，连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时，△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。
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课堂小结 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联 系是什么？ （3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？
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