第一篇 力 学 第五章 波动学基础.

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1 第一篇 力 学 第五章 波动学基础

2 内　容　结　构 一　波动的运动学规律 (引入运动学参量、运动学方程、波动的合成) 二　波动的动力学规律 三　波动的能量 四　多普勒效应

3 §5-1 波动的运动学规律 一 有关机械波的基本概念 1.机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波
§5-1　波动的运动学规律 一　有关机械波的基本概念 1.机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 说明：A.机械波产生的前提条件是：存在波源；存在传播 　　　　振动的弹性介质（但不是所有的波都需要弹性介质） 　　　B.波动产生的物理机制：波是振动质点带动邻近质点 　　　　振动，由近及远向外传递振动的结果。是振动的向 　　　　外传递，不是介质质点自身向外运动的结果。 2.机械波的种类：纵波和横波 　纵波：振动方向与波的传播方向垂直的波，称为纵波 　　　纵波依靠介质纵向的弹性使振动由近及远向外传播。 　　　纵波可在固体、液体、气体中传播。

4 影响纵波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的杨氏弹
　性模量(Y，固体)，体变模量(B，液体、气体)等。 纵波的特征是有凹凸的波峰、波谷。 横波：振动方向与传播方向平行的波称为横波 　　　横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播

5 横波只能在固体中传播。 影响横波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的切变弹 　性摸量(G，固体)。 横波的特征是有稀密相间的不同介质区域。 二　理想机械波模型 1.振源与弹性介质保持相对静止 　——介质振动频率与振源振动频率相同。 　A.从机械波产生的物理机制角度理解。 　B.稳定、无阻尼受迫振动的振动频率与受迫力频率相等 2.弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变 三　描述机械波的物理参量 1.描述机械波的解析物理参量——波长、频率(周期)、波速

6 (1).波长(λ)：沿波传播直线上两个相邻同相点
　　（相位差为2π）之间的距离。 说明：一个波长范围内包含了一个“完整的波”，即包含了质 　　 点振动的各种可能振动步调(相位) 波数( )：波长的倒数称为波数。或：单位长度所包含的完整 　　波的数目，称为波数。 (2).频率(　)：单位时间内给定的完整波的个数。 　 周期(T)：传递一个完整波所需的时间。或：频率的倒数 (3).波速( v )：单位时间波向外传播完整波数对应的距离 说明：波的传播速度等于振动的相位传播速度

7 波长、频率、相位之间的普适关系 2.描述机械波的辅助物理参量——波线、波面、波前(几何描述) (1).波线：波向外传播的方向构成的曲线，称为波线。 　 波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同 波矢：特定的波线的矢量，　　　　　称为波矢 　其中　　为波矢的单位矢量 (2).波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面，称为波面 　 不同波面上振动的质点有一定的 　相位差。相距一个波长的两波面 　的相位差为2π 波面 波前 波线 (3).波前：某时刻介质中刚开始振动的 　 点构成的曲面，或者位于所有波面 之前的波面

8 A.波线与波面、波前一定垂直。 B.波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 C.理想机械波模型中，波前的相位一定等于振源的初相位 证明：设振源的简谐振动为 任意时刻t振源的相位为 设机械波传递到波前处所需时间为t，考虑到介质质点振动 频率与振源振动频率相等，如所有介质质点振动采用同一 记时起点，则波前的相位比振源相位落后 于是，t 时刻波前的相位为 例：声音在空气和水中的波速分别为340m/s，1450m/s。 求：(1).频率分别为200Hz，2000Hz的声波在空气、水中的波长 (2).说明声音在空气和水中的频率为何保持不变

9 解：(1).空气中 水中 (2).在理想机械波模型下，介质中质点的振动频率始终与振源 　 振动频率相等。与介质结构无关 四　平面简谐波的运动学描述 平面波：波面为平面的波，称为平面波。 简谐波：传递简谐振动的波，称为简谐波 1.平面波的运动学方程——波函数 目的：描述距振源任一距离处质点的振动情况 设 t 时刻x=0的质元振动方程为

10 设平面波的波速为v，则距离振源x点处的相位
或者写为 波函数的标准形式 讨论：波函数的物理意义 A.波函数表示沿波线方向振动状态的周期性分布

11 当　　　时，波函数表示该点质点的振动方程 任意两点　，　的相位差为 称为波程差。 相位差与波程差之间的关系 当　　　　　　　 （　　）时 。两点振动的相位相同 当　　　　　　　　 　　（　　）时 　　。两点振动的相位相反

12 B.波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布
当　　时，波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布 当　　　　（　　　）时，　　　　　　， 波形向前推进　　的距离(波形向前推进的速度为v)。 例：已知平面简谐波的波动方程 求：1.波的振幅、周期、频率、波长 2.距波源　处质点的振动方程 　 3.距波源x1=0.20m，x2=0.40m两处的相位差。 解：1.由于波函数的标准形式能直接读出振幅、周期、波长， 　　因此，在求波函数的基础物理量时，一般将波函数改写 　　为波函数的标准形式来求解

13 将波函数改写为标准形式为 与波函数的标准形式对比可得 2.将　　　代入波动方程可得 3.由　　　　　可得 例：一平面简谐波的波速为20m/s，沿直线传播。在路径中A 　点的振动方程为,如图 求：1.以A为坐标原点，写出波动方程 　　2.以B为坐标原点，写出波动方程 　3.以B为坐标原点，写出C、D的振动方程及振动速度表达式

14 解：1.由波动方程的普遍形式 以A为原点写波动方程，关键要求出波函数的基础物理参量 由 可得 波函数为 2.以B为坐标原点时，由于B点比A点坐标超前，即 因此，只需要将以A为坐标原点的波动方程中的记时起点换 为以B为坐标原点的记时起点即可

15 3.将C、D两点坐标代入上式即可求出C、D两点的振动方程
速度振动方程只需对上面两式求导 例：一平面波沿x轴正向传播，振幅为A，频率为ν，波速为v 　　设t=t’时波形如图。 求：1.x=0 处质点的振动方程 该波的波动方程 分析：求振动方程、波动方程即求 已知：A

16 因此，关键求出 对　　　处，由振动方程可得 由已知，此时波沿x轴正向传播，理解为波整体向右移动，可 知此时振动的速度为负，即 于是

17 §5-2　波动的动力学规律 一　波的动力学方程 例：推导轻质、柔弦的微振动方程 如图，由牛顿定律有 微振动时 联立求解得

18 讨论：1.波动动力学方程的推导步骤 取微元对象受力分析列动力学方程取近似得微分方程 二　波速 由波动方程 可得 所以 对比 可知 即：波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度

19 讨论：影响波的传播速度的因素 对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动的波动方 程及传播速度，由传播速度的表达式，容易知道影响波传播 速度的因素 绳的微振动横波 T：绳的张力 杆的纵向微振动波 Y：杨氏弹性模量 杆的横向微振动波 G：切变弹性摸量 声音在空气中传播 B：体变模量 真空中的电磁波 ０真空介电常数，０真空磁导率

20 §5-3 波动的能量和能流 一 简谐波的能量 设简谐波为 则在点处 介质内的机械能为 (1).动能 (2).弹性介质 内的势能
§5-3　波动的能量和能流 一　简谐波的能量 设简谐波为 则在点处 介质内的机械能为 (1).动能 (2).弹性介质　　内的势能　 A.弹性微元的弹性应变 如图，取微元 初始时刻微元端点坐标分别为 x，x+x。某一振动时刻两端 点位移分别为y(x,t)和y(x+x,t)

21 B. 弹性介质　　内的势能 由弹性模量Y的定义 可得 (其中， ) 与弹簧谐振子回复力公式类比，可得杆纵振动的弹性势能为 或 于是

22 讨论 1.能量密度：弹性介质单位体积的能量，称弹性介质的能量密度 A.能量密度随时、间变化，不构成简谐波，但传递速度仍为v B.能量密度的角频率为简谐振动角频率的二倍，因而周期、波 　长为简谐振动的一半 C.平均能量密度为 2.微元机械能不守恒 知：微元的动能、势能、总机械能同时达到最大或最小。微元 的总机械能是不守恒的，这正表明机械波是要向外传播能量， 这一点，刚好与简谐谐振动机械能守恒相反

23 二　简谐波的能流密度(波的强度) 1.能流矢量 　单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量 2.平均能流矢量 3.能流密度矢量（坡印亭矢量） 单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量 4.平均能流密度矢量 对平面简谐波

24 例：在各向同性的理想介质中 求：点波源振幅、强度随距离的变化关系 解：由能量守恒 可得 振幅随距离呈1次方衰减 波的强度随距离呈2次方衰减
(1).z-2衰减曲线　(2). z-１衰减曲线 (3).三角形脉冲 (4).高斯脉冲 (5).正弦脉冲　　 (6).等腰梯形脉冲 (7).矩形脉冲 不同波形的衰减特性 log(z) log(Gc/g0) 1 2 4 5 6 3 7 可得 振幅随距离呈1次方衰减 波的强度随距离呈2次方衰减

25 例：声波在液体中的强度： ；频率； 液体的密度：　　　　　　声速： 求：液体质元振动的振幅 解：由 可得 由此可见，声波在液体中的振幅实际上是很小的 三　声强与声级 人的听觉与声强的对数成正比，于是声强定义为 采用分贝dB单位

26 §5-4 波的干涉 驻波 一 惠更斯原理 1.惠更斯原理 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波，
§5-4　波的干涉　驻波 一　惠更斯原理 1.惠更斯原理 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波， 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前 惠更斯原理的重要性在于：只要知道了某一时刻波的波阵面， 就可以用几何方法决定下一时刻的波阵面及波的传播方向

27 2.惠更斯原理的应用 例：用惠更斯原理解释平面波、球面波的传播 方法：1.找出t时刻波的波阵面 2.以t时刻的波面为新的波源，画出经时刻后的t1时刻子波波前 3.画出t1时刻子波波前的包迹，即为该时刻的波阵面 4.确定求出的波阵面的几何形状和传播方向 例：用惠更斯原理解释波的衍射、折射、 反射等规律 二　波的叠加原理(波的独立性原理) A.各列波相遇后它们各自原有的特点 (频率、波长、振幅、振动方向等)不变， 按各自原有的方向　传播，好象在各自 的传播过程中没有遇到其他波一样

28 B.在各列波相遇的区域里，任意质点的振动，为各列波在该点
　引起的振动的矢量叠加 三　波的干涉 1.波的干涉的相关概念 A.相干波：满足相差恒定、振动频率相同、振动方向相同的波 B.波的干涉：相干波在其公共区域内叠加，形成公共区域内合 　成波强度随空间坐标而异的强度稳定分布现象，称波的干涉 2.干涉现象中的波的强度空间分布 设两列相干波源的振动分别为

29 在空间相遇点P的振动分别为 由叠加原理，两列波在公共区域内的合成振动为 其中 讨论 1.相长干涉 2.相消干涉

30 3.特例 当　　　时 即相位差取决于： 称　为波程差 此时的相长干涉条件为 此时的相消干涉条件为

31 例：已知振源S1，S2如图，PS1=4m，S1S2=3m，两振动有如下
　　共同物理量：A=5cm，v=330m/s，v=165Hz，2-1= 求：在P点的干涉结果 解：求干涉结果，即求解以下两个物理量 由于 2-1= 于是

32 四　驻波 1.驻波的相干条件：两波振幅相同、频率相同、振动方向相 　同、在同一条直线上反向传播 2.驻波的形成及数学表达式 设两列满足驻波条件的相干波分别为 于是，合成波为 讨论：(1).振幅分布规律 A.振幅只与空间位置有关，与时间无关。即对一确定的空间 　位置，振幅是一定的

33 B.当 ，即 时， 此时对应的坐标点点称为波腹 相邻波腹的距离为 当 即 时， 此时对应的坐标点点称为波节 相邻波节的距离为 (2).相位分布规律 每一波节两侧半个波长内的质点振动的相位相反，相邻两波 节之间的质点振动相位相同

34 因 当　　　　　　时，　　　　　 即相邻两波节之间的质点振动相位相同 当　　　　　　时，　　　　　 即每一波节两侧半个波长内的质点振动的相位相反 (3).驻波的能量：由形成驻波的条件可知，驻波并不传递能量 (4).半波损失的概念 实验发现，对于绳子的固定端，该点是入射波与反射波在绳上 形成的驻波之波节。由振动的合成可知，该点的入射波与反射 波的相位一定相差半个周期(入射波在该点反射时有的相位突变 或半个波长)。称该现象为半波损失

35 对绳子的自由端，入射波与反射波没有相位突变，或不构成
驻波波节。因此，没有半波损失 一般情况下，入射波在反射时是否存在半波损失，取决于介 质密度、入射角等因素 对于两端固定绳子上形成的驻波，由于在两个端点必然是驻 波节点，因而，可能的驻波波长必须满足 或 即：可能的驻波必须是某一基波的整数倍。m=1的频率称基频 其它的波称为谐波。所有这些振动称为简正振动。所有的频率 构成弦振动的本征频率 当外界激发频率等于振动系统的本征频率时，就会引起驻波， 这种现象也称为共振

36 例：波源位于O点处，振动方程为：　　　　　，在　　　　 　　处的Q点有一反射墙壁。 求：(1).沿x轴正向、负向传播的波动方程 (2).反射的波动方程 (3).OQ区域内合成波的方程 (4).x>0区域内的合成波动方程 解：(1). 沿x轴正向传播的波动方程 沿x轴负向传播的波动方程 (2).反射的波动方程，入射到Q点的振动方程为 考虑到墙壁引起的相位突变，Q点的振动方程为

37 故QO区域内反射波的方程为 在x>0区域内反射波的方程为 即，反射波波动方程可以统一表示为 (3).OQ区域内合成波的方程 (4).x>0区域内的合成波动方程

38 例：长为l的绳两端固定，线密度为　，张力为T
求：此弦中的振动频率（固有振动的本征频率） 解：弦两端固定，端点应为节点。而驻波相邻两点的距离为　 　　的整数倍。于是 其中 于是 基频为　　　　　，基频取决于绳子的长度、密度、张力 例：假定原子中核外电子绕核运动遵守某种简谐波的波动规律 求：原子中电子的轨道半径必须满足的条件 解：原子必须是稳定的，由波的干涉情况可知：只有当电子的

39 §5-5 多普勒效应 波形成稳定驻波时，原子才可能稳定。由驻波条件，轨道周长 必须为电子波长的整数倍，于是
§5-5　多普勒效应 多普勒效应：当波源与观察者发生相对运动时，观察者测得 的波的频率发生变化 一　波源与观察者均相对于媒质静止情况 当波源与观察者保持相对静止时，观察者测得波的频率为单位 时间内经过观察者所在观察点的完整波数 即观察者测得的频率等于振源的振动频率

40 二　波源不动，观察者以速度vR运动 当波源与观察者保持相对静止时，观察者测得波的频率为 当观察者以速度 相向光源运动时，他将多测到经过观察点 的波数为　　，观察者测得波的频率为 vR 即，观察者测得的波的频率为静止时的　　　倍 当观察者以速度远离光源运动时 三　观察者不动，波源相对于媒质以速度vS运动

41 相对静止时观察者观察到的波长为　　　，则当波源以速度
　相向观察者运动时，观察到的波长为 现在的频率为 当波源以速度　 远离观察者运动时，观察到的频率为 四　观察者与波源同时相对于媒质运动 观察者与波源同时运动时，可以将该运动分解为两个分运动的 叠加——波源静止，观察者运动叠加波源运动而观察者静止

42 于是，当两者相向运动时 当两者远离运动时 例：设原子静止时所发射光波波长为0 求：相对于原子以速度v的观察者观察到的光波波长 解：光波与机械波的差别在于它不需要介质传播，而是自身传 　播，且光速恒为c。因此，影响观察者测量的频率只取决于 　光源与观察者之间的相对运动。 　如图，设观察者以速度v相对于光源运动，为使讨论具有一般 　性，我们考虑相对论效应。 　设在静止系中测量原子光谱的周期为T，则观察者测得的周期

43 由 可得 而 于是 考虑到 可得 或

44 即：光线的传播方向与相对运动的速度方向一致时，波长变短
反之，波长会变长 在地球上的观察者观察天体的运动，当天体远离地球而去时， 相对运动方向与光线传播方向相反，此时，测得的光波波长 变长。称此现象为“红移”。 测量光线的红移程度，可知天体的运动情况。 例：飞行物以速度uR远离观察者飞行，由静止波源向飞行物发 　射频率　　　　　的超声波，波源测得反射波与发射波引起 　的拍频为100Hz，声速为v=340m/s。 求：飞行物的飞行速度。 解：拍频为发射波与反射波频率之差：　　　　。其中　为反 射波的频率。反射波的频率应等于飞行物接收到的超声波的频

45 率，由于飞行物以速度vR远离波源运动，因此，飞行物接受到
的频率应为： 于是