第三模块 函数的微分学 第三节　复合函数的导数 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的求导举例.

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1 第三模块 函数的微分学 第三节　复合函数的导数 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的求导举例

2 一、复合函数的求导法则 定理 2 设函数 y = f (u)， u =  (x) 均可导，
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且 或 或

3 证　设变量 x 有增量 x， 　　　　　　　　　　　　　 相应地变量 u 有增量 u， 从而 y 有增量 y. 由于 u 可导， 即

4 　　推论　设 y = f (u) ， u =  (v)， v =  (x) 均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
且

5 二、复合函数求导举例 例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y . 将 y = (2x + 1)5看成是
　　解　把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5看成是 y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于 所以

6 例 2　设 y = sin2 x，求 y . 　　解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式， 这里， 我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以

7 例 3　设 y = etan x，求 y . 　　解　 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成， 所以 　　复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.

8 例 4 求 y . 解　将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式

9 例 5　设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).
解

10 例 6 求 y . 解　这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑子中．

11 例 7 求 y . 解

12 例 8 ,求 y . 　　解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.

13 例 9　设 y = sin(xln x)， 求 y . 解　先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y = cos(xln x) · (xln x) = cos(xln x) · (x · (ln x) + x  ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .

14 例 10 解　先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式， 然后又会遇到复合函数 的求导.

15 例 11　设 y = sh x， 求 y . 解 即 (sh x)  = ch x . 同理可得 (ch x)  = sh x .

16 补证一下 (x) = x -1 . 所以 (x) = (elnx) = elnx · (ln x) 

17 例 12 求证： 证明

18 代入等式左边得 所以有