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動態規劃 Dynamic Programming
第十三章 動態規劃 Dynamic Programming 作業研究 二版 2009 © 廖慶榮
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章節大綱 前言 驛馬車問題 最短路徑問題 由前往後式動態規劃 計算效率 資源分配問題 設備更新問題 連續狀態問題 機率性動態規劃
其他動態規劃應用 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.1 前言 動態規劃（dynamic programming；DP） 求解過程
13.1 前言 動態規劃（dynamic programming；DP） 隱含式列舉法（implicit enumeration method） 適用於一系列相關決策的問題 求解過程 將「原問題」分為一系列「子問題」 由最容易的子問題開始求解，直到最後求解的子問題就等於原問題為止 在求解子問題時，會用到已經解的子問題的解，因此計算會簡化許多 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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動態規劃模式 三個部分： 可加上第四個部分： 最佳值函數（optimal value function；OVF）：用以表達各子問題的函數
遞迴關係（recursive relation；RR）：將子問題以其他子問題表示的公式 邊界條件（boundary condition；BC）：根據OVF定義，不必計算即可明顯得知的值 可加上第四個部分： 答案（answer；ANS）：以OVF表示要求解答案 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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DP的求解過程 一律均由BC開始，反覆代入RR，以求解OVF所代表的各子問題，直到子問題即為ANS為止 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.2 驛馬車問題 驛馬車問題（stagecoach problem）
13.2 驛馬車問題 驛馬車問題（stagecoach problem） 淘金者要找出由城市1至城市n所有的路徑中，總保費最低的路徑（亦即，最安全的路徑） 驛馬車問題各城市間的路徑及保費： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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驛馬車問題DP模式 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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驛馬車問題DP模式的圖示 階段變數（stage variable）：i 狀態變數（state variable）：s
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範例13.1 /驛馬車問題 根據邊界條件： 根據遞迴關係： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.1 /驛馬車問題 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.1 /驛馬車問題 最低的總保費為9 由最佳策略函數p（optimal policy function）可得最佳路徑為 ( ) 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.2 /驛馬車問題的表格式計算 i =4 i =3 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.2 /驛馬車問題的表格式計算 i =2 i =1 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.3 最短路徑問題（無迴路網路） 迴路（circuit）： 有迴路的網路： 範例13.3 （無迴路網路的判斷）
13.3 最短路徑問題（無迴路網路） 迴路（circuit）： 有迴路的網路： 範例13.3 （無迴路網路的判斷） 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.3 最短路徑問題 DP模式： 圖示： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.4 /無迴路最短路徑問題 找出由節點1至節點7的最短路徑 由p 值（見下頁）可追溯而得最短路徑為1-3-4-6-7
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範例13.4 /無迴路最短路徑問題 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.4 由前往後式動態規劃 兩類DP： 由後往前式動態規劃（backward DP） N, N-1, …, 1
13.4 由前往後式動態規劃 兩類DP： 由後往前式動態規劃（backward DP） N, N-1, …, 1 由前往後式動態規劃（forward DP） 1, 2, …, N 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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Forward DP /無迴路最短路徑問題 模式： 圖示： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.5 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.5 計算效率 考慮圖中的最短路徑問題，其兩類節點 第一類：9個節點，如： 需要兩個「加」及一個「比較」 第二類：6個節點，如：
13.5 計算效率 考慮圖中的最短路徑問題，其兩類節點 第一類：9個節點，如： 需要兩個「加」及一個「比較」 第二類：6個節點，如： 需要一個「加」 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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DP和完全列舉法TE的比較 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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最佳性原則 最佳性原則（principle of optimality）
目前階段狀態下的最佳決策僅和目前的狀態相關，而和如何到達此狀態的決策過程無關 以計算的觀點而言，當計算某階段狀態的OVF時，可直接使用之前已得到的OVF 以範例13.5為例。節點5的OVF計算如下： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.6 資源分配問題 資源分配問題（resource allocation problem） 數學規劃（整數非線性規劃）模式：
13.6 資源分配問題 資源分配問題（resource allocation problem） 總共有單位的資源要分配給個活動，分配個資源給活動會產生的收益，應如何分配這些資源才能獲得最大的總收益？ 數學規劃（整數非線性規劃）模式： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.6 資源分配問題 DP模式： 圖示： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.6 /警車資源分配 決定如何將這6輛警車分配給4個不同的管轄區 各管轄區在不同警車數量時的每月犯罪案件數如下表所示：
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範例13.6 /警車資源分配 根據邊界條件，可得 根據遞迴關係，可得 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.6 /警車資源分配 … 根據p值，可得表中所示的3組最佳警車分配方式 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.7 設備更新問題 設備更新問題（equipment replacement problem）
13.7 設備更新問題 設備更新問題（equipment replacement problem） 未來N年期間是否應購買新的設備？若要購買，應於第幾年購買，才能獲致最低的總成本 相關係數如下： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.7 設備更新問題 DP模式 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.7 /設備更新問題 N=6 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.7 /設備更新問題 計算如下（簡略）： 最佳解： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.8 連續狀態問題 可用最佳化技巧（如圖解法、微積分），來決定在 RR中的最大值或最小值 範例13.8：利用DP求解以下LP 解答：
13.8 連續狀態問題 可用最佳化技巧（如圖解法、微積分），來決定在 RR中的最大值或最小值 範例13.8：利用DP求解以下LP 解答： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.8 解答(續)： 在 的可行區域內， 因此， 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.8 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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13.9 機率性動態規劃 機率性動態規劃（probabilistic DP） 投資問題 下一階段狀態無法完全由前一階段狀態與決策決定
13.9 機率性動態規劃 機率性動態規劃（probabilistic DP） 下一階段狀態無法完全由前一階段狀態與決策決定 投資問題 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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投資問題 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.9 C = $100萬；存入銀行年利率5％ 投資股票收益如下： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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範例13.9 計算（簡略）： 因此，投資100萬元，第四年後可增為293.25萬元 根據p值：第1年全部存銀行，第2-4年均全部投資
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13.10 其他動態規劃應用 貨物裝載問題（cargo-loading problem）
其他動態規劃應用 貨物裝載問題（cargo-loading problem） 每一類貨物分別要裝載多少數量（須為整數），才能使得貨物的總價值最高？ 貨物裝載問題的IP模式： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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貨物裝載問題 DP模式： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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旅行銷售員問題 旅行銷售員問題（traveling-salesman problem） DP模式
銷售員要如何安排旅行路線（每個城市拜訪一次），才能使得總距離最短？ DP模式 定義： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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旅行銷售員問題 DP模式(續)： 作業研究 二版 Ch.13 動態規劃
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