走下神坛的 抽象代数 李尚志 北京航空航天大学.

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1 走下神坛的 抽象代数 李尚志 北京航空航天大学

2 抽象代数课程教什么?考什么? 微积分,线性代数有计算,抽象代数没有? 既然叫抽象, 就是没有例子? 有证明。太难,课时不够, 删去!
还剩什么？死记硬背！ 九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔 小学程度就可以背诵和考试! 谁是山寨版 ? 2019/2/22

3 抽象代数一定要从公理开始? 公理是什么? 许多不同东西的共同点. 公理化方法: 描述性(非构造性)定义
公理化方法: 描述性(非构造性)定义 样板: 几何(欧几里德) -- 代数(抽象代数) 群,环,域的公理内容: 1. 对加、减、乘、除的封闭性 2. 解释什么是加、减、乘、除 加法：向量空间前4条公理 = 交换群的运算 乘法：结合律(群的公理) 对加法的分配律(环的公理) Prof.zhang 教学法: 通过有招学无招无招胜有招: 案例公理案例 2019/2/22

4 案例1. 三阶幻方以一变多 正方形的对称群 旋转 轴对称 共有多少个？ 按2的位置分4组.每组2个.2×4=8 2019/2/22

5 正多边形与正多面体 正三角形的对称群 三角形数谜一变多 2×3=6 S3 正方体的旋转群 3×8个顶点=24 4×6个面=24
2019/2/22

6 公理化: 群,子群,陪集分解 以正方体旋转群G为例. G按6个面1,…,6分组, 第 i 组 Gi ={g|g1=i}
公理化: 群,子群,陪集分解 以正方体旋转群G为例. G按6个面1,…,6分组, 第 i 组 Gi ={g|g1=i} g,a在同一组 g1=a1 a-1g1=1 a-1g∈ G1g∈aG1. Gi= aG1. 由a 可逆得: h1≠h 2  ah1≠ah2 |Gi |=|G1|, i=1,…,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|. 推广: G 对除法封闭总可计算a-1g “同组” 等价性=G1含1, 对求逆,乘法封闭 群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|. 2019/2/22

7 案例2. 复数的几何与矩阵模型 i2 = -1 : 左转两番朝后方 平面向量v(-1)v,后转(180o)
记viv为左转(90o).则i2 = -1. 域同构: 复数平面线性变换矩阵 i 左转变换i  a+bi a1+bi  2019/2/22

8 案例3. 平面旋转群 R 旋转a :v(cosa)v+(sina)(iv) (cosa +isina)n = cosna +isinna
(棣美弗公式) f: RR, a  eia = cosa +isina f(a+b) = f(a)f(b) : (群同态) Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZ≌R (群同构) 2019/2/22

9 案例4. 单位根群 单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根. f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n
1,w,w2,…,wn-1 , w = cos(2p/n) +isin(2p/n) n阶循环群 〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1} f:Z 〈 w 〉, k wk , f(k+r) = f(k)f(r) Ker f = nZ Zn=Z/nZ ≌ 〈 w 〉 2019/2/22

10 案例5. xn -1 的因式分解 复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)…(x-wn-1) 有理数范围: 以x15 -1为例
1,w,w2,…,w14在乘法群中的阶d|15 同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x) F1(x)=x-1. F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x)) 分圆多项式 Fd(x) 2019/2/22

11 有限域: 5最 PK 3最 1 最有用: 信息安全大显身手 2 最有味: 抽象代数味道 3 最易懂: 小学生可以懂!
1 抽象代数最后一课 2 最难 3 最不应当考 1 最有用: 信息安全大显身手 2 最有味: 抽象代数味道 3 最易懂: 小学生可以懂! 4 最先讲: 可在第一课第一分钟! 5 最应当考:首选第一题! 2019/2/22

12 案例6.三阶幻方全推导 各行和= (1+…+9)/3=15 中心=(15×4－45)/(4 － 1)=5
奇偶按角边: 第一行和=第一列和 : a1+a2+a3 ≡a1+b1+c1a2 ≡b1 边=奇: a1+a2+a3 ≡1  a2 ≡1 边=奇, 角=偶 2019/2/22

13 案例7. 奇与偶的算术 ---二元域 曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇数与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式:
案例7. 奇与偶的算术 二元域 曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇数与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式: 偶±偶=偶,偶±奇=奇,奇±奇=偶; 整×偶=偶,奇×奇=奇. 用0,1表示: 0±0=0,0±1=1,1±1=0; a×0=0,1×1=1. 二元域 Z2={0,1}.注意1+1=0,a-b=a+b. 2019/2/22

14 Z2上的2阶行列式 D=ad-bc为奇数的概率 情况1. ad=1,bc=0  a=d=1,
共6种可能,概率=6/16=3/8 D为偶数的概率=1-3/8=5/8 2019/2/22

15 Z2上可逆矩阵群 GL(2,2): GL(2,2) ≌ S3 Z2上2维空间V共3个非零向量 v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1)
任何两个线性无关 每个置换都是可逆线性变换 上述矩阵右乘分别得(1),(23),(12), (123),(13),(132). GL(2,2) ≌ S3 2019/2/22

16 Z2 上n阶行列式 数域上的线性代数定理: detA=1A可逆行线性无关 茅台换矿泉:也适合于二元域 Z2
第1行:A1≠0, 2n-1个选择 第2行:A2 ≠ lA1, 2n-2个选择 第k+1行:Ak+1 ≠ l1A1+…+lkAk, 2n-2k个选择 共有 (2n-1)(2n-22)…(2n-2n-1)个 概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)…(1-1/2) 2019/2/22

17 案例分析：“假零”性质 只考虑奇偶性:可以将偶数当作0. a±b,ab的奇偶性只与a,b奇偶性有关:
a±b =(r+偶)±(s+偶) (结合,交换） =(r± s)+ (偶±偶)= (r± s)+ 偶 ab =(r+偶)(s+偶) （分配) =rs+(r×偶+偶×s+偶×偶)=rs+偶 “假零”性质: O1.偶±偶=偶 O2.整×偶=偶 真零性质: 0±0=0,数×0=0 只考虑奇偶性:可以将偶数当作0. 2019/2/22

18 公理化：环, 理想, 商环 环 D：对加、减、乘封闭 加、减、乘的合法性条件： 加法:结合律,交换律,零,负元
减法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. 乘法:结合律,对加法的分配律 理想Q:D的子集,满足“假零”性质O1,O2 记a-b∈Q为 a≡b (mod Q),可按等式计算 商环: D/Q =同余类集合{ [a]=a+ Q}, 定义加,减,乘:[a]±[b]=[a±b], [a][b]=[ab]. 2019/2/22

19 案例8. Zn --单表密码 Zn中可逆元组成乘法群 Zn* Zn =Z/nZ={r+nZ| r=0,1,…,n-1}.
加法密码: Z26: f(x) = x+b. 仿射密码: f(x)=ax+b, a可逆. 可逆元与反函数.例: y=3x+5, 9×3=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). 可逆条件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1, au=1, u=a-1. y=ax+b  x=a-1(y-b) Zn中可逆元组成乘法群 Zn* 2019/2/22

20 |GL(n,p)|=(pn-1)…(pn-pk)…(pn-pn-1) 随机整数n阶行列式模p余r概率
案例9.p元域Zp上可逆阵 素数p: Zp* = Zp \{0}. Zp 是域. Zp 上的n阶可逆方阵个数 |GL(n,p)|=(pn-1)…(pn-pk)…(pn-pn-1) 随机整数n阶行列式模p余r概率 r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2 r≠0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA. 案例分析正规子群,同态基本定理 2019/2/22

21 案例10. 极限与微分 博士生 2010考题. 在一点a连续的全体实函数构成环C
O(Dx)(无穷小)与o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想. limxcf(x)=A f(x) ≡A (mod O(Dx)) f(x) ≡f(a)+f’(a)Dx (mod o(Dx)) 和差积商极限: f(x)≡A, g(x)≡B 加减乘除 幂的导数: (x+Dx)n≡xn+nxn-1Dx  (xn)’=nxn-1 积的导数: f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx 商的导数: 2019/2/22

22 案例11.分数化小数-- 循环节长度 数学聊斋: 商家打折: 1428元? a=1/7=0.142857…
循环节D=106a-a= =(106-1)/7. q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数. 最小的d使 10dq≡q(mod p) 当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p) D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1 混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p). 2019/2/22

23 案例分析乘法群元素的阶 例:q/7. 10k (k=1,2,…)模7余3,2,6,4,5,1，d=6.
循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857… 对k=1,2,…,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 将D前k位移到末尾,得到D的rk(=3,2,6,4,5)倍。 推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。 仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元 另例:1/17= …。1/19= 更多性质： =999， =99。 2019/2/22

24 案例12. 复数的代数模型—域扩张 2019/2/22

25 案例12. 复数的代数模型—域扩张 环同态基本定理 已经找到矩阵J满足J2+I=0。
环同态 f:R[x]R[J], f(x)f(J). Kerf = f-1(0) = (x2+1). 每个 aI+bJ[a+bx]={a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)∈R[x]} 商环 C = R[x]/ (x2+1) ={[a+bx]|a,b∈R} [0]=[x2+1]=[x]2+[1]  [x]2 = -[1]。 a+bx≠0 与x2+1互素,在C中可逆.C 是域. 记[1]=1,[x]=i, 则 i2 = -1. C={a1+bi | a,b∈R} =复数域。 直接为x2+1造根: 不需先猜J2+I=0。 在R[x]中强制规定“假零集合”Q = [0]= [x2+1]. 则 Q = (x2+1)由 x2+1 的所有倍式组成. C=R[x]/ (x2+1) 线性变换: [a+bx][x][a+bx]在基{[1],[x]}下的矩阵 满足条件 J2 = -I. 2019/2/22

26 推广. 域的代数扩张 无中生有: 为域F上多项式f(x)造根。 强制规定[f(x)]=[0]: 在F[x]中生成理想 (f(x)).
同余类环 E=F[x]/(f(x))中[f(x)]=[0], [x]是根. f(x) 在 F[x] 中不可约: E 是F的代数扩域. 设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,[E:F]=d. 造矩阵根: F上线性变换[g(x)][x][g(x)] 在基[1],[x], …, [x]d-1 下的矩阵J是f(x)的根。 f(x)可约: 不可约因子h(x)在扩域E=R[x]/(h(x))中有根,也是f(x)的根。 同构: h(x)在扩域M/F中有根w,则s:EM, g(x)g(w)为域同构. 自同构：s∈Gal(E/F) g(w)g(u), w与u为h(x)的任意两个根。 2019/2/22

27 案例13.m序列—有限域的扩张 Z2 上线性移位寄存器序列u1,u2,…,um,… 满足条件 uk+n=c1uk+n-1+…+cnuk .
m序列: 选c1,c2,…,cn达到最大周期 N=2n-1. (uk+1,…,uk+n) = (uk,…,uk+n-1)A 状态转移矩阵 A = A的最小多项式 m(x) = xn-c1xn-1-…-cn-1x-cn. (uk+1,…,uk+n)=(u1,…,un)Ak 取遍非零状态. 如果B=f(A)= a1An-1+…+an-1A+anI不可逆， 2019/2/22

28 如果B=f(A)= a1An-1+…+an-1A+anI不可逆,则有Uk+1= (uk+1,…,uk+n) ≠0使Uk+1B=0
0=Uk+1BAm=Uk+1AmB=Uk+1+mB, 对所有m. Uk+1+m包括Z2上所有的非零n维行向量. 这迫使 B = 0. 说明 Z2[A]中非零元都可逆。 Z2[x]/(m(x)) ≌Z2[A]是域, 包含元素2n个。 反过来,找2n元有限域,其乘法群的生成元的最小多项式m(x)=xn-b1xn-1-…-bn-1x-bn. 取(c1,c2,…,cn)=(b1,b2,…,bn)即得m序列。 案例分析: (1) q元有限域存在q 是素数幂pn 。 (2) 有限域的乘法群是循环群。 2019/2/22

29 更多案例 数学聊斋:指路为马之幼儿版---构造纠错码---二元域上的线性方程组 正17边形作图---Galois理论
实数域的代数扩张--- 代数基本定理 2次、3次、4次方程的求根公式 n次方程的求根公式。

30 教学录象 精品课程 高等数学教学录像 数学大观教学录像1-9(共9小时) 3. http://www.youku.com
1.  教育部  2006线性代数 2. 精品课程 高等数学教学录像 数学大观教学录像1-9(共9小时) 3.  李尚志:教育人生,线性代数, 教学成果奖申请视频材料

31 博 客 数学家的文学故事 高教社 http://math.cncourse.com/ 李尚志 北航数学与系统科学学院
博 客 高教社 李尚志 北航数学与系统科学学院 教师博客 回忆录: 比梦更美好, 名师培养了我, 数学家的文学故事 数学文学: 数学聊斋, 数学诗选

32 谢谢 ！