Stable機率分布介紹 Joshua Chen, 2009.

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1 Stable機率分布介紹 Joshua Chen, 2009

2 Stable的涵義 廣義的常態分布。 廣義的中央極限定理。 獨立隨機變數的加總的分布所趨近的分布。
白色噪音的模型，科學模型以外的“模 型”。

3 常態分布 常態分布的加總還是常態分布。 對稱鐘型曲線。 六個標準差幾乎就是不可能。 近代幾乎所有統計機率及品質管理科學的基石。

4 中央極限定理 任何一個機率分布，如果標準差存在，則n個iid的隨機變 數的加總的分布，當n趨於無限大的時候，會趨於常態分 布。

5 中央極限定理 iid的加總。給定定義域大於等於0的這個分布

6 中央極限定理 What-if。任何一個機率分布，則n個iid的隨機變 數的加總的分布會如何呢？

7 中央極限定理 iid的加總。給定定義域大於等於1的這個 分布 怎麼看都不像

8 Stable分布 所謂兩個機率變數X和Y分布是一樣形狀意思是它 們只差個location和scale：
定義：如果對任意n個iid機率變數，線性組合加總 的分布和原來分布一樣形狀，有此性質的分布叫作 Stable分布。

9 Stable分布 （Stable定理）數學上可以證明有此性質的機率變數的特徵函數一定是： 其中

10 Stable分布 一般而言，機率密度函數沒有熟悉的式子。 除了少數幾個例外 α=2（此時β的值沒影響），高斯常態分布
α=1且β=0，Cauchy分布 α=0.5且β=0，Levy分布 你可以玩玩看不同α或β的機率累積函數 α越小越fat tail β>0右偏， β<0左偏

11 Stable分布 α如何影響fat tail，β如何影響skew

12 Stable分布 以　　　　　表示Stable分布的機率變數。 　　　　　稱之為標準Stable分布，並略以　　　　　　 表示。

13 Stable分布 兩個獨立Stable機率變數的加總的參數： Stable機率變數和標準Stable機率變數的關係：
時間長度和scale的關係：

14 Stable分布 由觀察特徵函數在 的可微分程度得出：
由觀察特徵函數在　　　的可微分程度得出： 當　　　　　，標準差不存在。 當　　　，期望值不存在。 給定一個高斯常態分布，如果它的標準差是一個 由Levy機率變數選出的數字，則此分布成為 Cauchy分布。 標準常態分布和　　　　的關係：

15 Fat Tail 一個機率變數的極端值稱之為Tail。 越肥的Tail表示極端值越可能，越瘦的Tail表示極端 值越不可能。

16 Fat Tail 大腿燕瘦環肥的定義是一個正數α值： 右腿，使得 不是零的最小α值。 左腿，使得 不是零的最小α值。
右腿，使得　　　　　　　　　不是零的最小α值。 左腿，使得　　　　　　　　　不是零的最小α值。 雙腿，右腿的α值和左腿的α值的較小值。 α值越小越肥。

17 一般中央極限定理 任何一個機率分布，設其雙腿的肥胖程度值為α，且 定義下列數字： 則依據α值的大小有下列幾種情形：

18 一般中央極限定理 當　　　，傳統中央極限定理：

19 一般中央極限定理 當　　　　，標準差不存在，

20 一般中央極限定理 當　　　　，期望值也不存在， 因為　　　　，樣本平均的分布無法收斂到一個數值上（大數法則）。

21 機率分布的分類 由上述一般中央極限定理，我們可以把所有的機率分布 做個分類。 那些iid加總會收斂到 的分布，稱為α/β類。
此機率變數的基本性質和對應的Stable分布一樣。 有無期望值 有無大數法則，樣本平均機率變數越平均越不平均。 有無標準差 肥胖程度 skew程度

22 伊甸園實驗 想像自己是上帝，建立了一個伊甸園，裡面某個 隨機過程遵循 的分布。
想像自己是上帝，建立了一個伊甸園，裡面某個 隨機過程遵循　　　　　　的分布。 亞當只學過傳統常態分布，所以他用學校教的方 法去估平均值和標準差。 亞當會看到什麼現象？

23 伊甸園實驗 　　　　　 　的情形，三萬個樣本：

24 伊甸園實驗 　　　　　 　的情形，三萬個樣本：

25 White Noise 但是，哪有這麼好的事！ 當模型一個現象的時候，最好沒有不確定性。例如明天的匯率，完全由現在已經知道值的諸多變數決定：
這個 f 通常也不是一下就找到，而是在做完一個one-to-one的變換（以g代表）之後，找到了一個確定的模式： 在此稱這個 g 和 f 為科學模型。 但是，哪有這麼好的事！

26 White Noise 所以預測的和到時候真的的匯率，期間的差別得引進一個誤差項：
誤差項就是目前科學模型無法解釋的事（未來科學進步後會找到更好的科學模型）。 因此....

27 White Noise 該如何描述這個誤差項呢？ 它一定和現在的時刻無關，因為如果有關的話，那早該就先被整理進去原本的科學模型裡面了。
隨著時間的前進，累積的誤差項的值的分布形狀應該是一樣的，因為如果形狀會變的話，例如，越久越右偏，那這個訊息早該就先被整理進去原本的科學模型裡面了。 每個期間的誤差項沒有理由不是獨立，例如，如果 　　　和　　是同樣的值，那這個訊息早該就先被整理進去原本的科學模型裡面了。 任意加權不同時間的誤差累加起來的誤差的形狀還是一樣．

28 White Noise 由Stable定理， 和 要一樣的形狀，所以這個誤差項必須是Stable分布。
Stable分布是white noise的唯一模型。

29 Stable分布例子 蒼蠅找西瓜的路徑 蒼蠅在一個房間裡面找西瓜的飛行路徑
被證明是，完全不知道目標在哪，搜尋除了花時間外沒有任何成本（例如體力衰竭），沒有任何一種（抽象的）居高臨下獲取額外資訊幫助搜尋的可能性的情況下，縮短搜尋時間最好的演算法。 千百萬年的演化，如果燒在蒼蠅的腦子裡的演算法不夠好的話，蒼蠅大概早絕種了。

30 Stable分布例子 花粉布朗運動

31 Stable分布例子 因為常態分布是Stable分布的特例，所以用Stable去fit誤差項資料一定比用常態分布去fit來得準。
1437.TT的每日報酬，fit結果為： 常態分布 Stable分布

32 應用時機 不是所有的分布都有期望值或標準差。
因為樣本數一定有限個，所以樣本平均值 和樣本標準差一定有限，但這不是拒絕使 用沒有期望值或標準差的機率分布來模型 的理由。 當研究任何隨機事件有下列這些現象的時 候，上帝已經在暗示你用錯了模型。

33 應用時機 當樣本平均值像得了燥癒症，n再大就是不 會收斂的時候，這個隨機變數是屬於　　　 的α/β類的分布。

34 應用時機 當樣本的標準差，好像收斂了，但一陣子 後又突然因為實現了一個fat tail裡面的樣 本，跳到更高的一個level，這個隨機變數 是屬於　　　　的α/β類的分布。

35 應用時機 當套用傳統常態分配做模型的時候，在實 際應用上被逼得好像要讓標準差也是一個 機率變數才夠用。

36 應用時機 當fat tail惱人，心裡經常覺得運氣背的時 間比常態模型預期背的時間多。
LTCM短短幾年就號稱遇到一個100個標準 差的事件。

37 應用時機 當被研究的問題本質上是一種搜尋過程， 像是 蒼蠅找西瓜 市場尋找買賣平衡點

38 c’est fini