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數學評量 國立臺南大學數學教育系 謝 堅
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為什麼學校考試的試題，絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目？
為什麼老師們不喜歡出沒有見過(或不常見到)的題目? 沒有見過的題目，漂亮的題目， 是怎麼冒出來的？
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那些是學童無法得分的題目? 困難，但是算過的題目。 簡單，但是沒有看過的題目。 簡單，但是文字描述很長的題目。 為什麼學童害怕這些簡單的題目?
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如果要您命一份紙筆測驗，您會注意那些事項?
您如何命一份紙筆測驗?
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方式甲： 參考課本、 習作、參考書的例題及習題，或參考書局的題庫光碟、 考古題等題目，再透過改數字，改情境， 轉化題型（填充題 改成選擇題）等方式命題。
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方式乙： 不參考任何試題(或者只是純參考， 但是不使用)，依據考試範圍的教學目標、重要的數學概念、上課時學童容易混淆的教材等，在日常生活中尋找相關的情境轉化成題目，或將基本概念轉化成題目。
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為什麼以前高中（大學）聯考數學科考題，部份大學數學系老師在規定的時間內無法答完所有的考題？
為什麼現在升高中(大學)的基本學力測驗數學科的考題，所有大學數學系的老師都能在規定的時間內答完所有的考題，而且多數問題不必計算就能夠直接看出答案?
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基本學力測驗的命題方式，和以前聯考的命題方式，有那些改變?
為了讓學童在學測時能得到高分，教師們如何因應？
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課本給一些例子，幫助學童抽象 數學概念。 課本給一些例題，幫助學童澄清 數學概念。 課本給一些習題，檢查學童是否 掌握該數學概念。
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參考書給一些例題，延伸課本的 數學概念。 參考書給一些習題，檢查學童是 否掌握延伸的數學概念。 您心中的難題是怎麼出現的？
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以前聯考數學試題： 常以課本或參考書的例題或習題 為出發點命題。 現在基本學測數學科的試題： 直接由數學概念或生活情境為出發點命題。 只要題目和參考書的題目雷同，一定不會變成學測的試題。
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經常算習作或參考書的學生： 不算參考書的大學數學老師： 以參考書例題或習題為出發點命題：
很容易抓到命題的脈動，不必回溯至原始的數學概念，就可以成功解題。 不算參考書的大學數學老師： 必須由原始的概念出發，思考如何解題，因此必須花較多的思考時間，才能夠解題成功。
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數學概念清楚的數學老師： 數學概念不清楚的學童們： 以基本概念或生活情境命題：
很容易掌握試題的重點，可以快速算出答案。相當大比例的題目，不必動手計算就可以得到答案。 數學概念不清楚的學童們： 面對不熟悉，沒有算過的試題，不知道如何解題。
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命題方式改變後，如何因應數學基本學力測驗？
學童讀書的方式是否要改變? 教師教學的方式是否要改變? 學校命題的方式是否要改變？
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算很多題目，對考試是否有幫助？ 小範圍的考試 (例如月考) vs 大範圍的考試(例如基本學測)
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算很多題目，對考試是否有幫助？ 由日常生活或概念出發的考題 vs 由課本或參考書轉化的考題
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算很多題目，對考試是否有幫助？ 全國統一的教科書 vs 一綱多本的教科書
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如何命一個沒有見過的新題目？ 由數學概念開始思考： 由日常生活情境開始尋找：
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由數學概念開始思考： 嘗試創造與生活情境無關，但是可以澄清或延伸數學概念的考題。 嘗試尋找生活情境中有那些現象或問題，可以澄清數學概念。
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47×147＋（247＋□）×47＝23500， □＝（ ）？ 考什麼概念？ 如果太難，如何修改試題？
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已知： 『518.49×73.206＝ 』。 甲＝508.49×73.206、 乙＝518.49×63.206， 請問：甲－乙＝？ 考什麼概念？ 如果太難，如何修改試題？
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518.49×73.206＝ 508.49×73.206 ＝(518.49－10) ×73.206 ＝ －732.06 518.49×63.206 ＝518.49×(73.206－10) ＝ －5184.9
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15顆紅球和12顆藍球合起來重60公斤（每顆紅球都一樣重，每顆藍球都一樣重），請問40顆紅球和32顆藍球合起來重多少公斤？
考什麼概念？ 如果太難，如何修改試題？
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累積： 15顆紅球、12顆藍球60公斤 30顆紅球、24顆藍球120公斤 45顆紅球、36顆藍球180公斤
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分割： 15顆紅球、12顆藍球60公斤 5顆紅球、4顆藍球20公斤 5/7顆紅球、4/7顆藍球60/7公斤
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先累積再分割： 15顆紅球、12顆藍球60公斤 5顆紅球、4顆藍球20公斤 40顆紅球、32顆藍球160公斤
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甲＝乙＝丙 甲：乙：丙＝1：2：3 甲：乙：丙＝3：2：1 甲：乙：丙＝3：6：1 甲＝1/3－0.3333333333，
乙＝2/3－ ， 丙＝1－ 請問下列敘述何者成立？ 甲＝乙＝丙 甲：乙：丙＝1：2：3 甲：乙：丙＝3：2：1 甲：乙：丙＝3：6：1
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甲：乙＝乙：丙＝丙：丁＝丁：戊＝戊：己＝己：庚＝庚：辛＝辛：任＝任：葵＝10：1。
「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」的「平均數」大約是「甲」的多少倍？（請選一個最接近的答案） 100倍 10倍 0.1倍 0.01倍
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面對問題「一瓶水4/5公升，3/11 瓶水有多少公升？」時，我們可 以透過「分子乘以分子，分母乘 以分母」的方式算出答案。 請問下列說法何者正確？
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分母乘以分母，是將1瓶水平分 分母乘以分母，是將1公升平分 分子乘以分子，是算有12個1/55 分子乘以分子，是算有12個1/55
成55等份的意思。 分母乘以分母，是將1公升平分 分子乘以分子，是算有12個1/55 瓶水的意思。 分子乘以分子，是算有12個1/55 公升的水的意思。
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a＋c a＋b×9000＋c a＋b×2000＋c a＋b×18000＋c 假設：9000×9000＝a，
請問「9018×9017」＝？ a＋c a＋b×9000＋c a＋b×2000＋c a＋b×18000＋c
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9018×9017＝？ (9000＋18)×(9000＋17)＝？ 9018 × 9017
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甲÷37＝46857……17。 甲÷37＝( ) (使用四捨五入法，商數算到小數第二位)。
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5％是5：100的比值； 5ppm是5： 的比值， 5ppb是5： 的比值。 如果100公克的水中，甲物質佔了5ppm，乙物質佔了200ppb，請問甲物質的重量是乙物質重量的幾倍？
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「 ×3.625×25＝？」。 那些算式能算出正確的答案： ×300÷4＋ ÷8×125 ＋564÷8×125＋564×3×75 ×75＋ ÷8×75 ×2900÷32
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347×5＝3470÷2 347×25＝34700÷4 347×125＝347000÷8 1/8＝0.125 ；3/8＝0.375 5/8＝0.375 ；7/8＝0.875
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×3.625×25 ＝ ×(3＋0.625)×25 ＝ ×3×25＋ ×0.625×25 ＝ ×300÷4＋ ×5÷8×25
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由日常生活情境開始尋找： 嘗試在日常生活中尋找有趣或有規律的現象，判斷這些現象可以評量那些數學概念，並將這些現象轉換成考題。
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某特製腳踏車前輪半徑是20公分，在腳踏車前輪上（半徑外緣）加裝一個燈泡，讓腳踏車往前行走時燈泡會發光，請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。
也可以改成選擇題。 此題是日常生活中存在的情境。
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一個邊長是10公分的正方體黏土，將這個正方體黏土揉成一個球， 請問下列敘述何者正確？
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球的直徑比10公分長，球的體積 球的直徑比10公分長，但是球的 球的直徑比10公分短，球的體積 球的直徑比10公分短，但是球的
是1000立方公分。 球的直徑比10公分長，但是球的 體積不是1000立方公分。 球的直徑比10公分短，球的體積 球的直徑比10公分短，但是球的
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知道球體積公式是先備知識嗎？ 可以評量高年級學童嗎?
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有一棵神木，二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈，請問神木的直徑大約是幾公分？
100公分 500公分。 1000公分 2000公分。
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兩個長方形（任兩邊都不重疊）最多有a個交點，兩個圓（不同圓心）最多有b個交點，a＋b＝？
6 8 10 12
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丁一定在甲的北方 丁一定在乙的東南方 丁一定在丙的東方 條件不足，無法確定丁的位置
甲、乙、丙、丁四個人站在正方形的四個頂點。甲說：「乙在我的東北方」，丙說：「乙在我的北方」。請問下列敘述何者正確？ 丁一定在甲的北方 丁一定在乙的東南方 丁一定在丙的東方 條件不足，無法確定丁的位置
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丁 乙 甲 丙
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乙 甲 丁 丙
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鐵鍊7公尺長重3公斤，甲、乙、丙三家商店都有賣這種鐵鍊。
甲商店３台尺賣100元，乙商店12英吋賣50元，丙店1公斤賣200元。 請問那一間商店賣的最便宜？ 1台尺＝30公分，1英吋=2.54公分
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上體育課或休閒時，你在籃球場打過籃球嗎？估算看看，籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍？
也可以考教室的面積或書桌的面積是這張考卷的多少倍（學童可以同時看到教室與考卷)。
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國小階段：雞兔同籠問題、水流問題、追趕問題、植樹問題等。
這些問題是否為國小教學重點？ 這些問題是否為國小評量重點？
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雞兔同籠問題適合評量的對象： 國小中年級 國小高年級 國中一年級 國中二年級
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嘗試錯誤法 vs 學童法 vs 算則 嘗試錯誤法：面對新問題時最有效率的解題策略 算則：某個時代，多數人解決問題時所使用最有效率的解題策略 學童法：學童自己發展出來，不是最有效率的解題策略
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雞兔同籠問題的算則： 嘗試錯誤 假設都是雞(或兔)策略 一元一次方程式策略 二元一次方程式策略 只有算則才需要精熟
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基本學力的界定： 基本： 就層次而言，指的是基礎、核心、重要的，而非高深、外圍或細微末節的。 就範圍而言， 指的是完整、周延的，而非偏狹或殘缺的。
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學力： 指學習者經由一段時間的系統化教育所獲得的能力，而非學習者天生或自然成長而來的能力。 指學習者學後的成就，及其展現為學、待人、處事之個種能力。
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成就測驗： 檢驗學生學習的成果。 性向測驗： 檢驗學生未來的學習能力（預測學生未來的表現） 。 基本學測是一種成就測驗。
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基本學力測驗數學科試題： 以認知能力層次為橫軸 以國民中學數學學習內容為縱軸 形成雙向細目分析表，作為數學 科試題編製的依據。
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雙向細目表: 雙向細目表是測驗編製的藍圖和 命題的依據，它是以認知能力和 學習內容為兩個軸，分別說明各 項評量目標。
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建立雙向細目表可以幫助命題者釐清認知能力和學習內容的關係，以確保測驗能反映教材的內容，並能夠真正評量到預期之學習結果。
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應該在命題之前做好雙向細目分析表，不要在命題之後再創造雙向細目分析表，不要為有一個好看的雙向細目表而分類。
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基本學力測驗將學習內容分為四類(與能力指標的分類一致)：
數與量 幾何 機率與統計 代數
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布魯姆等將教育目標分類：認知領域、情意領域、動作技能領域。
認知領域：知識、理解、應用、分析、綜合、評鑑六個由簡單到複雜的層次，每一個層次的目標包含較低層次的目標。
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在國中、小階段，分析、綜合、評鑑三層次不易細分及命題，一般將它們合稱為批判性思考。
以前將認知能力區分為： 知識、理解、應用、批判性思考
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2001年修訂版： 認知歷程向度： 記憶、了解、應用、分析、評鑑、創造 知識向度： 事實知識、概念知識、程序知識、後設認知知識
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基本學力測驗數學科試題將學生的認知能力分成概念理解、程序執行、問題解決三大類。
一般大型測驗數學科試題也將學生的認知能力分成這三大類。
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概念理解： 能辨識、指認和舉出實例或反例。 能使用糢型、圖表及各種概念的表 徵，並了解相互的關連。 能指認並應用有關原理。
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能比較、對照並統整相關概念與原 理來延伸概念與原理的性質。 能指認、說明及應用抽象化符 在數學情境中，能解釋有關數
能知道事實與定義以說明概念 能比較、對照並統整相關概念與原 理來延伸概念與原理的性質。 能指認、說明及應用抽象化符 號或術語來表示概念。 在數學情境中，能解釋有關數 學概念的假設與關係。
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程序知識： 能判別或判斷具體糢型或符號運用 方法過程的正確性或適切性。 能正確計算。 能運用不同的數學邏輯以有效 的解 決數學問題。
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能讀、能設計圖表以表現過程。 能執行幾何構圖。 能操作非計算題的技能，如：四捨 五入、排序等。
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解題與思考： 推理與分析的能力。 能認清問題並能用數學式表示。 能判辯資料的充份性和均質性。 能使用策略、數據、糢型。
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能產生、訂正、充實過程。 能判斷問題答案或方法的正確性。 能空間推理、歸納推理、演繹 推理、統計推理、比例推理。
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