第3章 正弦交流电路 3.1 正弦电压和电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.4 复阻抗 3.5 导纳

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1 第3章 正弦交流电路 3.1 正弦电压和电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.4 复阻抗 3.5 导纳
3.1 正弦电压和电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.4 复阻抗 3.5 导纳 3.6 正弦交流电路的分析及计算方法 3.7 正弦交流电路的功率 3.8 谐振 3.9 非正弦周期信号的电路

2 第3章. 正弦交流电路分析 3.1 正弦电压和电流( Sinusoidal Voltage and current)
第3章. 正弦交流电路分析 3.1 正弦电压和电流( Sinusoidal Voltage and current) 随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流。统属于正弦波。 1.瞬时值表达式及参考方向 其瞬时值表达式为： （也可用Cosωt） u(t)=VmSin(ωt) (v) 式中 ω=2πf

3 2.正弦量三要素： (1)最大值（振幅）Um Im; (2)周期T （秒） ; 频率 （HZ） 角频率 （rad/s） (3)相位和初相 例： u(t)=100 Sin(ωt+30o) (v) ωt+30o=0时 ωt=-30o

4 3.相位差 (即两个同频率正弦波的初相之差) 例： u1(t)=Vm1Sin(ωt+φ1) u2(t)=Vm2Sin(ωt+φ2) 相位差 θ=ωt+φ1-ωt-φ2=φ1-φ2 若：θ>0 u1超前u2 θ<0 u2超前u1 规定 0<θ<π 范围内

5 4.有效值: 以周期电压u为例，它的有效值（用V表示）定义为
T—周期 当u(t)=VmSinωt时 应用Cos2а=2Cos2а-1得： 当一个周期电流i（t）通过电阻R时，在一个周期内产生的热量为：

6 若一个量值为I的直流电流也通过同一个电阻R，它在的时间T内
所产生的热量为： Q1=Q2 即： 注：只有正弦量时，才有 倍的关系

7 3.2 正弦量的相量表示法 3.2.1相量法的基本概念 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的。故我们先对复 数进行讨论。
1.表示法: 1)直角坐标形式 复数A可表示为 A=a1+ja2; 其中： 虚数的单位 a1 称为复数的实部 （Real part） a2 称为复数的虚部 （Imaginary part）

8 2)图示法： 由此得到复数的三角函数形式: A=aCosθ+jaSinθ=a(Cosθ+jSinθ) 例：A=5·Cos36.9o+j5Sin36.9o=4+j3

9 ; 3) 极坐标表示法 即用模和幅角来表示复数 2.直角←→极坐标 （互换）
已知：a,θ→a1,a2 ; a1=aCosθ a2=aSinθ 已知：a1,a2→a,θ ; 例：1) A=4+j3

10 3.2.2 复数的基本运算 ； 若： a=b а=β 则： A=B

11 2.乘除运算 A·B=(a1+ja2)(b1+jb2) =(a1b1-a2b2)+j(a2b1+a1b2) 显见相加减时，用直角坐标法；乘法、除法时，用极坐标法。

12 3.2.3 相量概念 看一下两正弦量相加。 i1(t)=Im1Sin(ωt+φ1) i2(t)=Im2Sin(ωt+φ2) i(t)=i1(t)+i2(t) 利用三角公式和差化积 ej（ωt+φ)=Cos(ωt+φ)+jSin(ωt+φ) ∵ i1(t)=Im1Sin(ωt+ф)=Im[Im1ej(ωt+φ)]

13 上式表明，通过数学方法，把一个实数范围内的正弦时间与一个
复数函数的复指数函数一一对应起来。 有效值： 而： 例：已知

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16 把一个三角运算转换了变成复数运算。 3.2.4 几个定理 1、若A(t)和B(t)为实变量t的任意复值函数，а为实数那么， 对所有的这种函数A(t)和B(t)则有：

17 Re[aA(t)]=аRe[A(t)]; Im[аA(t)]=аIm[A(t)]
总结：Im[а1A(t)+а2B(t)]=а1Im[A(t)+а2Im[B(t)] 定理2: 若A为—复数，则有： 即：取虚部运算和微分运算可以交换。 定理3：设A、B为复数。ω为角频率，则对所有的t 若等式：Im[Aejωt]=Im[Bejωt] 则：A=B; 反之，若A=B 则：Im[Aejωt]=Im[Bejωt]对所有的t。

18 3.2.5 KCL、KVL的相量形式 设： 由定理1可知： 故有：

19 同理于KVL： 3.3 RLC元件VAR的相量形式 电阻元件

20 式中： ; u=i·R 则有：UmSin(ωt+φu)=Im·Rsin(ωt+φi) 由等式可知，振幅：Um=R·Im； φu=φi （相位） 相量位关系：

21 电容元件 相量关系：

22 这就是电容元件的相量关系： I=ωCU 有效值：（模） 相位差： 说明：电容上电流和电压的相位差为90o，且电流超前90o。

23 例：若C=4μF ；u(t)=500Sin(1000t+40o) (v) i(t)=?
由： ∴ i(t)=2Sin(1000t+130o) (A) 由 可知 ； f↑ Xc↓ f↓ Xc↑ f=0 Xc→∞ 相当于直流电通过。

24 3.3.3 电感元件

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26 例1：已知：R=4Ω，L=1H，i(t)=2Sin(3t-30o)(A) 求：us(t)
∴ us(t)=10Sin(3t+6.9o) (V)

27 例2： 解： R： C： L： 由KVL：

28 3.4 复阻抗 ； 上节我们讨论了三种基本元件VAR的相量形式及基尔霍夫定律的 相量形式：（在一致参考方向下）
3.4 复阻抗 上节我们讨论了三种基本元件VAR的相量形式及基尔霍夫定律的 相量形式：（在一致参考方向下） ； R： ； U=RI，φu=φi L： ； U=XcI，φu=φi+90o C： ； U=IXc，φi=φu+90o RLC串联电路的阻抗

29 X=XL-XC 称为电路的电抗部分。显见Z=R+jx是个复数。

30 即： R：ZR=R ; L: C: 对于RLC串联： Z=ZR+ZL+ZC=R+jxL-jxc=R+jX

31 （1）0<θz<90o 即：XL>Xc时 （UL>Uc）

32 （3）0>θz≥-90o XL-Xc<0
由以上分析可知，θz的变化也就是阻抗Z的变换。反映了 电路本身的特性。

33 当X>0时，电路的最简形式为RL串联。
当X<0时，电路的最简形式为RC串联。

34 3.5 导纳 ; 把阻抗的倒数称为导纳，记为Y（S） G—电导分量 B—电纳分量 感纳 R: ; L: C: ; 容纳
3.5 导纳 把阻抗的倒数称为导纳，记为Y（S） G—电导分量 B—电纳分量 感纳 R: ; ; L: C: ; 容纳 与阻抗有对偶性：串←→并；I→U，U→I；C→L，L→C；R→G 掌握这种规律后，分析方法与阻抗一样。

35 3.6 正弦交流电路的分析及计算方法 3.6.1相量模型 C→Zc （1/jωc） ; L→ZL （jωL） ; R→ZR （R）
参考方向不变。

36 3.6.2 分析方法及步骤 (与第二章完全一致) 1、作出相量模型。 2、由相量模型进行计算。 3、根据求得的相量模型写出相应的正弦量。 4、画出对应的相量图。

37 1) 无源网络的等效电路

38 显见: 这里注意： ; ∵ A=a+jb (一个复数) 除非b=0; 否则： （这一点要注意）
例 1）求f1=796HZ，f2=1.5f1，f3=2f1，时的等效电路。 解：∵ ω=2лf ∴ ω1=6.28×796=5000rad/s

39 2)、f2=1.5f1时 ω2=7500rad/s 3)、f3=2f1时 ω3=104rad/s

40 例2、用网孔分析法求解i1(t),i2(t) 解：先作出相量模型 ω=2 jωL=j2Ω ; ; 根据相量模型列出网孔方程：

41 解得： ; 故有： ; 例3 用节点法求各支路稳态电流，并作出相量图 解：利用导纳相量模型ω=1 ； 列出节点方程：

42 故

43 例4 求代维南等效电路 解：先画出相量模型 1）求 用节点法

44 故由行列式： 2）求Zab 用短路电流法：

45 故： 等效电路：

46 例5：已知： ，且u2在相位上超前u160o 求R及u2(t) 解：先作出相量模型。 设 为参考相量。即 依次画出 。 与 同相， 由相量图可知： （模之间的关系）

47 u2超前u160o 再求R，在直角Δ中：

48 例6、已知I=1A XC=16Ω 无论K打开或闭合，电压U始终为10V
电流 ；求R，XL K闭合时： 其有效值分别为：

49 故有：R2+XL2=R2+（XL-XC）2 ; XL2=XL2-2XCXL+XC2 2XLXC=XC2
K闭合时： 故有：R2+XL2=R2+（XL-XC）2 ; XL2=XL2-2XCXL+XC2 2XLXC=XC2 由： 故R=6（Ω） 方法2、用相量图分析 （∵U不变，故有相量图）

50 3.7 正弦交流电路的功率 感兴趣的并不是他们的瞬时值，而是它们的平均值——电路中 消耗功率的平均值，以及贮存能量的平均值。
3.7 正弦交流电路的功率 正弦稳态时的功率和能量都是随时间变化的，但通常我们 感兴趣的并不是他们的瞬时值，而是它们的平均值——电路中 消耗功率的平均值，以及贮存能量的平均值。 瞬时功率P（t） 在时间 to~t1 内 能量：

51 在一致参考方向下，p(t)>0表示该网络吸收功率。
3.7.1 电阻元件 a.瞬时功率 p(t)=u(t)·i(t)=UmSin(ωt+φu)·ImSin(ωt+φi) =2UI[Sin2(ωt+φu)] =UI[1-Cos2(ωt+φu)] (φu=φi)

52 b. 平均功率 （有功功率） 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率

53 3.7.2 电感元件 1.瞬时功率： P(t)=u(t)·i(t)=UISin2(ωt+φu)

54 2.平均功率 （有功功率） 4.无功功率 定义：瞬时功率的振幅定义为无功功率。Q（Q表示贮能元件与电源 能量交换的规模） (乏)Var 上式表明，电感所吸收的无功功率等于磁场贮能平均值的2ω倍。

55 3.7.3 电容元件 1.瞬时功率: P(t)=-UISin2(ωt+φu) 波形与电感相同。 2.平均功率: 3. 平均贮能:

56 4. 无功功率: 二端网络的功率问题

57 1.瞬时功率 p(t)=u·I=UmImCos(ωt+φu)·Cos(ωt+φi) 利用: 可知：p(t)=UI[Cos(φu-φi)+Cos(2ωt+φu+φi)] 由电路波形可知，P（t）有时为正，有时为负。 在一个周期内，p（t）>0部分大于p（t）<0部分，故平均看N是吸 收功率的。

58 2.平均功率 QZ为阻抗角 故：P=VICosθZ 当二端网络为R时：CosθZ= θZ= P=UI 当二端网络为L时：CosθZ= θZ=90o P=0 当二端网络为C时：CosθZ= θZ=-90o P=0 平均功率还可以用阻抗来计算 U=ZI （模之间关系）

59 3. 无功功率 由瞬时功率： p(t)=UICos(φu-φi)+UICos(2ωt+φu+φi); 第1项可写成 P=UICosθZ 第2项可写成 UICos(2ωt+2φi+θZ) 由：Cos(а+β)=CosаCosβ-SinаSinβ 可得：UICos(2ωt+2φi)CosθZ-UISin(2ωt+2φi)SinθZ

60 ∴ P(t)=UICosθZ[1+Cos(2ωt+2φi)]-UISinθZSin(2ωt+2φi)

61 其最大值定义为无功功率Q。 Q=UISinθZ (Var)
单个元件来说 R时 θZ= Q=0 L、C时 QL=IU Qc=-UI 与平均功率一样：Q=I2Im[Z] 4. 视在功率 各种电器设备的容量是由它们的额定（能提供的最大功率）电流和电压（均为有效值）的乘积决定的。为此引入视在功率的概念，用S表示。

62 5、功率因数 θZ—功率因数角; 一般情况下 Cosθz≤1 以发电机为例。设计按额定电压、电流设计的，不能超过此数值。在使用时，要看负载的pf多大，才能决定发电机提供多大的平均功率。 例：有一台S=104KVA的发电机，当负载pf=1时； 输出功率 P=S=104kw 。 Pf=0.6时； 输出功率P=6000kw

63 6. 复功率 视在功率S, 无功功率Q, 有功功率P及CosθZ, 可用一个复数来表示。称为复数功率. ;

64 功率因数的提高 1. 电源设备的容量得不到充分利用 这一点是显见的 ; 越小，利用 率就越低。 S=1000KVA P=900kw

65 2.增加了供电线路的电压，功率损耗 当P一定时： 这时越小，I越大。线路压降增大。用户端电压下降，影响供电质量。同理线间所耗功率增大。所以说提高功率因素可以节约能源并提高供电质量。如何提高功率因数。在感性负载中加容性阻载，使之交换在动态元件之间进行。

66 并联电容之后 注意：未并C之前 ; 并电容之后 变小，线路损耗少了，但有功分量不变。

67 最大功率传递定理 在直流电路中，我们曾讨论过 在交流电路中也有关类似的结论：

68 有效值： 负载吸收的功率： 而当电路的电抗 XL+Xs=0时, 即XL=-Xs时：负载吸收功率为最大，其值为： 再令：

69 从而得到（Rs+RL）2-2(Rs+RL)RL=0 ; 即：RL=Rs
故，此时。负载获得最大功率的条件是： XL=-Xs Rs=RL 即： 由此得到结论：当负载阻抗与信号源内阻成一对共轭复数时，负 载吸收的功率为最大。这就是通常所说的负载与信号源匹配的状 态。——共轭匹配。这时：

70 3.8 谐振（Resonant ） 定义：在RLC组成的电路中，只要X=0（串联），B=0（并联）电路呈现电阻性的现象叫做谐振。 （即电路中Z的虚部为0） 3.8.1 RLC串联电路的谐振 (Resonant of RLC series circuit) 1.串联谐振条件

71 式中：X，XL，XC均随ω变化。 当ω=ωo时 XL=Xc X=0 即： 电路此时的工作状态称为谐振，由于发生在串联电路中，故称为串联谐振。 ωo——谐振角频率 实际也反映了电路本身一种固有性质。

72 2.谐振特点： 谐振时，电抗X(ωo)=0 ; Z=R+jx=R
1) 即谐振时：Zmin=R θZ=0 虽然X=0，但 2) 称为串联谐振电路的特性阻抗，单位为Ω， 与ωo无关完全由电 路参数决定的。 用Q表示它们的比值： Q称为谐振回路的品质因素。工程上简称Q值。

73 3) 谐振时，电路中电流为最大。（有效值） 总电压与总电流同相，有效值为最大 I=U/R。 谐振时各元件的电压相量分别为： ;

74 4) 看一下阻抗的变化规律 那么阻抗角θz是怎么变化的。由容性→感性

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76 3.8.2 并联谐振 (RLC Parallel resonance）
如果ω、L、C满足一定的条件，使并联电路的BC容纳和感纳BL 相等，即BL=BC。总电压与总电流将同相。这种情况称为R、L、C并 联电路的谐振——并联谐振。 即：

77 产生并联谐振的条件和产生串联谐振的条件是相同的。在并联谐振
中，电路的阻抗最大，导纳最小。 Ymin=G → 电流 故电流最小，而支路电流大于总电流Q倍。 Ic=QI IL=-QI (完全用对偶关系)

78 由此可知，这种电路在谐振的情况下相当于一个高阻，利用这一
特点可以达到选频的目的。 例： 超外差收音机的中频放大器，利用电路的谐振现象，保证其 工作频率为465KC的。

79 3. 9 非正弦周期信号的电路 分析思路: 把非正弦的周期信号利用付里叶级数展开,把信号分 解成多个(一系列)频率成倍数的正弦分量,求得每一个谐振分量 单独作用时的稳态响应,再根据迭加定理求得总响应. 3.9.1不同的频率正弦激励下电路的稳态响应 思路：让各个电源单独作用，根据迭加定理，求得总结果。 注意：此时由于不同频率的正弦波之和不是正弦波。故不能称为正 弦稳态响应。

80 例：求电路的稳态响应 u(t) 已知： 分别求解：当us(t)单独作用时，相量图为 （Sinωt） ω=1

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83 波形的对称性与伏里叶系数的关系 (Waveform system and Fourier coefficient relation) 表达式： 式中： 1) 纵轴对称 （偶函数） f(t)=f(-t) ; Bk=0

84 2) 原点对称 （奇函数） f(-t)=-f(t);这时：Ao=0
3)镜象对称此时：Ao=0 ; A2n=0 ; B2n=0; 只有奇次谐振 （偶次波为0） （n=1.2……）

85 几种常用波形的付氏级数表达式 1)偶函数 2)奇函数

86 3)镜象对称 （半波对称）

87 例： 已知：f=2000HZ , R=20kΩ, C=0.47μF,求uR(t)到三次谐波. 解：将u(t)展开为付氏级数 u(t)= Sinωt+21.2Sin3ωt (v) 分别求解： 1)Uo=50(v) 单独作用时 uR(t)=0 Xc→∞

88 2)u1(t)=63.7Sinωt(v) 单独作用 3)

89 付里叶级数，便可由迭加定理得到电路的稳定响应。
由以上分析可知。不论电路的激励形式是什么，只要找出它的 付里叶级数，便可由迭加定理得到电路的稳定响应。