高等数学 西华大学应用数学系朱雯.

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1 高等数学 西华大学应用数学系朱雯

2 第四章 不定积分 微分法: 互逆运算 积分法:

3 第一节 不定积分的概念与性质 学习重点 不定积分的概念 不定积分的性质 小结 思考题

4

5 一、原函数与不定积分的概念 定义 若在 I 上恒有 F(x)=f(x)（即 dF(x)=f(x)dx），称 F(x) 为 f(x) 在 I 上的一个原函数。 例

6 考虑原函数的表达式：

7 f(x) 在 I 上的不定积分也可看成是 f(x) 在 I 上的原函数全体。
不定积分的定义： 积分号 被积函数 被积表达式 任意常数 积分变量 f(x) 在 I 上的不定积分也可看成是 f(x) 在 I 上的原函数全体。

8 不定积分（或原函数）的存在性与唯一性： 1、存在性： 2、唯一性： （1）不是每个函数在定义区间上都有原函数；
（2）在 I 上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）， 2、唯一性：

9 例1 解

10 例2 设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为

11 求不定积分得到一个积分曲线族 y=F(x)+C.

12 微分运算与求不定积分的运算是互逆的: = = 由此可知： +C, +C. 例3

13 二、 基本积分表 积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。
将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。

14 是常数); 基本积分表 

15 基本积分表 

16 求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简——将所求积分化为基本积分表中的积分。
例4 求 解 根据幂函数的积分公式 （恒等变形法）

17 三、 不定积分的（线性）性质 例5

18 例7 例8

19 例9 例10

20 例11 例12

21 解 所求曲线方程为

22 四、小结 1. 原函数的概念： ； 2. 不定积分的概念： ； 3. 基本积分表； 4. 求微分与求积分的互逆关系；
1. 原函数的概念： ； 2. 不定积分的概念： ； 3. 基本积分表； 4. 求微分与求积分的互逆关系； 5. 不定积分的（线性）性质； 6. 求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表中的积分。

23 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？

24 解答： 不存在. 假设有原函数 故假设错误。 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.