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材料力学 第十二章 能量方法.

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1 材料力学 第十二章 能量方法

2 第十二章 能量方法 §12–1 变形能的普遍表达式 §12–2 莫尔定理(单位力法) §12–3 截面上的应力及强度条件

3 能量方法 §12–1 变形能的普遍表达式 一、能量原理: 弹性体内部所贮存的变形能,在数值上等于外力所作的功,即
§12–1 变形能的普遍表达式 一、能量原理: 弹性体内部所贮存的变形能,在数值上等于外力所作的功,即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。 二、杆件变形能的计算: 1.轴向拉压杆的变形能计算:

4 能量方法 2.扭转杆的变形能计算: 3.弯曲杆的变形能计算:

5 能量方法 三、变形能的普遍表达式: 变形能与加载次序无关;相互独立的力(矢)引起的变形能可以相互叠加。 细长杆,剪力引起的变形能可忽略不计。

6 能量方法 例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在A点受铅垂力P的作 用,求A点的垂直位移。 解:用能量法(外力功等于应变能) ①求内力
Q MN MT A P N B j T P R A

7 能量方法 ②变形能: ③外力功等于应变能

8 能量方法 例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 P 解:外力功等于应变能 A B C a a f 在应用对称性,得:
q

9 能量方法 §12–2 莫尔定理(单位力法) q(x) 一、定理的证明: A 求任意点A的位移f A 。 fA 图 a 图b A =1 P0
§12–2 莫尔定理(单位力法) q(x) 一、定理的证明: A 求任意点A的位移f A 。 fA a 图b A =1 P0 图c A P =1 q(x) f

10 能量方法 莫尔定理(单位力法) 二、普遍形式的莫尔定理

11 能量方法 三、使用莫尔定理的注意事项: ① M(x):结构在原载荷下的内力。 ② M0——去掉主动力,在所求 广义位移 点,沿所求
广义位移 的方向加广义单位力 时,结构产生的内力。 ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲。 ④ M0(x)与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。

12 能量方法 例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 q B A a C P =1 A a C B x 解:①画单位载荷图 ②求内力

13 能量方法 ③变形 B A a C q B A a C P =1 x

14 ò 能量方法 a a ④求转角,重建坐标系(如图) q B A C x2 x1 B A C MC0=1 d ) ( + = x EI M
ò + = a BC AB x EI M dx

15 能量方法 例4 拐杆如图,A处为一轴承,允许杆在轴承内自由转动,但不能上下移动,已知:E=210Gpa,G=0.4E,求B点的垂直位移。 x
P=60N 5 10 20 A 300 B x 500 C =1 P0 解:①画单位载荷图 B A C 300 500 x x1 10 20 5 ②求内力

16 能量方法 ③变形

17 能量方法 §12–3 卡氏定理 一、定理证明 1. 先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力,则: 给Pn 以增量 dPn ,则:
§12–3 卡氏定理 一、定理证明 1. 先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力,则: dn 给Pn 以增量 dPn ,则: 2.先给物体加力 dPn ,则:

18 能量方法 = P U ¶ d 再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力,则: 第二卡氏定理
dn n = P U d 第二卡氏定理 意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(Alberto Castigliano, 1847~1884)

19 能量方法 二、使用卡氏定理的注意事项: ①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 ② Pn 视为变量,结构反力和变形能
dn ①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 ② Pn 视为变量,结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数 ③ n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。 ④ 当无与 n对应的 Pn 时,先加一沿 n 方向的 Pn ,求偏导后, 再令其为零。

20 能量方法 三、特殊结构(杆)的卡氏定理:

21 能量方法 例5 结构如图,用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 解:求挠度,建坐标系 P EI ①求内力 A ②将内力对PA求偏导 L O x
③变形

22 能量方法 求转角 A 没有与A向相对应的力(广义力),加之。 ①求内力 P A ②将内力对MA求偏导后,令M A=0 L x O

23 能量方法 例6 结构如图,用卡氏定理求梁的挠曲线。 解:求挠曲线——任意点的挠度 f(x) B Px x P A C
L ①求内力 f x O ②将内力对Px 求偏导后,令Px=0

24 能量方法 ③变形( 注意:Px=0)

25 能量方法 例7 等截面梁如图,用卡氏定理求B 点的挠度。 解:1.依 求多余反力, P 0.5 L B C ①取静定基如图 A ②求内力 L
解:1.依 求多余反力, P 0.5 L B C ①取静定基如图 A ②求内力 L f x O P C A L 0.5 L B RC ③将内力对RC求偏导

26 能量方法 ④变形

27 能量方法 2.求 ①求内力 ②将内力对P求偏导

28 能量方法 ③变形

29 能量方法 例8 结构如图,求A、B两面的拉开距离。 P 1 B A P 解:①画单位载荷图 ②求内力 ③变形

30 本章结束


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