三次數學危機.

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1 三次數學危機

2 第一次數學危機

3 發現無理數 一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的 「萬物皆數」 畢達哥拉斯(Pyth)學派 500BC 希勃索斯(Hippasus)

4 例如邊長為1的正方形，對角線的長度就不能以整數之比表示。
? 今天我們知道這是一個無理數

5 第二次數學危機

6 極限理論 至16、17世紀，由於求切線、求面積、求極值、求速度等問題的需要，數學家開始對無限大和無限小的概念產生興趣，但當時的概念仍很模糊，以致產生很多予盾。

7 例：數列 (series) 設ｘ＝１－１＋１－１＋······ 為一數列 ｘ＝（１－１）＋（１－１）＋······ ＝０
＝０　 ｘ＝１－（１－１）－（１－１）······ ＝１　　 最後，還可以證明ｘ等如 ½ ，因為 ｘ＝１－（１－１＋１－１＋······） ｘ＝１－ｘ　　 ２ｘ＝１　　 ｘ＝ ½ 　　

8 那麼ｘ＝０, 1 , ½ ? 這就是極限理論帶來的 ！ 矛盾

9 16、17世紀，微積分術創立之後立即在科學技術上獲得應用，從而迅速地發展，但是微積分學的理論涉及無窮小量，造成當時數學上的矛盾。
萊布尼茲 Leibniz Gottfried Wilhelm 牛頓 (Newton Isaac) 16、17世紀，微積分術創立之後立即在科學技術上獲得應用，從而迅速地發展，但是微積分學的理論涉及無窮小量，造成當時數學上的矛盾。

10 由於這些矛盾，引起了數學界的極大爭論。這就是所謂「第二次數學危機」。
無窮小量 例如：微積分有時把無窮小量看作 無窮小量 = 0 無窮小量  0 由於這些矛盾，引起了數學界的極大爭論。這就是所謂「第二次數學危機」。

11 第三次數學危機

12 十九世紀末、二十世紀初，數學發展非常迅速。康托爾引入的「集合」(Set) 概念成了有效的數學基礎。
集合論 (Set Theory) 十九世紀末、二十世紀初，數學發展非常迅速。康托爾引入的「集合」(Set) 概念成了有效的數學基礎。 A  B AB ABCD 康托爾 G.Cantor

13 但羅素在1903年出版了《數學的原理》，書中提到著名的羅素悖論，使數學基礎產生了裂紋，因而震動了整個數學界，這就是所說的第三次數學危機。
羅 素 悖 論 但羅素在1903年出版了《數學的原理》，書中提到著名的羅素悖論，使數學基礎產生了裂紋，因而震動了整個數學界，這就是所說的第三次數學危機。 羅素 Russell Bertrand Arthur Willian

14 一天，薩維爾村理髮師掛出一塊招牌：“村裏所有不自己理髮的男人都由我給他們理髮，我也只給這些人理髮。”於是有人問他：“您的頭髮由誰理呢
  一天，薩維爾村理髮師掛出一塊招牌：“村裏所有不自己理髮的男人都由我給他們理髮，我也只給這些人理髮。”於是有人問他：“您的頭髮由誰理呢?”理發師頓時啞口無言。　　        羅素悖論的比喻

15 因為，如果他給自己理髮，那麼他就屬於自己給自己理髮的那類人。但是，招牌上敘述他不給這類人理髮，因此他不能自己理。
如果由另外一個人給他理髮，他就是不給自己理髮的人，而招牌上明明說他要給所有不自己理髮的男人理髮，因此他要自己理。

16 最後，這些既屬於自己而又不屬於自己的集合 (Set)，便成了集合論的矛盾，引發起第三次數學危機。

17 總結 第一次數學危機：無理數 – 畢達歌拉斯、希勃索斯 第二次數學危機：極限理論 – 牛頓、萊布尼茲 第三次數學危機：集合論中的矛盾
– 康托爾、羅素

18 參考網址 http://www.edp.ust.hk/math/history/