第四章 機率概論.

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1 第四章 機率概論

2 4.1 導論 在現今社會日常生活中，每天的天氣預報，我們可能常聽到：明天 台北市下雨的機率為30％；或是在農曆年間，大夥以擲骰子慶佳節
時，當你在丟骰子的那一瞬間，或許你心裏已盤算過“我到底勝算有 多少，贏的機率有多大”；甚至在每兩個月對獎一次的統一發票，你 也可以算一算你中獎的機率有多大。由如此多的例子看來，機率事 件在我們生活中的確是無所不在啊！　 定義4.1.1 機率即為衡量某一事件在未來發生的可能性，並將此可能性數量化。

3 4.1 導論(續) 因為有了事件的不確定性，人們才定義了機率。不確定性一直是人 類最大的敵人，人類對於不確定的未來是存在著相當的恐懼，而統
計學正是人們管理不確定性一個相當有用的科學工具。一般而言， 統計學研究的範圍可分為兩大部份： 1. 敘述統計（descriptive statistics）： 將其所得到的資料，歸納整理之後，進而單單描述並分析它們 的特性。 2. 推論統計（statistical inference）： 以抽樣方法獲得樣本，並根據樣本實際資料的分析來推論或判斷母體的狀態，進而預測未來，做出決策。

4 4.2 機率學入門 每一門學科都有其堅實的理論基礎及其嚴格的推導過程，進而建構 出完整的學問，機率學當然也不例外。而不管任何學問，其基礎是
最重要的。因此在本小節中，將為讀者介紹一些機率學基礎觀念及 名詞解釋。當我們在陳述機率事件時，或許我們會這麼說“在擲一公 平骰子實驗當中，出現6點的機率為1/6 ”。這裡所稱的“實驗”，並不 是我們直覺所聯想到必須在實驗室所進行的化學實驗或物理實驗。 在機率學中我們對“實驗”有著更嚴謹的定義。 定義4.2.1 實驗（experiment）是一種過程（process），在此過程中可產生各種可能結果（possible outcomes），在實驗前已知所有可能發生的結果，但實驗後可能發生的結果是具有不確定性的。

5 4.2 機率學入門(續) 【例4.1】 以下三個例子，這樣的過程，我們都可稱之為"實驗"。
1. 隨機從剛出廠的電燈泡群中抽取3顆電燈泡，每一燈泡分類為： 亮（良好）；不亮（損壞），並檢驗其損壞的個數。 2. 投擲一公平的骰子，觀察其面朝上之點數。 3. 紀錄由1號至5號的田徑選手，跑完百米競賽後的名次序。 由以上例子，讀者不難發現它們都有一共通性：知其所有可能發生 的結果，但不知那一種結果會真正發生。也就是可能結果的不確定 性。所以若有其他因素（如人為之干預）， 使得結果產生確定的話， 則此一過程即無法稱為機率學上所謂的實驗。

6 4.2 機率學入門(續) 定義4.2.2 一機率之實驗所可能產生的結果，稱為此實驗的某一樣本點（sample
point）。而所有不同的結果，也就是不同的樣本點，所構成的一集 合稱為此實驗的樣本空間（sample space），一般習慣以大寫英文 Ｓ 表示之。 定義4.2.3 事件（event）即包含了一個或數個樣本點，也就是樣本空間的一子集合。當一事件無法分解時，也就是其只包含一個樣本點，此時我們稱之為　單一事件（simple event）。而相對的，複合事件（compound event）即是可以分解成數個事件。換句話說，複合事件是含有兩個樣本點以上的事件。

7 4.3 機率測度 4.3.1 機率表示及測度 至此我們清楚了解何謂機率學上所稱的實驗、樣本空間、及事
件。在上一節中，我們也曾經提及一般習慣以大寫英文符號來 表示機率事件。而此事件所可能發生的機率應如何表示呢？ 定義4.3.1 若Ａ為某一機率事件。描述事件所可能發生的機率通常以 P(A) 表示之。 若 P(A)=0：表示此事件不可能發生。 若 P(A)=1：表示此事件必然發生。一般而言此機率介於 0與1之間。 0 ≦ P(A) ≦ 1

8 4.3 機率測度(續) 而如何求出某一事件所可能發生的機率：P(A) 呢？ 定義4.3.2
計算事件所可能發生的機率，可先算出此事件所包含的每一樣本點，其個別所可能發生的機率，再將其加總即是。

9 4.3 機率測度(續) 4.3.2 古典法 此方法在使用時，必須符合下列的兩項限制條件： 1. 此實驗的樣本空間必須是有限的。
2. 此實驗的每一樣本點所可能發生的機率是相等的。 換句話說，當某一隨機實驗符合上述兩項限制時，我們始可用 古典法來計算事件所可能發生的機率。 定義4.3.3 古典法：當某一隨機實驗的樣本空間是有限的，且每一樣本點所可能發生的機率是相等的，則一事件Ａ其所可能發生的機率為： P(A)＝ 其中N(S)為樣本空間所包含的樣本點個數，N(A)為事件Ａ本身所包含的樣本點個數。

10 4.3 機率測度(續) 4.3.3 相對次數法 我們一直不斷重覆此實驗，並紀錄該事件發生的次數，且計算
其佔全部實驗總次數的比例。如此即可求得該事件發生機率的 估計值。由於此方法運用到相對次數的觀念，故稱為相對次數 法。 定義4.3.4 相對次數法：在相同的情況下，一直重覆某實驗N次，而事件Ａ出現的次數為N(A)，則 為事件A發生機率P(A)的一個很好的估計值。

11 4.3 機率測度(續) 4.3.4 主觀法 當有時某些實驗無法如客觀方法所述，重覆的執行。這時可能 只經由個人主觀的推斷，來估計事件的機率。
定義4.3.5 主觀法：單由個人的經驗，觀點，相當主觀的推算事件發生的機率。

12 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義 如圖 4-1之陰影部份，就是Ａ，Ｂ兩事件的聯集，通常我們將之記為 Ａ∪Ｂ 。 定義4.4.1 Ａ，Ｂ兩事件的“聯集”（union），即是含有Ａ事件與Ｂ事件所有樣本點的新事件。也就是包含Ａ事件發生或Ｂ事件發生或Ａ，Ｂ兩事件同時發生的新事件。

13 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 定義4.4.2 Ａ，Ｂ兩事件的“交集”（intersection），即是含有Ａ事件與Ｂ事
如圖 4-2之陰影部份，就是Ａ，Ｂ兩事件的交集，通常我們將之記為 Ａ∩Ｂ，也有人直接寫成ＡＢ。 定義4.4.2 Ａ，Ｂ兩事件的“交集”（intersection），即是含有Ａ事件與Ｂ事 件共有的樣本點的新事件。也就是包含Ａ，Ｂ兩事件同時發生的 新事件。

14 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 定義4.4.3
如圖 4-3之陰影部份，就是Ａ事件的餘集，通常我們將之記為Ａc， 或者有人記為 。 定義4.4.3 一事件Ａ的“餘集”（complement），即包含Ａ事件以外的所有樣本點。即是包含Ａ事件不發生的新事件。

15 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 【例4.5】 假設某一機率實驗其樣本空間包括7個樣本點：Ｓ＝｛e１，e２，e３，
e４，e５，e６，e７｝ 定義兩事件Ａ，Ｂ為：Ａ＝｛e２，e４，e７｝ Ｂ＝｛e１，e２，e５｝ (a) 以作圖方式將Ａ，Ｂ兩事件表現出來。 (b) 列出以下新事件所包含的樣本點1. A∩B 2. Bc 3. A∩Bc 4. A∪B。

16 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 解： (a)

17 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) (b) Ｓ：樣本空間，即最外層長方形，其包含e１，e２，e３，e４，
A∩B＝{e２} Bc＝{e３，e４，e６，e７} A∩Bc ＝{e４，e７} A∪B ＝{e１，e２，e４，e５，e７}

18 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 定義4.4.4 公理化的機率定義 公理 1. 對任一事件Ａ， 0 ≦ P(A) ≦ 1。
公理 2. Ｓ為樣本空間， 則　 P(S)＝1。 公理 3. 對於兩兩彼此互斥的事件A1，A2，A3，A4，A5、、、An 則 Ｐ(A1∪A2∪A3∪A4∪A5．．．．∪An)＝

19 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 【例4.8】 假設某一機率實驗，其樣本空間包含了5個樣本點｛e１，e２，e３，e４，e５｝。
(a) 如果P(e１)＝P(e２)＝0.15，)P(e３)＝0.4 和P(e４)＝2P(e５)試求 P(e４)及P(e５)。 (b) 如果P(e１)＝3P(e２)＝0.3，且其餘樣本點機率皆相同，試求其餘 樣本點之機率。

20 4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 解： 而P(S)＝1＝P(e１)＋P(e２)＋P(e３)＋P(e４)＋P(e５)
(a) 假設P(e５)＝a，則由題目可知P(e４)＝2a 　 而P(S)＝1＝P(e１)＋P(e２)＋P(e３)＋P(e４)＋P(e５) 　 ＝0.15＋0.15＋0.4＋2a＋a 　 因此，3a＝1－0.15－0.15－0.4＝0.3 故a＝0.1 則 P(e４)＝0.2 P(e５)＝0.1 (b) 假設P(e３)＝P(e４)＝P(e５)＝b，則由題目可知P(e２)＝0.1 而P(S)＝1＝P(e１)＋P(e２)＋P(e３)＋P(e４)＋P(e５) ＝0.3＋0.1＋b＋b＋b 因此，3b＝1－0.3－0.1＝0.6 故b＝0.2 則P(e３)＝P(e４)＝P(e５)＝0.2

21 4.5 條件機率與獨立事件 4.5.1 聯合機率及邊際機率 在正式介紹條件機率與獨立事件之前，先行介紹在機率學中所
謂的聯合機率及邊際機率。通常對一個相同的樣本空間，我們 可以有不同的分割法，而形成不同類別事件所分割成的樣本空 間。如我們可將一班的學生(樣本空間S)，分割成男生(A)、女生 (Ac)兩大塊。也可以依某次統計學的成績，將班上分成統計學及 格的同學(B)，及不及格的同學(B c)。此時原樣本空間也被分割 成A∩B、A∩B c、Ac∩B、Ac∩B c四個互斥事件。P(S)＝1＝ P(A∩B)＋P(A∩B c)＋P(Ac∩B)＋P(Ac∩B c)。若從此班任意抽取 一位同學，我們可得到如下所示的一聯合機率表：

22 4.5 條件機率與獨立事件(續) 分數 性別 及格(B) 不及格(B c) 合計 男生(A) P(A∩B) P(A∩B c)
P(A)＝P(A∩B) ＋P(A∩B c) 女生(Ac) P(Ac∩B) P(Ac∩B c) P(Ac)＝P(Ac∩B)＋P(Ac∩B c) P(B)＝P(A∩B)＋P(Ac∩B) P(B c)＝P(A∩B c)＋P(Ac∩B c) 100％

23 4.5 條件機率與獨立事件(續) 4.5.2 條件機率 通常一事件可能發生的機率，是與其他相關事件是否發生而息
息相關的，在此之前，我們只是將相關事件的影響性忽略罷了。 所謂的條件機率，就是將相關事件的影響性考慮進來，再重新 考慮該事件機率。 定義4.5.1 給定一事件Ｂ已經發生，則事件Ａ的條件機率（conditional probability）記為P(A|B)，並定義為 P(A|B) ，假若 P(B)＞0

24 4.5 條件機率與獨立事件(續) 【例4.9】 解： 假設有兩事件A，Ｂ。且P(A)＝0.5 ，P(B)＝0.3，P(A∩B)＝0.1試求
(a) P(A|B) (b) P(B|A) 解： 依照條件機率之定義 (a) P(A|B)＝ (b) P(B|A)＝

25 4.5 條件機率與獨立事件(續) 【例4.10】 台灣某一大學，其企管系大二班，男生有30人，女生20人。一天舉
行統計學期中考，60分為及格。及格和不及格人數如表中所述，括 號中為其佔全班人數比例，今從此班任抽取一人：(單位:人) (a)若已知被抽取此人為一男同學，試求此男同學統計學成績不及格機率。 (b)若已知被抽取此人為一女同學，試求此女同學統計學成績及格的機率。

26 4.5 條件機率與獨立事件(續) 解： (a) 定義事件： A：抽取此人統計學成績不及格 Ｂ：抽取此人為男同學
依照條件機率之定義，由表知抽取此人為一男同學，此男同 學統計學成績不及格的機率為 P(A|B)＝

27 4.5 條件機率與獨立事件(續) (b) 定義事件： Ｃ：抽取此人統計學成績及格 Ｄ：抽取此人為女同學
　 Ｄ：抽取此人為女同學 依照條件機率之定義，由表知抽取此人為一女同學，此女同學統計學成績及格的機率為 P(C|D)＝

28 4.5 條件機率與獨立事件(續) 4.5.3 獨立事件 由上一單元我們已經了解條件機率P(A|B)：在Ｂ事件發生的前
提下，討論A事件發生的機率，與非條件機率P(A)：不考慮其他 相關事件，單純討論A事件發生的機率。兩種定義有其本質上的 不同。而或許在某些情況我們會得到　P(A|B)＝P(A)　換句話說， 就是Ｂ事件發生與否，都不影響A事件發生的機率。此時，即稱 兩事件為獨立（independent）。

29 4.5 條件機率與獨立事件(續) 定義4.5.2 任意Ａ，Ｂ兩事件，若有下列三等式，其中任何一式成立時： P(A|B)＝P(A)
P(B|A)＝P(B) P(A∩B)＝P(A)P(B) 則稱A與B兩事件獨立（independent），反之則稱A與B兩事件相依（ dependent），亦即兩事件相依係指一事件的發生會影響其他事件發 生的機率。

30 4.5 條件機率與獨立事件(續) 【例4.11】 在例 4.10中，試問兩事件A：抽取此人統計學成績不及格 Ｂ：抽取
解： 由例 4.10可知 P(A|B)＝ ，而P(A)＝0.6。因P(A|B)≠P(A)，所以此 兩事件並不獨立，而是相依。

31 4.6 機率法則 求事件機率的過程中，直接求該事件的機率是個不錯且正統無誤的 方法。不過藉由其他已知機率的相關事件，根據其相關性，推斷欲
求事件的機率，有時比起直接求可顯得容易得多，這也是本小節所 欲陳述的主題：運用機率法則，進而求得事件機率。本小節介紹三 大法則：加法法則（additive rule），乘法法則（multiplicative rule），餘集法則（complementary rule）。此三法則的由來，都是 由前幾節的定義稍加變化，進而推導而來，嚴格而言，並無新的觀 念存在，只要稍加說明，讀者必然可立即應用。

32 4.6 機率法則(續) 定義4.6.1 加法法則（additive rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，此即為加法法則 若兩事件互斥，則此法則改寫為： P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 此法則由來，可藉由圖4-1來說明。P(A∪B)即為陰影部份機率，也 就是此部份所有樣本點機率之總合。而P(A)＋P(B)包含了A事件，B 事件內所有樣本點機率之總合，和P(A∪B)比較起來，明顯的，A∩B 事件中的樣本點機率被重複計算了一次，必須減去P(A∩B)才能使得 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)成立。若兩事件互斥，即P(A∩B)＝0， 無被重複計算之虞，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。

33 4.6 機率法則(續) 【例4.14】 台北市一中學日前舉行期中考，已知班上同學有50％數學不及格，
有30％英文不及格，而有20％數學與英文均不及格。今從此班級中 隨機抽取一人，試問此同學在這兩科中，至少有一科不及格的機率 為何？

34 4.6 機率法則(續) 解： 若令事件 A：抽取此同學，數學不及格的事件 B：抽取此同學，英文不及格的事件
則依題目所示：　P(A)＝50％，P(B)＝30％ 抽取此同學，數學與英文均不及格事件的機率為P(A∩B)＝20％， 而至少有一科不及格的事件，即為A∪B。則其機率為運用事件加 法法則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝50％＋30％－20％＝60％ 也就是說，班上有60％的同學，數學或英文不及格(至少有一科不 及格)。

35 4.6 機率法則(續) 【例4.15】 (a) 假設有A，B兩事件。P(A)＝0.3，P(B)＝0.8，P(A∩B)＝0.2
(b) 假設有Ｃ，Ｄ兩事件。P(C)＝0.2，P(D)＝0.3，且C， D兩事件 互斥，試求P(C∪D)？

36 4.6 機率法則(續) 解： (a) 運用加法法則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.3＋0.8－0.2＝0.9
(b) 因兩事件互斥，P(C∩D)＝0，運用加法法則 P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.2＋0.3＝0.5

37 4.6 機率法則(續) 定義4.6.2 乘法法則（multiplicative rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則兩事件同時發生的機率為：
此乘法法則的由來，讀者可看出就是由條件機率的定義而來。而若 兩事件獨立，也就是當P(A|B)＝P(A∩B) / P(B) ＝P(A)成立，則 P(A∩B)＝P(B)P(A)。 定義4.6.2 乘法法則（multiplicative rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則兩事件同時發生的機率為： P(A∩B)＝P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)，此即為乘法法則。 若兩事件獨立，則此乘法法則改寫為： P(A∩B)＝P(B)P(A)

38 4.6 機率法則(續) 定義4.6.3 餘集法則（complementary rule） 對任一事件A，則：
由於事件A及事件Ac正好將整個樣本空間一分為二， A與Ac為互斥事 件且A∪Ac＝S，運用互斥事件加法法則P(A∪Ac)＝P(A)＋P(Ac)＝P(S) ＝1，所以 P(A)＝1 － P(Ac)或P(Ac)＝1 － P(A)。此餘集法則非常重 要且相當好用，在某些情況下，可省去許多多餘的運算，加快解題 速度。 定義4.6.3 餘集法則（complementary rule） 對任一事件A，則： P(A)＝1 － P(Ac)或P(Ac)＝1 － P(A)此即為餘集法則。

39 4.6 機率法則(續) 【例4.17】 有一神射手，其槍法十分準確。對於在五十公尺遠的目標，有90％
的機率可射擊命中。今對於此目標連續射發十次，並假設十次擊發 彼此皆為獨立事件。試問此神射手至少失誤一發的機率。

40 4.6 機率法則(續) 解： 定義A：至少失誤一發的事件。若要直接算出P(A)，必須考慮很
多種情況，例如，正好失誤一發的事件，正好失誤二發的事 件，…，正好失誤十發的事件。這些情形都包含在A事件內，而 要一一算出個別事件機率，是耗力且費時的。而A的餘事件Ac， 也就是十發完全命中無失誤的事件，很明顯的，P(Ac)容易計 算的多。 P(Ac)＝(0.9)10，運用餘集法則： P(A)＝1－P(Ac)＝1－(0.9)10＝0.6513　　　

41 4.7 貝氏定理 全機率定理(law of total probability)。它在貝氏定理的運用過程中，有 其不可或缺的重要性。
假設 S=A1∪A2∪……∪Ak ， P(Ai)>0，i=1,2,……k ，且對 i≠k而言，Ai∩Ak＝ψ。則對任意事件B： P(B)＝ 而上述事件{A1，A2，…，Ak}集合，即可稱為是樣本空間S之一分割(partition)。定理4.1之由來可由下圖4-6來說明：

42 4.7 貝氏定理(續) 如圖所示{A1，A2，A3，A4，A5，A6}為樣本空間S之一分割，而橢圓
部分為一事件B。由圖可看出，事件B乃是互斥事件 (A1∩B)， (A2∩B)，……，(A6∩B)的聯集，即圖中陰影部分。 B＝(A1∩B)∪(A2∩B)∪……∪(A6∩B)且根據互斥事件之加法法則及 乘法法則，得知P(B)＝P(A1∩B)＋P(A2∩B)＋…………＋P(A6∩B) ＝ P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋……＋P(A6)P(B|A6)=

43 4.7 貝氏定理(續) 定理4.2 貝氏定理(Bayes’ Theorem)
假設事件{A1，A2，…，Ak}為樣本空間S之一分割，P(Ai)>0，i=1,2,……k，則對其他任意事件B而言：

44 4.7 貝氏定理(續) 【例4.19】 台積電工廠有4部機器生產同一產品，令其為機器A1，A2，A3，A4 。
各機器出產產品數量各佔總產量之比為 0.4 ,0.3 ,0.2 ,0.1。再令產品為 不良品的事件為B。各部機器產品的不良率分別為0.02,0.05,0.01,0.02， 試問若隨機抽取一產品，其為不良品的機率為何？

45 4.7 貝氏定理(續) 解: 依題意，所欲求之不良品的機率即為P(B)，且依題目所示可知若
隨機抽取一產品，則P(A1)＝0.4， P(A2)＝0.3， P(A3)＝0.2， P(A4)＝0.1， P(B|A1)＝0.02， P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.01， P(B|A4)＝0.02 根據全機率法則： P(B)＝P(B|Ai)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋ P(A4)P(B|A4) ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.027