数据统计与分析 秦 猛 南京大学物理系 第四讲 手机：

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1 数据统计与分析 秦 猛 南京大学物理系 第四讲 qinmeng@nju.edu.cn 手机：13913939339
参考教材：《概率论与数理统计》 高新祖 陈华钧 编著 南京大学出版社 1

2 第四节　连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结

3 一、概率密度的概念与性质 1.定义 1

4 性质 证明 证明

5 同时得以下计算公式

6 注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
证明 由此可得 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关

7 注意 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不 可能事件，则有 连 续 型 离 散 型 若 X 为离散型随机变量,

8 例1 解

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12 例2

13 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 故有

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16 二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布 概率密度 函数图形 均匀分布概率密度函数演示

17 均匀分布的意义

18 分布函数 均匀分布分布函数图形演示

19 例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 ~ ．求 R 的概率密度及 R 落在 ~ 的概率． 解 由题意,R 的概率密度为 故有

20 例4 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 即 A={ X >3 }.

21 设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 因而有

22 2. 指数分布 指数分布密度 函数图形演示

23 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.
分布函数 指数分布分布函数图形演示 应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.

24 例5 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. 解 X 的分布函数为

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26 指数分布的重要性质 :“无记忆性”.

27 3. 正态分布(或高斯分布) 高斯资料

28 正态概率密度函数的几何特征

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30 正态分布密度函数图形演示

31 正态分布的分布函数 正态分布分布函数图形演示

32 正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.

33 方法一:利用MATLAB软件包计算(演示)
正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数 方法一:利用MATLAB软件包计算(演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算

34 标准正态分布 标准正态分布的概率密度表示为 phi 标准正态分布的分布函数表示为

35 标准正态分布的图形

36 例6 解

37 证明

38 例7 解

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40 例8 证明 证明

41 例9 解 (1) 所求概率为

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43 三、小结 分布函数 2. 常见连续型随机变量的分布 均匀分布 正态分布(或高斯分布) 指数分布

44 3. 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度, 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.

45 另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极
限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布. 二项分布向正态分布的转换

46 高斯资料 Carl Friedrich Gauss
Born: 30 Apr in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb in Göttingen, Hanover (now Germany)

47 第五节 随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 三、小结

48 一、离散型随机变量的函数的分布 问题

49 例1 解 Y 的可能值为 即 0, 1, 4.

50 故 Y 的分布律为 由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.

51 离散型随机变量的函数的分布

52 例2 设 解 Y 的分布律为

53 二、连续型随机变量的函数的分布 例3 解 第一步 先求Y=2X+8 的分布函数

54 第二步 由分布函数求概率密度.

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56 例4 解

57 再由分布函数求概率密度.

58 当 Y=2X+3 时,有

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61 例5 证明 X 的概率密度为

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63 例6 解 西塔

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65 请同学们思考 答

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67 所以

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69 三、小结 1. 离散型随机变量的函数的分布

70 2. 连续型随机变量的函数的分布 方法1 方法2 注意条件.

71 作业(课本习题二): (16) (23) (31)